Principe de l’homog´en´eisation non lin´eaire

En adoptant (4.62) pour loi de comportement de la matrice, le probl`eme non lin´eaire `a r´esoudre est form´e par le syst`eme d’´equations suivant :

div σ = 0 (Ω) (a) σ(x) = (x) : ε(x) + σp_{(x) (Ω) (b)} ε= 1 2 grad ξ + t_{grad ξ
(Ω) (c)} [[ ξ ]]_{· n = 0 et σ · n//n} (∂Ωl_{) (d)} ξ(x) = E· x (∂Ω) (e) (4.67) avec (x) = s_{(ε(x)) ; σ}p_{(x) = σ}p s(ε(x)) (x∈ Ωs) (a) (x) =
; σp(x) = 0 (x_{∈ Ω}p_{) (b)} (x) _{→ ∞} ; σp(x) = 0 (x_{∈ Ω}r_{∪ Ω}l_{) (c)} (4.68)

Le probl`eme (4.67) n’est pas classique dans la mesure o`u, d’apr`es (4.68), le tenseur de raideur de la matrice s _{n’est pas uniforme puisqu’il est une fonction explicite du champ}

de d´eformation ε(x) qui est h´et´erog`ene et d´epend du niveau de d´eformation macrosco- pique E. Ainsi les m´ethodes usuelles d’homog´en´eisation lin´eaire ne sont pas directement applicables. Le principe de r´esolution approch´ee que nous allons alors adopter consiste `a se ramener `a un probl`eme lin´eaire en rempla¸cant les champs h´et´erog`enes (x) et σp<sub>(x) `a</sub>

l’int´erieur de la matrice par des champs uniformes, autrement dit la matrice est remplac´ee par un mat´eriau lin´eaire ´equivalent dont il faut ajuster les propri´et´es. Dans cet optique, on introduit un tenseur de d´eformation effective εeff _{et on approche les champs de raideur}

et de pr´econtrainte h´et´erog`enes “r´eelles” par les valeurs uniformes prises en εeff _:

∀x ∈ Ωs        (x) = s_(ε(x))→ s _εeff
σp_{(x) = σ}p s(ε(x))→ σps εeff
(4.69)

La d´eformation effective εeff _{sera choisie de mani`ere `a ˆetre repr´esentative du champ}

h´et´erog`ene, au sens par exemple d’une certaine moyenne sur le domaine Ωs_{. En parti-}

culier, εeff _{devra ˆetre fonction de l’´etat de d´eformation macroscopique E. Plusieurs choix}

sont pr´esent´es `a la section 4.4.2.

En fonction de la d´ecomposition (4.62) choisie, on construit des m´ethodes d’homog´en´eisation diff´erentes (cf. Fig. 4.3) :

– lorsque σp

s est pris nul, il s’agit de la m´ethode s´ecante [97],

– si s _{et σ}p

s sont ceux de la formulation tangente (4.63), il s’agit de la m´ethode

tangente ([76], [75], [77]) ou affine [72], – si enfin s _{et σ}p

s n’ont pas de propri´et´e particuli`ere par rapport `a la loi non lin´eaire

(4.57) si ce n’est qu’ils v´erifient (4.62), il s’agit d’une m´ethode affine quelconque. L’inconv´enient de la m´ethode s´ecante r´eside dans le fait qu’elle peut g´en´erer un tenseur

s _{non positif (ce sera le cas pour une matrice de Drucker-Prager au chapitre 6), ce}

qui explique l’int´erˆet pour une formulation affine contruite de mani`ere `a satisfaire la positivit´e de s_{. La formulation tangente pr´esente l’avantage de fournir l’approximation}

la plus proche de la loi non lin´eaire au voisinage de εeff _{alors que la m´ethode s´ecante}

par exemple s’appuie sur un tenseur s _{trop raide (cf. Fig. 4.3). Mais elle poss`ede une}

faiblesse majeure : σp

s (4.63) d´epend en g´en´eral du tenseur εeff et non uniquement de ses

invariants. Le caract`ere tensoriel de εeff _{peut s’av´erer pr´ejudiciable s’il est d´efini comme}

une moyenne et si le champ ε pr´esente d’importants changements d’orientation au sein de la matrice. Consid´erant par exemple un cas de figure o`u les phases du v.e.r. sont r´eparties de mani`ere isotrope et o`u le chargement E est sph´erique, il est alors naturel de consid´erer que εeff <sub>d´efini comme la moyenne de ε sur Ω</sub>s <sub>sera sph´erique et ne refl`etera</sub>

ε εeff

σ _{formulation s´ecante}

formulation affine quelconque formulation tangente

loi non lin´eaire

Fig. _{4.3 – Formulations s´ecante, affine et tangente du comportement}

matrice de von Mises trait´ee au chapitre5pour laquelle on utilise la loi (5.23), il est facile de montrer que σp s s’´ecrit : σp_s(εeff) = −2 εeffd µs0(ε eff d ) ε eff d (4.70)

Appliquant le raisonnement pr´ec´edent, on obtient dans le cas d’un chargement isotrope, εeff_d = 0 et donc σp

s(εeff) = 0 alors que le champ σps(ε) n’est certainement pas nul. On

ne choisira donc pas cette m´ethode par la suite. Lorsque la m´ethode s´ecante fournit un tenseur s _{non positif, on construit plutˆot une formulation affine avec des tenseurs} s

(positif) et σp

s satisfaisant l’isotropie et la d´ependance en les deux premiers invariants de

ε.

Voici les ´etapes successives de la proc´edure d’homog´en´eisation dans le cas d’une formula- tion affine quelconque (la formulation s´ecante en est un cas particulier) [97] :

1. En proc´edant au remplacement (4.69) de la raideur et de la pr´econtrainte dans la matrice, le syst`eme (4.67) correspond maintenant `a un probl`eme d’´elasticit´e lin´eaire. Il est donc possible de d´eterminer la contrainte macroscopique Σ =< σ > sous la forme :

Σ =

hom _{: E + Σ}p _(4.71)

Cette premi`ere ´etape fait appel `a des sch´emas d’homog´en´eisation lin´eaire choisis en fonction de donn´ees ou d’hypoth`eses morphologiques. Certains sch´emas ont ´et´e ex- pos´es au chapitre2.

hom_{et Σ}p _{d´ependent donc directement des propri´et´es effectives} s _εeff
_{et σ}p

s εeff

.

2. La deuxi`eme ´etape consiste en la d´etermination de la d´eformation effective. Comme nous avons suppos´e que s _{et σ}p

de ε (4.64), ce n’est pas un tenseur εeff _{que nous recherchons mais deux invariants} effectifs εeff v et ε eff d en fonction de E : εeff v = εeffv (E, s, σps) ; ε eff d = ε eff d (E, s, σps) (4.72) avec s_εeff v , ε eff d  ; σp_sεeff v , ε eff d  (4.73) On pr´esente `a la section 4.4.2 plusieurs choix possibles d’invariants effectifs. Il convient de pr´eciser que les calculs conduisant `a la d´etermination des fonctions εeff

v (E) et ε eff

d (E) seront men´es dans un cadre lin´eaire et celles-ci seront positive-

ment homog`enes de degr´e 1.

3. La derni`ere ´etape consiste `a r´esoudre la non lin´earit´e du probl`eme pos´e par (4.71), (4.72) et (4.73). La non lin´earit´e provient du fait que

hom _{et Σ}p

d´ependent de εeff v

et εeff_d qui sont des fonctions de E. En combinant ces ´equations, nous obtenons une relation macroscopique de la forme :

Σ =

hom_{(E) : E + Σ}p_{(E) (4.74)}

Une relecture de la d´emarche dans le cas visqueux conduit donc `a une expression du type :

Σ =

hom_{(D) : D + Σ}p_{(D) (4.75)}

Pour respecter l’homog´en´eit´e des grandeurs physiques, il est clair que

hom _{est homog`ene}

de degr´e 1 par rapport `a s _deff

. De mˆeme Σp(D) est homog`ene de degr´e 0 par rapport `a s _deff
_{et de degr´e 1 par rapport `a σ}p

s deff

. Or on a vu en (4.46) que s _deff
_´etait

homog`ene de degr´e _{−1 et que σ}p s deff

ne d´ependait que de l’orientation de deff_{. De}

plus, le choix de deff _{est tel que d}eff_{(D) est homog`ene de degr´e 1. Au final, il apparaˆıt}

que la relation Σ(D) ne d´epend que de l’orientation de D et non de sa norme, soit de cinq param`etres ind´ependants (par exemple les rapports de cinq composantes de D sur la sixi`eme), ce qui d´efinit bien une surface dans l’espace des contraintes. Contrairement `a l’expression exacte (4.39), il n’est pas garanti que la technique d’homog´en´eisation non lin´eaire fournisse une relation Σ(D) (4.75) satisfaisant le crit`ere de normalit´e (tel que D soit normal ext´erieur `a la surface en Σ). On montre `a l’annexe 7.2 que cette propri´et´e est obtenue si et seulement si Σ d´erive d’un potentiel. On montre aussi que ce potentiel n’est autre que la fonction d’appui de la surface d’´equation Σ(D).