Algorithme de focalisation numérique

Fort de cette analyse du signal OCT et de la description de la fonction de corrélation Γ, dont on a calculé une expression analytique précise dans le cadre du modèle théorique choisi et des approximations établies, il est alors possible de mettre au point un algorithme de focalisation numérique des images. Celui-ci, appliqué ultérieurement à l’acquisition de l’image 3D, est destiné à un système d’OCT plein champ à balayage spectral et s’adapte à n’importe quel degré de cohérence spatiale du champ d’illumination, ce qui le différencie des processus de focalisation présents dans la littérature qui ne sont efficaces que pour un champ cohérent spatialement [Yu05, Mon06b, Mar07, Ral07].

Comme cela est notable avec l’équation (5.34), établissant l’expression de la fonction de corré-lation Γ pour une onde monochromatique et un échantillon diffusant composé de deux interfaces, cette dernière est le résultat d’un produit de convolution entre la fonction rechcaractéristique de la réflectivité de l’échantillon qui nous intéresse et une fonction, dont la transformée de Fourier

5.4. Correction numérique de la fonction de corrélation Γ

relation (5.34), il est alors possible de restaurer la fonction rech. ˜

Γ(kx, ky, ω) ' µ0M²T (ω) × ˜rech(−M kx, −M ky, ω)Ξ(kx, ky, ω) , (5.35) où µ0 = ^|µ(ω)|

2

(λf₀⁰)⁴ et M = f_L⁰

f₀⁰ est la valeur absolue du grandissement transverse du système d’ima-gerie.

L’algorithme de focalisation présenté suit alors les étapes suivantes, qui seront décrites plus précisément dans la prochaine section (voir notamment Fig. 5.15) :

• Evaluation des propriétés du champ d’illumination (fonction pupillaire, ONill afin de dé-terminer convenablement Ξ.

• Mesure du signal interférométrique puis extraction du signal OCT et donc de la fonction de corrélation Γ(x, y, ω).

• Calcul du spectre spatial de la fonction de corrélation Γ(kx, k_y, ω) par transformée de Fourier (TF)

• Ajustement dans le domaine des fréquences spatiales de Γ(kx, ky, ω) en appliquant numé-riquement une fonction correctrice appropriée afin de restituer le signal rech.

L’expression de Ξ se déduit donc de l’équation (5.34) d’après la théorie de la transformée de Fourier. On précise par ailleurs, qu’afin d’exprimer Ξ précisément, il est nécessaire de prendre en compte la différence de marche entre le bras de référence et le bras échantillon de l’interféromètre qui permettra de séparer le signal de SS-OCT du terme continu après transformée de Fourier (nous reviendrons plus en détail sur cela par la suite). En notant cette différence de distance ∆L et en supposant qu’elle est faible devant la profondeur de champ des objectifs, où bien qu’on corrige son effet numériquement [Gre14], on peut se contenter d’ajouter un coefficient multiplicatif exp(2jkL) dans l’expression de Ξ . La fonction Ξ peut alors s’écrire de la manière suivante [Gre14] : Ξ (kx, ky, ω) = exp (2jkL) Z Z dxpdypexp [−jM (kxxp+ kyyp)]× Z Z A (x3, y3, ω) FΞ(x3, y3) exp  −j ^k f₀^{0 (x3xp+ y3yp)}  dx3dy3× Z Z A_ill(x₀, y₀, ω) F_Ξ(x₀, y₀) exp  −j ^k f₀^{0 (x0xp+ y0yp)}  dx₀dy₀,

avec FΞ(u, v) = exp jk " (z_ech− |f₀|) s n²_im−^u 2+ v2 f₀^{02 + e} s n²_ech−^u 2+ v2 f₀⁰² #!

et Aill(x0, y0, ω) = I0(x0, y0, ω) A^∗(−x0, −y0, ω) r^∗_ref −kx₀/f₀⁰, −ky0/f₀⁰, ω

(5.36)

Une nouvelle fois, il existe deux intégrales disjointes dont l’une est liée aux propriétés d’ima-gerie et l’autre à celle de l’illumination et est caractérisée par la présence de Aill. Il est également

possible d’exprimer Ξ selon deux fonctions, Ξt et Ξa, qui correspondent chacune à un type de sectionnement :

Ξ (k_x, k_y, ω) = Ξ_t(ω)Ξ_a(k_x, k_y, ω) ,

avec Ξt(ω) = exp [2jk (∆L + nim(z_ech− |f₀|) + n_eche)] (5.37) Alors que Ξt ne dépend que de ω et est donc associée au sectionnement temporel (fenêtre de cohérence), Ξa, dont l’expression n’est pas nécessaire d’être explicitée puisqu’elle est simplement égale à Ξ(kx, ky, ω)Ξ^∗_t(ω), est fonction des fréquences spatiales transverses et caractérisent donc le sectionnement angulaire (fenêtre de focalisation). Dans le cadre de l’OCT conventionnel utilisant une ouverture numérique faible, le signal est alors essentiellement caractérisé par Xt.

Une méthode naïve de correction de la mise au point serait donc de diviser pour chaque pulsation ω le signal mesuré Γ(kx, k_y, ω) par la fonction Ξ(kx, k_y) appropriée. Mais une telle division directe nuirait au RSB du signal. Afin de conserver la valeur de RSB, il est préférable de multiplier Γ par une fonction de phase Ψ, de module unitaire, définit comme suit :

Ψ (k_x, k_y, ω) = 

Ξ^∗(k_x, k_y, ω) /|Ξ (k_x, k_y, ω)| si |Ξ (kx, k_y, ω)| > 0

0 si |Ξ (kx, k_y, ω)| = 0 (5.38)

L’ajustement numérique de la focalisation repose principalement sur la détermination de Ξa

qui correspond à l’effet de flou observé du fait de la profondeur de champ limitée de l’objectif et on entreprend donc de détailler plus précisément son évolution. On présente alors les variations de l’amplitude et de la phase de Ξa calculées pour deux valeurs différentes de ONill, et dans la configuration d’une onde lumineuse monochromatique :

5.4. Correction numérique de la fonction de corrélation Γ

Figure 5.8 – Evolution de la valeur absolue ((a) et (b)) et de la phase ((c) et (d)) de la fonction Ξa(kx, ky, ω), qui caractérise l’effet de défocalisation, en fonction du défaut de mise au point ∆z_{f oc}, et cela dans deux configurations d’illumination différentes : ON_ill → 0 pour (a) et (b) et ON_ill = 0, 05 pour (c) et (d). Dans tous les cas, ON_coll = 0, 1 et on considère un champ monochromatique de fréquence ω/2π = 1, 2.10¹⁵Hz (i.e. λ = 1, 57µm). On utilise la variable réduite k⁰_x= k_x/M , où M est le grandissement du système d’imagerie.

La différence notable de la phase selon l’ONill (Fig. 5.8c et 5.8d) justifie l’emploi d’une fonc-tion de correcfonc-tion adaptée lorsque le champ d’illuminafonc-tion est faiblement cohérent.

Plusieurs caractéristiques du signal sont par ailleurs mises en évidence par ces différents graphes et corroborent l’étude menée dans la section précédente sur le phénomène de cohérence spatiale du champ. En effet, alors que le cas d’une ouverture numérique faible (Fig. 5.8a et 5.8c) on se rapproche de la configuration d’un montage d’OCT à balayage ou d’holographie pour lesquels le champ est cohérent spatialement (i.e. Aill = Aill(ω)δ(x0)δ(y0)), en supposant ON_ill = 0, 05 dans le second cas (Fig. 5.8b et 5.8d) la situation est celle d’un champ partielle-ment cohérent spatialepartielle-ment dont le comportepartielle-ment est similaire à celui d’un champ incohérent.

En s’intéressant au signaux d’amplitude, on constate ainsi que lorsque l’échantillon est foca-lisé (i.e. ∆zf oc= 0), la distribution de Ξa en fonction de la fréquence spatiale est équivalente à

celle de la fonction de transfert de modulation d’un système de microscopie présentée en figure D.1b dans les deux configurations de cohérence spatiale. De plus, comme étudié précédemment et illustré en figure 5.4, dans le cas d’un champ partiellement cohérent ou incohérent, des an-nulations dans la fonction de modulation (ou ici Ξa) apparaissent (pour ∆zf oc ∼ 400µm par exemple). Les termes de phases, quant à eux, caractérisent la déformation du front d’onde en présence d’un défaut de mise au point.

Il est également pertinent de remarquer que dans le cas d’un champ quasiment cohérent spatialement, c’est-à-dire ici lorsque le diaphragme d’ouverture est très fermé, l’amplitude de Ξa

est maintenue élevée et proche de son maximum quelle que soit la valeur de la défocalisation ∆z_{f oc}, (Fig. 5.8a). Cette propriété assure une efficacité de focalisation sur une distance très étendue et quasiment infinie (elle est en théorie infinie si la fonction pupillaire est une fonction de Dirac parfaite) puisque l’amplitude du signal des zones défocalisées peut être convenablement reconstruite. On en déduira donc que plus l’ouverture numérique d’illumination est faible, plus la focalisation numérique est efficace, en termes de rapport signal sur bruit, sur une distance importante, ainsi qu’on l’avait suggéré en étudiant les graphes de la figure 5.7. La figure 5.9 illustre cela en présentant l’allure de la fonction de corrélation ΓRI selon la valeur du défaut de mise au point ∆zf oc sans (Fig. 5.9a et 5.9b) ou avec (Fig. 5.9c et 5.9d) l’application du traitement numérique de focalisation.

Figure 5.9 – Evolution de |ΓRI(x, 0, ω)| en fonction de la valeur du défaut de mise au point ∆z_{f oc}, sans ((a) et (b)) et avec refocalisation numérique ((c) et (d)) et cela pour deux valeurs de ON_ill différentes ; (a) et (c) : ON_ill = 0, 005 ; (b) et (d) : ONill = 0, 05. Les courbes en deux dimensions projetées correspondent à l’évolution |Γ_RI(0, 0, ω)| en fonction de ∆z_{f oc}. Dans