1.4 Equations de Landau-Lifshitz
2.1.3 Mise en équation et mise en évidence de l’autorésonance
Nous considérons une nanoparticule monodomaine, possédant une anisotropie uniaxiale suivant e�z. On peut faire l’hypothèse qu’une telle nanoparticule est bien décrite par l’approximation dite du macrospin, selon laquelle elle possède un moment magnétique M, avec |M| = µs. Dans ce cas, la dynamique de M est régie par l’équation de Landau-Lifshitz :
dM
dt = −γM × B −λγµ
s
M× (M × B), (2.7) où le champ effectif B comprend le champ d’anisotropie dirigé suivante�z, un champ externe statique BDC = −B0e�z, et un champ magnétique micro-ondes BAC(t) d’am-plitude b [115] : B= � 2KV µ2 s Mz− B0 � � ez + BAC(t) (2.8) On considère deux types de champs magnétiques oscillants. Un d’amplitude fixe mais dont la polarisation tourne dans le plan (�ex,e�y) :
BAC(t) = b (cos ϕde�x+ sin ϕde�y) (2.9) Où ϕd = 2π(f0t − αt2/2), de telle sorte que la fréquence d’excitation ωd = 2π(f0 − αt) décroît linéairement dans le temps à partir d’une valeur initiale f0
supérieure à la fréquence linéaire fr = γ 2π
2KV
µs = 7.36 GHz en l’absence de champ magnétique externe.
Mais on peut également utiliser un champ magnétique de polarisation fixe et dont l’amplitude oscille, par exemple suivant e�x :
BAC(t) = b cos ϕde�x (2.10) La configuration du moment magnétique et des différents champs est illustrée en Fig. (2.5). On y retrouve suivant (�ez le champ d’anisotropie et le champ statique, et dans le plan (�ex,e�y) le champ magnétique oscillant qui va entraîner la précession.
Figure 2.5 – Configuration géométrique de la nanoparticule avec son moment ma-gnétique M, le champ statique BDC, et le champ oscillant BAC(t).
Des paramètres typiques [116] pour une nanoparticule de cobalt de 3nm sont un facteur gyromagnétique γ = 1.76 × 1011(Ts)−1, une constante d’anisotropie K = 2.2 × 105J/m3, un volume V = 14.1 × 10−27m3, et une aimantation à saturation µs = 2.36 × 10−20J/T.
Tous les résultats numériques de ce chapitre découlent de l’intégration de l’équa-tion de Landau-Lifshitz-Gilbert telle qu’elle est écrite en Eq. (2.7). Nous avons donc mis au point un code qui résout numériquement cette équation en fonction des diffé-rents paramètres. La méthode numérique que nous avons retenue est l’algorithme de Heun[117], qui est très largement utilisé pour intégrer l’équation LLG car elle offre un bon compromis entre temps de calcul et précision numérique. Cet algorithme est détaillé en annexe 5.2.
La figure (2.6) illustre la trajectoire du moment magnétique soumis à une exci-tation autorésonante de type champ magnétique tournant, avec un amortissement valant λ = 0.01. Ici le champ magnétique statique vaut B0 = 0.1 T, le champ ma-gnétique tournant a une amplitude b = 3 mT et la taux de variation de sa fréquence vaut α = 0.5 × 1018 Hz/s. Le champ oscillant suivant un axe fixe produit une tra-jectoire de l’aimantation sensiblement identique. Le moment magnétique passe de µsez à −µsez par un mouvement de précession (Mx et My oscillent en quadrature de phase) dont la fréquence s’annule vers 10 ns lorsqu’il arrive au sommet de la barrière d’énergie. Après le passage de la barrière d’énergie, le moment relaxe vers
Figure 2.6 – Evolution de Mx (vert), My (bleu) et Mz (rouge) lors d’un re-tournement par autorésonance.
Figure 2.7 – Fréquence instantanée du moment magnétique (en bleu) et fréquence de l’excitation (en vert).
−ez à cause de l’amortissement et, bien que le champ magnétique oscillant soit tou-jours actif, il n’a plus d’influence car le verrouillage de phase est perdu. Afin de vérifier que le moment est bien verrouillé en phase avec l’excitation, on calcule la fréquence instantanée de précession. Pour ce faire, on utilise un algorithme basé sur la transformée de Hilbert [118]. Cette dernière est définie de la façon suivante :
Mh(t) = F−1{−i sgn(ω)F {M}(ω)} = 1 π � +∞ −∞ M (τ ) t − τ dτ (2.11)
où sgn est une fonction qui renvoie le signe de son argument, en l’occurrence la fréquence angulaire ω, F est la transformée de Fourier et Mh est la transformée de Hilbert d’une composante de l’aimantation M . C’est donc une méthode non-locale, on a besoin de l’ensemble du signal M (t) pour déterminer sa fréquence instantanée fi(t). On peut alors calculer à la phase instantanée de M (t) :
φ(t) = arctan(Mh
M ) (2.12)
Enfin, on remonte à la fréquence instantanée fi(t) = 2π1 dφdt.
On a vu dans la section précédente que pour activer l’autorésonance il est néces-saire que l’excitation dépasse une certaine amplitude. Au-delà de cette amplitude seuil, le moment magnétique est capturé en autorésonance jusqu’à inversion de l’ai-mantation. On peut alors déterminer l’amplitude seuil en cherchant l’amplitude d’excitation minimale qui mène au retournement du moment magnétique. Les
am-plitudes seuils déterminées dans le cas d’un champ magnétique tournant et d’un champ magnétique oscillant selon un axe fixe sont illustrées sur la figure (2.8) en fonction de α3/4.
Figure 2.8 – Amplitude seuil de l’excitation en fonction α3/4pour les deux types de champs magnétiques oscillants : champ tournant (disques rouges) et champ oscillant selon un axe fixe (triangles bleus).
On remarque que le seuil est une fonction linéaire du taux de variation de la fréquence élevée à la puissance 3/4 ce qui est caractéristique des problèmes d’au-torésonance. On observe également que le seuil est deux fois plus faible avec un champ magnétique tournant comparé au cas du champ magnétique oscillant suivant un axe fixe. C’est donc ce type d’excitation que l’on étudiera dans la suite de ce chapitre. Le fait que le seuil dépende ainsi du taux de variation de la fréquence si-gnifie que si l’on veut réduire l’amplitude de l’excitation il faut également faire varier la fréquence plus lentement. Au contraire, si l’on veut accélérer le retournement de l’aimantation, c’est-à-dire diminuer la fréquence plus rapidement, il faut en contre-partie augmenter l’amplitude de l’excitation en accord avec la dépendance en α3/4. On peut supposer qu’au-delà d’une certaine valeur de α l’amplitude seuil devient si grande que l’on perd cet avantage apporté par l’autorésonance, i.e., atteindre de très larges amplitudes d’oscillations avec une très petite excitation.
En présence d’amortissement, on peut estimer qu’il suffit d’augmenter l’énergie potentielle jusqu’au sommet de la barrière d’énergie pour qu’ensuite le moment ma-gnétique relaxe vers l’autre versant de la barrière pour rejoindre la deuxième orienta-tion d’équilibre et se retourner. Au sommet de cette barrière d’énergie, la précession change de sens et sa fréquence s’annule. Si l’on appelle t0 l’instant correspondant à cet évènement, et si l’on suppose que le verrouillage de phase est effectif, alors t0 = f0
α. Concrètement, on peut donc estimer et contrôler le temps de retournement en fixant α.