Prise en compte du degré de cohérence spatiale du champ

Champ cohérent spatialement

D’après la définition du degré de cohérence spatiale (voir Eq. (C.3) en annexe), il vaut dans ce cas 1 et, en considérant un champ incident d’amplitude U0, on peut écrire la relation suivante : U₀(x₀, y₀, ω) U₀^∗(x⁰₀, y₀⁰, ω⁰) = 2πδ(ω − ω0)J₀(x₀, y₀, ω) J₀(x⁰₀, y₀⁰, ω) (5.26) La fonction J0 qui suit la relation |J0|² = I₀représente la distribution d’amplitude complexe de l’onde juste après le plan focal avant de l’objectif qui correspond au plan de l’ouverture du montage (voir Fig. 5.5). En utilisant les fonctions de transmissions Kref et Kech introduites auparavant, on écrit donc :

Uref,ech(x, y, ω) = Z Z

U0(x0, y0, ω) Kref,ech(x0, y0, x, y, ω) dx0dy0 (5.27) Notre intérêt étant davantage porté sur l’étude d’un champ incohérent spatialement, on choisit de ne considérer ici que le cas le plus simple d’un échantillon non diffusant. On suppose que la surface de référence est dans le plan focal arrière de son objectif (i.e. zref = f₀⁰), et on calcule donc la fonction de corrélation Γ d’après les équations (5.19) et (5.23) qui déterminent les expressions de Kech et Kref :

U_ech(x, y, ω) U_ref^∗ (x, y, ω⁰) = Z Z Z Z

U₀(x₀, y₀, ω) U₀^∗(x⁰₀, y₀⁰, ω⁰) ×

K_ech(x0, y0, x, y, ω) K_ref(x⁰₀, y₀⁰, x, y, ω)dx0dy0dx⁰₀dy⁰₀

⇒Γ(x, y, ω) = |µ(ω)|²r^∗_ref(ω) exp2jk n_imz_ech− f₀⁰
 [r₁(ω) + r2(ω)tim,1(ω)t1,im(ω) exp (ne)] × Z Z J₀(x₀, y₀, ω₀) exp  −jk^x 2 0+ y²₀ f₀⁰²  z_ech− |f₀| n_im ⁺ e n 

A(−x₀, −y₀, ω) exp  j ^k f_L^{0 (x0x + y0y)}  × dx₀dy0 × Z Z J₀^∗(x⁰₀, y⁰₀, ω₀)A^∗(−x⁰₀, −y⁰₀, ω) exp−jk(x0 0x + y₀⁰y)/f_L⁰ dx0 0dy⁰₀ (5.28)

Cette équation permet de mettre en évidence analytiquement des phénomènes intéressants. On note ainsi que la valeur de Γ dépend des coordonnées spatiales (x, y) bien que l’échantillon ne possède pas de structures transverses.

Si on suppose que J0 est l’amplitude d’une onde plane, c’est-à-dire que l’onde incidente est focalisée au niveau du plan focal arrière de l’objectif et donc de l’objet, la valeur de Γ (tout comme celle de Iech et Iref si on développe les expressions [Gre12a]) décroît lorsqu’on s’éloigne de l’axe optique du fait de la présence de la modulation de phase. Cela correspond donc au sectionnement transverse caractéristique des systèmes à balayage, comme la microsco-pie confocale par exemple. Le cas d’une illumination en onde plane au niveau des objets (i.e.

5.4. Correction numérique de la fonction de corrélation Γ

Ensuite, on voit apparaître deux types de modulation de phase : un premier qui est indé-pendant des coordonnées spatiales transverses, exp [2jk (nim[z_ech− f₀⁰])], et un second qui, lui, en dépend : exp^h−jk^x20+y2 0 f02 0  zech−|f0|

nim +_n^ei. Tous deux induisent donc un sectionnement du si-gnal, et correspondent respectivement à la fenêtre de cohérence (en intégrant ce terme sur la bande spectrale considérée ∆ω dans le cas d’un spectre étendu) et à la fenêtre de focalisation (en intégrant ce terme sur la répartition angulaire bornée par l’ouverture numérique). Il est alors commun de désigner également ces fenêtrages comme des sectionnements temporels ou angulaires.

Champ incohérent spatialement

Dans le cas d’un champ incohérent spatialement, les champs émis par deux points distincts sont totalement décorrélés. Ainsi comme cela est démontré est Annexe C qui traite du degré de cohérence spatiale, on peut écrire que :

U₀(x0, y0, ω) U₀^∗(x⁰₀, y₀⁰, ω⁰) = 2πδ(ω − ω0

)I0(x0, y0, ω) δ(x0− x⁰₀)δ(y0− y⁰₀) (5.29) Echantillon non diffusant. On considère dans un premier temps un échantillon non diffusant. Le calcul est alors très similaire au cas cohérent, qui permet de calculer la fonction de corrélation Γ à partir notamment de la relation (5.27) :

U_ech(x, y, ω) U_ref^∗ (x, y, ω⁰) = Z Z Z Z

U₀(x₀, y₀, ω) U₀^∗(x⁰₀, y₀⁰, ω⁰) ×

Kech(x0, y0, x, y, ω) Kref(x⁰₀, y₀⁰, x, y, ω)dx0dy0dx⁰₀dy⁰₀

⇒Γ(x, y, ω) = |µ(ω)|²r^∗_ref(ω) exp2jk n_imz_ech− f₀⁰
 [r₁(ω) + r2(ω)tim,1(ω)t1,im(ω) exp (ne)] × Z Z I₀(x₀, y₀, ω₀) exp  −jk^x 2 0+ y₀² f₀⁰²  z_ech− |f₀| n_im ⁺ e n  |A(−x₀, −y₀, ω)|²dx₀dy₀ (5.30) Une première remarque, ici, est la perte de dépendance en fonction des coordonnées spatiales (x, y), par rapport au cas cohérent. Cela est consistant avec un dispositif d’illumination plein champ tel que le système de Köhler utilisé en OCT plein champ. L’intensité du signal réfléchi (voir Eq. (5.31)) par une surface plane, sans structures diffusantes, que sont ici la surface de référence et l’échantillon, est d’ailleurs indépendante de (x, y, z). Cela signifie que ce signal de fréquence spatiale nulle n’est sectionné ni transversalement ni longitudinalement.

I_ref = |µ(ω)|²r^∗_ref(ω)

2^{Z Z}

I₀(x₀, y₀, ω₀)|A(−x₀, −y₀, ω)|²dx₀dy₀ (5.31) En ce qui concerne la fonction de corrélation Γ, elle possède, comme dans le cas précédent, des termes de modulation propre au sectionnement temporel (fenêtre de cohérence (∆ω)) et sectionnement angulaire (fenêtre de focalisation (ON)).

Echantillon diffusant. On considère au préalable un échantillon composé d’un seul diffuseur positionné en (xp, yp) (voir Eq. (5.21)). En utilisant l’expression de ladite fonction de transmis-sion Kechexplicitée dans l’équation (5.22), sachant que l’expression du champ issu de la référence

n’est pas modifié, on en déduit une expression de Γ suivante : Γ(x, y, ω) = ^|µ(ω)|

2

(λf₀⁰)^{4 R(ω)r}

∗

ref(ω) exp2jk n_imz_ech− f₀⁰ + ne
 × Z Z I₀(x₀, y₀, ω₀)A^∗(−x₀, −y₀, ω) exp  −jk^x 2 0+ y²₀ f₀⁰²  z_ech− |f₀| n_im ⁺ e n  × exp −jkx₀ x/f_L⁰ + xp/f₀⁰
+ y₀ y/f_L⁰ + yp/f₀⁰
 /f0 L
dx₀dy0 × Z Z A(x₃, y₃, ω) exp  −jk^x 2 3+ y²₃ f₀⁰²  z_ech− |f₀| nim + ^e n  × exp −jkx₃ x/f_L⁰ + xp/f₀⁰
+ y₃ y/f_L⁰ + yp/f₀⁰
 /f0 L
dx₃dy3 (5.32) Ou bien encore sous une forme réduite :

Γ(x, y, ω) = ^|µ(ω)|

2

(λf₀⁰)^4R(ω)r

∗

ref(ω) exp2jk n_imz_ech− f₀⁰ + ne
 × Z Z I₀(x₀, y₀, ω₀)A^∗(−x₀, −y₀, ω)Φ_Γ(x₀, y₀)F_Γ(x₀, y₀, x_p, y_p)dx₀dy₀ × Z Z A(x3, y3, ω)ΦΓ(x3, y3)FΓ(x3, y3, xp, yp)dx3dy3,

avec ΦΓ(u, v) = exp  −jk^u 2+ v² f₀⁰²  z_ech− |f₀| nim + ^e n  et FΓ(u, v, xp, yp) = exp  −j ^k f_L⁰ u x/f0 L+ xp/f₀⁰
+ v y/f0 L+ yp/f₀^0
  (5.33)

Enfin, en considérant un échantillon diffusant étendu spatialement, on somme les contribu-tions de chaque point diffusant et on obtient l’expression :

Γ(x, y, ω) = ^|µ(ω)|

2

(λf₀⁰)^4R(ω)r

∗

ref(ω) exp2jk n_imz_ech− f₀⁰ + ne
 Z Z dxpdyprech(xp, yp, ω) × Z Z I₀(x₀, y₀, ω₀)A^∗(−x₀, −y₀, ω)Φ_Γ(x₀, y₀)F_Γ(x₀, y₀)dx₀dy₀ × Z Z A(x₃, y₃, ω)Φ_Γ(x₃, y₃)F_Γ(x₃, y₃)dx₃dy₃,

avec ΦΓ(u, v) = exp  −jk^u 2+ v2 f₀⁰²  z_ech− |f₀| nim + ^e n  et FΓ(u, v, x_p, y_p) = exp  −j ^k f_L⁰ u x/f0 L+ x_p/f₀⁰
+ v y/f0 L+ y_p/f₀⁰
  (5.34) L’expression, dans le cas d’un échantillon diffusant, comporte donc deux intégrales distinctes

5.4. Correction numérique de la fonction de corrélation Γ

ne fusionnent pas et il est nécessaire de séparer les effets de l’ouverture numérique d’illumination (notée ONill) et l’ouverture numérique de collection (notée ONcoll).

En effet, dans le cas d’un échantillon réfléchissant la lumière spéculairement, ONilldétermine en fait également la répartition angulaire lors de la collection, puisque la projection transverse du vecteur d’onde (kx, ky) de chaque onde plane n’est pas modifiée (voir Eq. (5.17)).

En revanche, lorsque l’échantillon diffuse dans toutes les directions le champ incident l’illu-minant, l’étendue de l’ouverture est remplie sans tenir compte de ONill. Ainsi, ONcoll est en général maximale quelle que soit la valeur de ONill. Cela se traduit par la présence d’un sec-tionnement longitudinal étroit bien que l’ouverture numérique d’illumination soit faible ce qui n’est pas le cas lorsque l’échantillon ne possède pas de structure diffusante comme le montrent les différents graphes présentés en figure 5.6.

Figure 5.6 – Evolution de la réponse impulsionnelle du système ΓRI, normalisée, en fonction du défaut de mise au point ∆z_{f oc} dans le cas d’un échantillon diffusant (courbe pleine) ou réfléchissant la lumière spéculairement (courbe en pointillés) et pour trois différentes valeurs de l’ouverture numérique d’illumination : ON_ill = 0, 005 (a), ON_ill = 0, 2 (b), ON_ill = 0, 4 (c). Dans tous les cas, ON_coll = 0, 4.

L’influence de ONill semble donc considérablement réduite lorsqu’on image un objet diffu-sant, puisque le sectionnement est essentiellement dû aux propriétés de collection. Cependant, bien qu’une ONill faible ne modifie pas fortement la largeur à mi-hauteur du signal, elle permet de conserver néanmoins l’information relatif au signal dans les zones de l’espace défocalisées. On illustre cela en représentant, en figure 5.7, l’allure de la fonction de corrélation Γ lorsque l’échan-tillon est assimilé à un objet ponctuel diffusant et pour une source de lumière monochromatique. De fait, cette fonction correspond à la réponse impulsionnelle et on la note ΓRI.

Figure 5.7 – Représentations en trois dimensions et normalisées |ΓRI(x, 0, ω)|, correspondant à la réponse impulsionnelle du signal OCT, dans deux configurations d’illumination différentes ; (a) : ON_ill= 0, 005 et (b) :ON_ill= 0, 4. Les courbes en deux dimensions projetées correspondent à l’évolution |Γ_RI(0, 0, ω)| en fonction de ∆z_{f oc}. Dans les deux cas, l’ouverture numérique de collection, ON_coll, vaut 0,4 et on considère un champ incident monochromatique de fréquence ω/2π = 2, 69.10¹⁵Hz. On observe la différence de répartition d’énergie selon l’ouverture numé-rique d’illumination considérée.

On observe donc que dans le cas d’une ONill restreinte (fig. 5.7a), le signal, même s’il est flouté, est réparti transversalement et longitudinalement et non sectionné strictement comme c’est le cas lorsqu’elle ONill est élevée ce qui engendre donc une perte d’information. Lors du processus de focalisation numérique, cette perte d’information entraîne, comme on le constatera, une baisse de l’amplitude du signal, pour un rapport signal sur bruit (RSB) constant, et il est donc plus favorable de travailler avec une ouverture numérique d’illumination réduite, de ce point de vue là.