Principe

Il est possible de guider une onde électromagnétique dans un milieu d’indice de réfrac-tion n₂en insérant celui-ci entre deux couches d’un matériau d’indice de réfraction n₁ < n₂. La différence d’indice entre les deux milieux permettant en effet de confiner l’onde dans le milieu de plus fort indice, qui constitue le "cœur" du guide d’onde, tandis que le milieu de plus faible indice dans lequel l’onde devient évanescente permet de confiner celle-ci, et forme ainsi la "gaine" du guide, comme cela est schématisé dans la figure (2.1).

Figure 2.1 : Principe de la réalisation d’un guide d’onde. Le rayon lumineux représenté illustre le rayon critique nécessaire pour qu’il y ait réflexion totale dans le cœur du guide.

Commençons par appréhender simplement le problème en nous plaçant dans le cadre de l’optique géométrique, valable tant que l’épaisseur d du guide d’onde est grande devant la longueur d’onde λ de l’onde électromagnétique. Considérons un rayon lumineux se pro-pageant dans le cœur du guide et atteignant l’interface plane cœur-gaine avec un angle d’incidence θ_i par rapport à la normale à l’interface. Une partie de la lumière incidente est transmise dans une direction définie par l’angle θ_t, tandis qu’une autre partie est réflé-chie selon une direction définie par l’angle θ_r. Les lois de Snell-Descartes donnent alors les relations :    θ_r = θ_i n₂sin θ_i= n₁sin θ_t (2.1)

Pour que le rayon lumineux soit totalement réfléchi, il est nécessaire que θ_t> π/2. Comme ici n₂ > n1, c’est à dire θ_t > θi, il y a réflexion totale du rayon incident lorsque θ_i > θic

avec sin θ_ic = n₁/n₂. Par ailleurs, pour avoir θ_i = θ_ic à l’interface cœur-gaine, il faut que le rayon incident arrive sur le dioptre air-cœur avec un angle d’incidence θ⁰_i < θa (angle

d’acceptance), tel que (toujours en utilisant les lois de Snell-Descartes) :

n_airsin θ_a= sin θ_a= n₂sin(π/2 − θ_ic) = n₂cos θ_ic= n₂^p1 − sin²θ_ic= n₂ s 1 − n₁ n2 2 (2.2) soit : sin θ_a= q n2 2− n2 1 = ON (2.3)

Cette quantité sin θ_a est appelée "ouverture numérique" (ON ) du guide d’onde. Pour un guide dont le cœur est constitué de GaAs d’indice de réfraction n₂ = 3.63 et la gaine de GaAl_0.6As d’indice de réfraction n₁ = 3.4, nous trouvons ON = 0.48, soit θ_a ≈ 30◦. Modes de propagation d’une onde dans un guide d’onde diélectrique plan

Approchons maintenant le problème d’un point de vue électromagnétique. Une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le cœur du guide avec un vecteur d’onde k, tel que k = k₂ = n₂ k₀ = n₂ 2π/λ₀ où λ₀ est la longueur d’onde dans le vide, arrive à l’interface cœur-gaine en y = 0 avec un angle d’incidence θ, comme schématisé sur la figure (2.2). Les ondes réfléchies et transmises sont planes, de vecteur d’onde respectif

Figure 2.2 : Onde incidente sur le dioptre cœur-gaine.

k⁰ et k⁰⁰, avec k⁰ = k₂= n₂ k₀et k⁰⁰= k₁= n₁ k₀. En représentation complexe, les champs électriques correspondant à ces trois ondes peuvent s’écrire sous la forme E_i e^i(ωt−k.r), E_r e^{i(ωt−k0.r)} et E_t e^{i(ωt−k00.r)}. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique en y = 0 s’écrit alors :

E^k_ie^−ik.r+ E^k_re^−ik0.r = E^k_te^−ik00.r (2.4) où r = xu_x+ yuy+ zuz. Nous trouvons ainsi k_x= k⁰_x= k_x⁰⁰ et k_z = k⁰_z= k_z⁰⁰= 0 donc :

   θ⁰= θ k2cos θ = k1cos θ⁰⁰ (2.5)

Les trois vecteurs d’onde ont donc pour expression :          k = k2cos θ ux− k₂sin θ uy k⁰ = k2cos θ ux+ k2sin θ uy k⁰⁰= k2cos θ ux−pk2 1− k2 2cos2θ uy (2.6)

Pour θ < θ_c= π/2−θ_ic= arccos(n₁/n₂), où θ_cest le complémentaire de l’angle critique θic défini précédemment, nous sommes en situation de réflexion totale, car k₂cos θ > k1

et de fait la composante selon y de k⁰⁰ (k⁰⁰_y = −pk2 1− k2

2cos2θ) est imaginaire pure. Le vecteur d’onde dans la gaine (y < 0) peut ainsi se mettre sous la forme :

k⁰⁰= k2cos θ ux+ i k2 s cos2θ − n₁ n2 2 uy (2.7)

et le champ électrique dans la gaine est alors donné par :

E_t e^i(ωt−k1cos θx) e^k1η(θ)y où η(θ) = s

cos2θ − n₁ n2

2

(2.8) Nous obtenons donc dans la gaine du guide une onde se propageant dans la direction x, mais de caractère évanescent dans la direction y. Cette onde existe donc uniquement sur une épaisseur caractéristique δ(θ) = 1/k₂η(θ), l’épaisseur de peau, dépendant de l’angle d’inclinaison θ de l’onde incidente sur le dioptre.

Intéressons nous au cas particulier d’une onde polarisée orthogonalement au plan d’incidence, c’est à dire pour laquelle : E_i(r, t) = E_i(r, t) u_z, E_r(r, t) = E_r(r, t) u_z et E_t(r, t) = Et(r, t) uz. La continuité de la composante tangentielle du champ électrique s’écrit alors :

E_i(r, t) + E_r(r, t) = E_t(r, t) (2.9) Par ailleurs, en l’absence de charges libres (pas de courant de surface) sur le dioptre cœur-gaine, la composante tangentielle du champ magnétique (B = nk ∧ E/ck) est elle aussi continue, soit : −ⁿ² c ^{sin θ Ei(r, t) +} n2 c ^{sin θ Er(r, t) = −} n1 c ^{sin θ} 00 E_t(r, t) (2.10) d’où :

− sin θE_i+ sin θE_r = iη(θ)E_t (2.11)

Nous en déduisons les coefficients de réflexion et de transmission à l’interface cœur-gaine :        r = ^Er E_i ⁼ sin θ + iη(θ) sin θ − iη(θ) t = ^Et E_i ⁼ 2 sin θ sin θ − iη(θ) (2.12)

Nous avons donc bien en cas de réflexion totale |r| = 1 et le coefficient de réflexion peut se mettre sous la forme r = |r|e^iφr où φ_r est le déphasage à la réflexion, donné par :

tan^φr 2 ⁼ η(θ) sin θ ⁼ s cos2θ − n₁ n₂ 2 sin θ ⁼ √ cos2θ − cos2θc sin θ ⁼ p sin²θc− sin2θ sin θ ^(2.13)

soit : tan^φr 2 ⁼ s sin²θ_c sin²θ ^{− 1 (2.14)}

c’est à dire que le déphasage φ_r varie de π lorsque θ = 0 à 0 lorsque θ = θ_c.

Figure 2.3 : Réflexions multiples dans un guide d’onde.

Considérons maintenant une onde plane transverse, toujours polarisée perpendiculaire-ment au plan d’incidence, et subissant des réflexions multiples cohérentes à chaque interface cœur-gaine, comme illustré sur le schéma de la figure (2.3). Après deux réflexions totales, la troisième onde est identique à la première, si l’onde au point A est en phase avec l’onde au point B, c’est à dire si :

φ_B− φ_A= 2d k2 sin θ − 2φr= 2mπ avec m entier (2.15) où d est l’épaisseur du cœur et φ_r le déphasage induit à chaque réflexion sur la gaine, défini par (2.14). En utilisant les équations (2.14) et (2.15), nous obtenons l’égalité :

s sin²θc sin²θ_m ^{− 1 = tan}  πd λ₂ ^{sin θm− mπ}  (2.16)

et les angles θ_msolution de cette équation définissent le modes transverses électriques TE_m du guide. La résolution de cette équation peut se faire graphiquement, comme c’est le cas dans la figure (2.4), où nous avons tracé en rouge,

r sin²θc

sin²θ ^{− 1 en fonction de (sin θ)} et en noir, tan πd

λ2

sin θ − mπ 

en fonction de (sin θ). Les angles θ_m pour lesquels ces deux courbes s’intersectent sont solutions de (2.16) et l’indice m désigne l’ordre du mode. Notons que plus un mode est d’ordre élevé, plus le champ électrique oscille rapidement dans l’espace et plus il pénètre profondément dans la gaine. Les solutions de (2.16) sont au nombre de [1 + P E(sin θ_c/(λ₂/2d)) = 1 + P E(2d(ON )/λ₀)], où P E(a) désigne la partie entière de a, (ON ) = pn2

2− n2

1 est l’ouverture numérique du guide et λ₀ la longueur d’onde dans le vide.

Comme nous le constatons sur la figure (2.4), où nous avons résolu (2.16) pour deux épaisseurs de guide différentes, pour une épaisseur d suffisamment faible, de sorte que

(a) λ0= 940 nm, n1= 3.4, n2= 3.63, d = 10 µm

(b) λ0= 940 nm, n1= 3.4, n2= 3.63, d = 1 µm

Figure 2.4 : Résolution graphique de (2.16).

2d(ON ) < λ₀, un seul mode transverse électrique est permis (le mode m = 0) dans le guide, qui est alors qualifié de "monomode". Ainsi un guide constitué d’un cœur de GaAs et d’une gaine de GaAl_0.6As est monomode pour une onde de λ₀ = 940 nm lorsqu’il a une épaisseur de l’ordre du micromètre ou inférieure, comme en témoigne la figure (2.4.b).

Il est bien sûr possible de faire le même type de raisonnement pour un champ polarisé parallèlement au plan d’incidence, afin d’en déduire les modes transverses magnétiques TM_m0 du guide d’onde et les angles θ_m0 correspondants (θ_m0 > θm).

Modes de propagation d’une onde dans un guide d’onde diélectrique à section rectangulaire

Un guide d’onde plan est donc capable de confiner la lumière dans la direction transverse y, tandis que celle-ci se propage dans la direction x. Un tel confinement n’est cependant pas suffisant pour guider la lumière sur de grande distances, car celle-ci se propageant dans l’ensemble du plan, la densité d’énergie électromagnétique diminue rapidement à mesure que l’onde progresse dans la structure. Il est donc nécessaire de confiner la lumière suivant deux directions, ce qui est possible lorsque les dimensions du guide d’onde sont finies selon y, mais également selon z, comme illustré dans la figure (2.5).

Figure 2.5 : Schéma d’un guide d’onde à section rectangulaire.

Dans une telle structure, l’analyse des modes est délicate et ne peut être réalisée de manière analytique, mais doit se faire numériquement. Notons seulement que les modes TE

(a) E^y₁₁ (b) E^y₂₁ (c) E^y₁₂

Figure 2.6 : Profils de la composante E^{y du champ électrique pour les modes (a) Ey}11, (b) E^y₂₁ et (c) E^y₁₂, dans le cas d’un guide d’onde de section carrée d_y= d_z= 1 µm, avec n₁= 3.4, n₂= 3.63.

et TM n’existent plus dans ce type de structure et que les modes de propagation guidée pour le champ électrique sont alors désignés par E^y_pqet E^z_pq, suivant que le champ électrique s’aligne suivant y ou z à la limite de faible guidage (n₂−n₁) → 0, p et q désignant le nombre d’extrema du champ, respectivement selon z et y. Ainsi, la figure (2.6), obtenue au moyen du logiciel "Lumerial ", montre le carré du champ électrique E^y, obtenu numériquement, dans un guide d’onde de section carrée d_y = dz = 1 µm, avec n1 = 3.4, n2 = 3.63 pour le mode fondamental E^y₁₁ et les modes E^y₂₁ et E^y₁₂.