1.4 Equations de Landau-Lifshitz
2.1.2 Principe de l’autorésonance
La résonance est souvent définie comme le phénomène par lequel un système physique se met à osciller à des amplitudes de plus en plus grandes sous l’action d’une excitation périodique oscillant à une fréquence caractéristique. Ce processus se retrouve dans une grande variété de domaines, allant des instruments de musique à l’imagerie par résonance magnétique, en passant par l’aérospatiale (effet pogo) ou encore le génie civil (résistance aux séismes). D’un point de vue mathématique, le système est modélisé par des équations différentielles. Lorsque les paramètres des ces équations vérifient certaines relations, la structure de la solution change drasti-quement et l’oscillateur entre en résonance. Le cas le plus simple est un oscillateur linéaire forcé, dont le modèle mathématique est une équation différentielle du second ordre :
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x + ω2x = � cos(Ωt) (2.1) où ω, � et Ω sont des constante positives. Le cas où la fréquence Ω de l’excitation
est différente de la fréquence propre ω de l’oscillateur correspond à l’absence de résonance. Les solutions prennent alors la forme :
x(t, �) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + �cos(Ωt)
ω2− Ω2 (2.2) Pour une amplitude d’excitation � finie, il est évident que sup
t∈R � x �< ∞ , c’est-à-dire que ces solutions sont bornées. Cette solution diffère de la solution non perturbée par une grandeur Δ : x(t, �) = x0(t) + Δ(t, �) avec Δ = O(�). L’amplitude des oscillations n’est donc que très peu modifiée par l’excitation si � est faible. Il est toutefois possible d’obtenir de très grande amplitude pour � � 1 si |ω2− Ω2| = �2. L’autre cas où Ω = ω correspond à la résonance. Alors les solutions s’écrivent sous la forme :
x(t, �) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + �t sin(Ωt)
2ω (2.3)
Ces solutions ne sont pas bornées et peuvent croître linéairement en fonction du temps. On peut montrer [104] que ces solutions perturbées diffèrent de la solution non-perturbée par Δ = O(√
�), qui est plus grand que dans le cas non-résonant si �< 1.
On considère maintenant le cas plus général d’un oscillateur amorti et forcé décrit par l’équation différentielle :
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x + f ( ˙x) + g(x) = � cos φ(t) (2.4)
Si f et g contiennent des puissances de ˙x et x, respectivement, supérieures à 1 alors le système est non-linéaire. Souvent, ces équations n’ont pas de solutions analytiques et requièrent un traitement numérique. Une propriété caractéristique de ce genre de système est la dépendance en amplitude de la fréquence d’oscillation. Ainsi, le fait qu’un tel système soit en résonance avec l’excitation au temps t = 0 n’assure en rien qu’il le reste pour tout t > 0. En effet, les relations entre les différents paramètres qui créent la résonance peuvent être perturbées par l’augmentation de l’amplitude des oscillations.
Si l’on excite un tel système à sa fréquence linéaire ˙φ = ω0, son amplitude aug-mente et on perd très rapidement la résonance comme on peut le voir avec la ligne en pointillé sur Fig.(2.3). La fréquence des oscillations étant fonction de son amplitude, ou en d’autres termes de son énergie, cette dernière est alors modifiée et l’excitation n’est plus en résonance avec l’oscillateur. Les deux n’étant plus en phase,
l’ampli-Figure 2.3 – Réponse d’un pendule à une excitation chirpée pour différentes valeurs de � (traits pleins) et pour une excitation à fréquence fixe (pointillé) [105]. Ces courbes résutent de l’inté-gration numérique de Eq.(2.5) .
Figure 2.4 – Effet "foldover" sur l’am-plitude d’un pendule en fonction de la fréquence d’excitation pour différentes valeur de �, ici appelé A [106]. Le pen-dule est soumis à une force sinusoïdale de fréquence fixe.
tude des oscillations diminue jusqu’à que leur fréquence s’approche à nouveau de la fréquence d’excitation. La résonance est alors réactivée et l’amplitude augmente à nouveau, et ainsi de suite. On peut aussi exciter le système à une fréquence autre que sa fréquence linéaire. Sur la figure Fig.(2.4) on peut observer l’effet dit de "fol-dover" qui courbe le pic de résonance dans le régime non-linéaire d’un pendule régi par l’équation :
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θ+ ω20sin(θ) = � cos φ(t) (2.5) où l’auteur appelle l’amplitude de son excitation A et non �. Tant que l’exci-tation reste faible (A ≤ 0.05) la résonance est très proche de celle d’un oscillateur harmonique. Mais pour une excitation plus forte la non-linéarité crée une bistabi-lité : pour une fréquence d’excitation plus faible que la fréquence linéaire, le pendule oscille soit à de très grandes amplitudes soit à de très faibles amplitudes en fonction des conditions initiales. En fait on peut voir trois valeurs d’amplitudes, il existe deux branches d’équilibres stables (la plus élevée et la plus faible) et une d’équi-libre instable entre les deux (en pointillés rouge sur la figure). La branche de faible amplitude correspond à la solution de l’équation linéarisée du pendule (θ � 1) :
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θ+ ω20θ= � cos φ(t) (2.6) Si l’on développe le sinus à un ordre supérieur sin(θ) ≈ θ − θ3/6, le terme
non-linéaire en θ3 permet l’apparition des deux autres branches de grandes amplitudes. Il est donc possible d’exciter un oscillateur non-linéaire à de fortes amplitudes si la fréquence d’excitation est faible devant sa fréquence linéaire et si l’amplitude de l’excitation est très grande. Mais si l’excitation est très faible, il n’y a aucune chance de générer de fortes amplitudes.
Afin de modifier l’énergie du pendule, la fréquence de l’excitation externe doit donc être adaptée à celle du pendule. Une solution simple serait d’utiliser un méca-nisme de feedback pour mesurer l’état de l’oscillateur et ajuster la fréquence d’ex-citation en conséquence. Mais il existe des cas où il est compliqué voire impossible de mesurer la phase de l’oscillateur. Toutefois, en le soumettant à une excitation dont la fréquence dépend du temps, par exemple ˙φ(t) = ω0− αt, un oscillateur non-linéaire peut ajuster automatiquement son comportement afin de rester résonant avec la force externe. Ainsi, en commençant à une fréquence supérieure à la fré-quence linéaire et en faisant diminuer adiabatiquement la fréfré-quence de l’excitation, on va suivre la branche supérieure du diagramme A(ω). L’oscillateur non-linéaire adapte alors son amplitude en restant verrouillé en phase à l’excitation. Il est donc possible de contrôler le mouvement de ce type d’oscillateur, c’est l’autorésonance. Suivant que le profil d’énergie possède une courbure positive ou négative, le taux de variation α peut être positif ou négatif.
Une propriété importante de ce mécanisme est l’existence d’une amplitude seuil. Pour entrer en autorésonance, il faut que � soit supérieur à l’amplitude seuil �th. Comme on peut le voir sur la figure Fig.(2.3), la réponse du pendule pour � = 0.01 est très réduite, et quand � = 0.0459 la réponse est un peu plus grande mais l’oscillateur décroche rapidement vers une amplitude constante de 0.7 radians. En revanche, lorsqu’on augmente l’amplitude de l’excitation de 0.2�à � = 0.046, le pendule est entraîné vers d’énormes amplitudes de 3 radians et s’inverse. La transition vers le régime autorésonant s’opère donc sur une valeur seuil très abrupte à �th = 0.046. Si la fréquence varie plus rapidement, c’est-à-dire si α augmente, le pendule aura plus de mal à s’adapter et l’excitation nécessaire au maintien du verrouillage de phase doit être plus forte. On peut montrer [105] que �th est en fait proportionnel à α3/4.
La capture en autorésonance de l’oscillateur se détermine déjà à très faible am-plitude, dans le régime linéaire. Comme c’est le cas avec un simple oscillateur harmo-nique, l’excitation stimule l’apparition d’un mode forcé à la fréquence de l’excitation et un mode libre à la fréquence linéaire. Le mouvement total de l’oscillateur est alors la somme de ces deux modes (Eq.(2.2)). Initialement, si le pendule est immobile au moment de l’application de l’excitation, leurs amplitudes sont égales mais opposées. Ensuite, le mode forcé évolue de manière inversement proportionelle à |ω2
0 − ω(t)2| alors que le mode libre n’évolue pas puisqu’il est indépendant de l’excitation. Le
mode forcé prend donc naturellement le dessus et l’oscillateur se verrouille à l’exci-tation.
Alors que la fréquence d’excitation décroît vers la fréquence de résonance de l’os-cillateur à de faibles amplitudes, ce dernier est capturé dans le régime autorésonant lorsque la fréquence d’excitation croise la fréquence linéaire de l’oscillateur. Il res-tera verrouillé en phase avec l’excitation et l’amplitude des ses oscillations sera telle que la fréquence non-linéaire de l’oscillateur égale celle de l’excitation. Il devient alors possible de contrôler son mouvement via la fréquence de l’excitation. L’auto-résonance est un mécanisme universel, on le retrouve dans tout système régi par l’équation de Duffing : pendule, système planétaire [107, 108], physique atomique [109, 110], plasmas [111, 112], mécanique des fluides [113], puits quantiques [114]... et nous allons l’appliquer à une nanoparticule magnétique.