D´efinition du crit`ere macroscopique ([93], [27])

4.1.2

D´efinition du crit`ere macroscopique ([93], [27])

Afin de d´efinir le crit`ere macroscopique, il convient d’´ecrire le probl`eme `a r´esoudre sur le v.e.r. consid´er´e comme une structure et notamment le mode de chargement. Par le lien qu’il entretient avec l’analyse limite, le calcul `a la rupture s’´ecrit classiquement `a l’aide de grandeurs cin´ematiques en vitesse [91]. On pourra donc utiliser les r´esultats du chapitre1 transpos´es en vitesse. Parmi plusieurs modes de chargement possibles expos´es dans [27], on choisit un chargement d´efini par des conditions aux limites de type taux de d´eformation homog`ene au contour du v.e.r. Ω c’est-`a-dire que l’ensemble des champs de vitesse microscopiques cin´ematiquement admissibles s’´ecrit :

En ce qui concerne la r´egularit´e des champs de vitesse cin´ematiquement admissibles, on rappelle que l’on admet des champs _C1 _{par morceaux ce qui signifie en particulier que}

sont autoris´ees les discontinuit´es de vitesse.

Conform´ement `a la th´eorie du calcul `a la rupture [91], le chargement macroscopique est d´etermin´e en calculant la grandeur duale au taux de d´eformation macroscopique D permettant d’exprimer la puissance des efforts ext´erieurs par unit´e de volume. Pour cela transcrivons d’abord la r`egle de moyenne (1.27) en vitesse en utilisant un champ de vitesse u_{∈ CA(D) et un champ de contrainte σ en ´equilibre et de moyenne Σ :}

Σ : D =< σ : d > (4.14)

Cette r`egle de moyenne n’est autre que le lemme de Hill (cf. § 1.2.3) transpos´e en vitesse dans le cas de conditions aux limites de type (4.13). Le membre de droite de (4.14) est la puissance de d´eformation par unit´e de volume qui est donc ´egale, d’apr`es le ppv [92], `a la puissance des efforts ext´erieurs par unit´e de volume. On trouve naturellement dans le membre de gauche que Σ est le chargement macroscopique recherch´e. On d´efinit alors l’ensemble des champs de contrainte microscopique σ statiquement admissibles avec un ´etat de contrainte macroscopique donn´e Σ par :

SA(Σ) =σ : Ω → R6 _{| div σ = 0 et < σ >= Σ (4.15)}

Nous sommes maintenant en mesure de d´efinir l’ensemble Ghom _{des ´etats de contrainte}

macroscopiques compatibles avec les donn´ees en r´esistance du probl`eme. Un tel ´etat de contrainte Σ est compatible si et seulement s’il est possible de l’´equilibrer par un champ σ ∈ SA(Σ) qui respecte en tout point le crit`ere de r´esistance local :

Ghom=          Σ| ∃ σ ∈ SA(Σ)          ∀x ∈ Ωα _{(α = s, p, r, l) σ ∈ G}α ∀x ∈ ∂Ωl _{T = σ· n ∈ G}I          (4.16)

Examinons maintenant la d´efinition duale de Ghom_{. Prenons Σ∈ G}hom _{et un champ σ}

satisfaisant les propri´et´es explicit´ees dans (4.16). Consid´erons ´egalement l’ensemble des champs de vitesse u_{∈ CA(D). Comme le champ σ respecte en tout point le crit`ere de} r´esistance local, il d´ecoule de (4.14) et de la d´efinition de la fonction d’appui locale not´ee π (dans Ωα

(α=s,p,r,l) on a π = πα et sur ∂Ωl on a π = πI) que :

Σ : D ≤ Πhom_{(D) avec Π}hom_{(D) = inf} ∈CA(

)< π(d) > (4.17)

en notant que la moyenne de π peut comporter des termes d’int´egrale de surface en pr´esence d’une discontinuit´e de vitesse :

< π(d) >= 1 |Ω| Z Ω π(_{{d}) dΩ +} Z S π([[ u ]], n) dS  (4.18)

Le cas d’une surface de discontinuit´e traversant un domaine donn´e Ωα _{(mˆeme mat´eriau}

de part et d’autre de la surface) se traite ais´ement en calculant π([[ u ]], n) = πα_{([[ u ]]⊗ n)}s

[91]. Si la surface de discontinuit´e s´epare deux domaines d´elimitant des mat´eriaux dis- tincts, on ´evalue la fonction π de chacun d’entre eux en [[ u]] _{⊗ n ainsi que la fonction π}s relative `a l’´eventuel crit`ere d’interface (ici πI _{si la surface de discontinuit´e est localement}

tangente `a ∂Ωl_{) puis on prendra pour valeur de π dans l’int´egrale surfacique de (4.18) la}

plus petite de ces deux ou trois valeurs [90], ce qui revient en quelque sorte `a consid´erer que la discontinuit´e se situe localement soit sur l’interface soit dans l’int´erieur de l’un des domaines `a une distance infinit´esimale de l’interface. Par exemple, si la surface de dis- continuit´e est localement tangente `a la fronti`ere de Ωl _{et si la discontinuit´e est purement}

tangentielle (i.e. [[ u ]]_{· n = 0), alors, d’apr`es (}4.12), on a π([[ u ]], n) = πI_{([[ u ]], n) = 0. En}

revanche, on consid´erera qu’une discontinuit´e ayant une composante normale non nulle se situe `a l’int´erieur du domaine Ωs <sub>et non pr´ecis´ement sur l’interface o`u π</sub>I _{est infini.}

Selon un r´esultat classique [46], la fonction Πhom _{introduite en (4.17) et obtenue en}

r´esolvant un probl`eme d’optimisation sur l’espace CA(D) correspond exactement `a la fonction d’appui du convexe Ghom _{d´efini en (4.16). Il est ´evident, d’apr`es (4.17), que}

les candidats pertinents u<sub>∈ CA(D) utilis´es pour r´esoudre ce probl`eme d’optimisation</sub> doivent correspondre `a une valeur de π finie. Si de tels champs n’existent pas, cela si- gnifie que D rend Πhom _{infini. Ainsi, pour que π soit fini, il est n´ecessaire d’apr`es (4.9)}

que le champ de vitesse satisfasse d = 0 dans les inclusions rigides, ce qui donne une valeur nulle de π dans Ωr _{et Ω}l_{. La fonction π prend ´egalement une valeur nulle dans les}

pores (4.8) mais d y est quelconque. D’apr`es (4.12), on doit aussi imposer [[ u ]]· n = 0 sur ∂Ωl_{, ce qui annule encore π. Notons que l’on peut quand mˆeme imaginer des m´ecanismes}

pr´esentant une discontinuit´e normale au niveau de cette interface ou mˆeme une discon- tinuit´e quelconque au niveau de l’interface entre la matrice et un renfort adh´erent mais alors, conform´ement au raisonnement propos´e quelques lignes plus haut, on consid´erera que la surface de discontinuit´e est situ´ee dans l’int´erieur de Ωs _{(dans lequel π = π}s_{). Une}

telle discontinuit´e contribue alors `a Πhom _{comme toute discontinuit´e traversant Ω}s_{. On}

introduit le sous-ensemble suivant de CA(D) :

CA0(D) =        u_{∈ CA(D)}         ∀x ∈ Ωr_{∪ Ω}l _{d= 0} ∀x ∈ ∂Ωl _{[[ u ]]· n = 0}        (4.19)

Ainsi, en tenant compte implicitement des remarques formul´ees plus haut sur la prise en compte d’une discontinuit´e au niveau d’une interface en fonction de la nature de celle-ci, la fonction d’appui du crit`ere macroscopique s’´ecrit :

Πhom(D) = inf

∈CA0₍

)ϕ

s _{< π}s_{(d) >}

La relation (4.17) prouve que Ghom_{est born´e par l’hyperplan d’´equation Σ : D = Π}hom_(D).

En particulier, si Σ appartient `a la fois `a cet hyperplan et `a Ghom_{, ce tenseur appartient}

alors `a la fronti`ere ∂Ghom _{en un point o`u la normale `a ∂G}hom _{est parall`ele `a D :}

Σ : D = Πhom_(D) Σ_{∈ G}hom          ⇒ Σ_{∈ ∂G}hom (4.21)

Le raisonnement classique du calcul `a la rupture permet d’obtenir une estimation par l’int´erieur de Ghom _{(en trouvant un ensemble contenu dans G}hom_{) et une estimation par}

l’ext´erieur (en trouvant un ensemble qui contient Ghom_{) (cf. Fig.4.2). Les deux approches}

Σij

Σkl

Ghom

app. cin´ematique par l’ext´erieur app. statique par l’int´erieur

Fig. _{4.2 – Approches statique et cin´ematique du calcul `a la rupture}

peuvent ˆetre ainsi r´esum´ees ([90],[91]) : • Approche statique par l’int´erieur

Il s’agit de trouver des ´etats de contrainte macroscopiques Σ_{∈ G}hom_{en construisant}

explicitement, pour chaque Σ, un champ statiquement admissible et compatible avec le crit`ere au sens de (4.16). L’enveloppe convexe de tous ces ´etats Σ est alors incluse dans Ghom<sub>. Une id´ee possible est de conf´erer `a la matrice un comportement</sub>

fictif ´elastique parfaitement plastique ayant pour crit`ere de plasticit´e le crit`ere de r´esistance et de charger le v.e.r. selon diverses ´evolutions d´efinies par D(t). Le chemin parcouru par Σ(t) =< σ(t) > est appartient alors `a Ghom_.

• Approche cin´ematique par l’ext´erieur

S’il ´etait possible de calculer explicitement la fonction Πhom_{(D) d´efinie par (4.20)}

pour toutes les orientations possibles de D, Ghom_{serait alors compl`etement d´etermin´e.}

Dans le cas g´en´eral, il n’est pas envisageable d’effectuer la minimisation (4.20) sur un espace aussi important que CA0_{(D). Toutefois, on peut obtenir une estimation}

par exc`es de Πhom_{(D) en restreignant la minimisation sur un sous-espace deCA}0_(D)

bien choisi. D’apr`es l’in´egalit´e (4.17), trouver un majorant de Πhom _{pour chaque D}

envisag´e revient `a s´eparer l’espace des contraintes en deux demi-espaces dont l’un contient enti`erement Ghom_.

La combinaison des approches par l’int´erieur et par l’ext´erieur permet d’encadrer Ghom_.

Il faut noter que la mise en œuvre de ces approches repose sur la connaissance pr´ecise de la microstructure puisque l’une n´ecessite la construction de champs de contrainte et l’autre de champs de vitesse. Or, on ne connait que des informations partielles sur la microstructure dans le cas d’une distribution al´eatoire. Il s’agira donc d’exploiter ces informations pour obtenir une estimation de Ghom_{. Il faudra au pr´ealable montrer que}

Ghom_{peut ˆetre obtenu par la r´esolution d’un probl`eme classique de m´ecanique non lin´eaire}

susceptible d’ˆetre abord´e par le biais de techniques d’homog´en´eisation non lin´eaire.

4.2

Le crit`ere de r´esistance macroscopique en pr´esence