Conditions aux limites subsoniques

Dans la cas d’un écoulement subsonique, le traitement des conditions aux limites du domaine est délicat. En effet si l’on considère les ondes propagées par les termes convectifs hyperboliques (1.25) on constate que l’on a simultanément des ondes entrantes et sortantes du domaine comme on peut le voir sur la figure 4.1. La condition aux limites doit alors permettre aux ondes sortantes de sortir librement, mais doit aussi permettre d’imposer convenablement les ondes entrantes, le tout en évitant au maximum les réflexions non physiques. Pour cela, il est nécessaire de se donner un état à l’extérieur du domaine. Cependant l’état réel est la plupart du temps inaccessible. La définition des conditions aux limites consiste alors à :

• Définir pour un type de condition donné le nombre de variables à imposer pour que le problème soit bien posé.

• Choisir les variables les plus pertinentes à imposer.

• Définir les valeurs de ces variables à l’extérieur du domaine de calcul.

De multiples travaux s’intéressent à la première de ces questions. Oliger and Sundström [94] considèrent les équations d’Euler linéarisées et montrent que le nombre de conditions aux limites nécessaire doit être égal au nombre de caractéristiques entrantes dans le domaine. Ils étendent aussi leurs travaux au équations de Navier-Stokes. Pour ce dernier cas on se référera aussi à Dutt [31] ou Poinsot and Lele [102]

4.4.1.1 Entrée subsonique

Dans le cas d’une entrée subsonique, il est nécessaire de spécifier quatre conditions aux limites pour les équations d’Euler, et cinq pour Navier-Stokes [31, 94]. En règle générale, on spécifie le vecteur vitesse (trois composantes) ainsi que la masse volumique ou la température [102, 111]. Pour les équations de Navier-Stokes, une condition supplémentaire est nécessaire si l’on cherche à imposer la masse volumique. Oliger and Sundström [94] proposent alors d’imposer une condition sur la composante normale du tenseur des contraintes. Concernant la définition des valeurs de ces variables, Rudy and Strikwerda [111] testent différentes approches :

• Toutes les variables sont définies comme les variables de référence à l’infini, on impose alors un état complet.

• La masse volumique ou la température est extrapolée depuis l’état à l’intérieur du domaine.

• La pression est extrapolée en utilisant l’équation de la caractéristique sortante du système linéarisé.

Les résultats de leur test montrent que l’imposition de toutes les variables en entrée permet de converger le plus rapidement vers un état stationnaire. C’est donc cette approche que nous utiliserons dans nos calcul. On notera cependant que cette méthode génère du bruit en entrée, en particulier lorsque la condition aux limites est instationnaire. Poinsot and Lele [102] proposent une méthode plus complète qui permet de limiter les réflexions parasites en résolvant un système basé sur les caractéristiques. Cette approche qui permet d’imposer les conditions aux limites fortement n’est cependant pas considéré dans cette étude pour éviter d’avoir à résoudre un système au bord.

4.4.1.2 Sortie subsonique

Dans le cas d’une sortie subsonique, une seule onde entre dans le domaine. Il convient alors de définir une variable aux limites dans le cas des équations d’Euler, en générale la pression [94, 102]. Pour les équations de Navier-Stokes Dutt [31] montre qu’il est nécessaire de considérer trois conditions supplémentaires sur les composantes tangentielles du tenseur des contrainte et sur le flux de chaleur. Pour la définition de l’état au bord, on se réfère encore aux travaux de Rudy and Strikwerda [111]. Ils considèrent de nouveau trois cas :

• Une condition dite non réfléchissante où la pression est obtenue en considérant l’équation ^∂p_∂t −ρc^∂u_∂t +α(p−p_∞) = 0 [112].

• Spécification de toutes les variables.

Les résultats de ces auteurs montrent que la vitesse de convergence vers un état stationnaire est du même ordre de grandeur pour les deux premières conditions. Cependant la première condition est susceptible de réfléchir des ondes non physiques dans le domaine. Leur condition non réfléchissante permet de d’atténuer le phénomène tout en assurant la convergence vers la pression de référence. La troisième condition conduit à un problème mal posé et n’est pas utilisable.

Nous avons donc un ensemble de méthodes permettant d’imposer les conditions aux limites fortement. Cependant notre méthode numérique implique que ces conditions soient imposées faiblement à l’aide d’un flux. Celui que nous employons est détaillé en suivant.

4.4.1.3 Décomposition du flux numérique

Comme nous l’avons vu au chapitre 1 la matrice de notre système peut être diagonalisée, par exemple en une dimension :

A=KΛK⁻¹, Λ=     u−c 0 0 0 u 0 0 0 u+c     (4.57)

Steger and Warming [116] proposent alors de décomposer le flux numérique en une partie positive et une partie négative telles que :

F⁺=A⁺u=KΛ⁺K⁻¹u, F⁻ =A⁻u=KΛ⁻K⁻¹u (4.58) Où Λ=Λ⁺+Λ⁻ et Λ⁺ (resp.Λ⁻) contient les valeurs propres positives (resp. négatives) :

Λ⁺ =     0 0 0 0 u 0 0 0 u+c     , Λ⁻ =     u−c 0 0 0 0 0 0 0 0     (4.59)

Le flux au bord entre l’état interneqi et l’état au bord q_b peut s’écrire alors :

F(qi,qb) =A⁺(qb)qi+A⁻(qb)qb (4.60a)

=A⁺(qb)qi+A⁻(qb)qb+A⁺(qb)qb−A⁺(qb)qb (4.60b)

=F(qb) +A⁺(qb)∆q (4.60c) Avec ∆q=q_i−q_b.

De cette manière, le flux est décentré à droite pour le termeA⁺(q_b)q_i et décentré à gauche pour le terme A⁻(q_b)q_b.

4.4.1.4 Expérience numérique

Pour nos travaux nous avons choisi, pour des raison de simplicité de définir un état complet en entré, et une imposition de la pression en sortie. Les conditions aux limites sont imposées faiblement avec le flux de Steger and Warming [116]. Ces conditions aux limites ont été testées sur un cas simple de sortie d’un vortex en deux dimensions dans un écoulement isentropique. On définit un domaine carré,Ω = [0,1]×[0,1]et un état de référence :

       ρ_∞ u_∞ v_∞ p_∞        =        1 1 0 1       

On définit le vortex par les perturbation en vitesse et en température suivantes :

(δu, δv) = β 2π^e 1−r2 2 (−(y−y₀),(x−x₀)) (4.61) δT =−(γ −1)β² 8γπ2 e^1−r2 (4.62) Où(x₀, y₀)est la position du centre du vortex, r2= (y−y₀)2+ (x−x₀)2,β est l’amplitude etγ = 1.4.

On présente les résultats de ces expériences au premier ordre figure 4.2 et au second ordre figure 4.3. On constate que la condition de sortie subsonique utilisée est réfléchissante. Cependant elle est jugée satisfaisante au vu de l’amplitude importante du vortex et car elle permet d’imposer les conditions aux limites en restant stable. Dans le cadre de la méthode de Galerkin discontinu, Toulopoulos and Ekaterinaris [120] propose des conditions aux limites non réfléchissantes, basées sur les travaux de Poinsot and Lele [102]. Cependant leur implémentation est complexe et nous n’avons pas pu les tester dans le cadre de ce travail.

Figure ^{4.2 – Propagation d’un vortex à travers une sortie subsonique à l’ordre un}

Figure ^{4.3 – Propagation d’un vortex à travers une sortie subsonique à l’ordre deux}