4.4 Techniques de r´esolution par homog´en´eisation non lin´eaire
4.4.2 Choix de la d´eformation effective
Lors de la deuxi`eme ´etape du processus d’homog´en´eisation, on a vu qu’il s’agissait de d´eterminer des invariants de d´eformation effectifs. Pour prendre en compte du mieux
possible le niveau de d´eformation dans la phase solide induit par le chargement E, on d´efinit les d´eformations effectives comme des moyennes sur la phase solide des champs correspondants. On propose trois choix de d´eformations effectives qui d´efinissent trois m´ethodes diff´erentes d’homog´en´eisation non lin´eaire : la m´ethode classique, la m´ethode modifi´ee ([95],[97]) et la m´ethode mixte ([41], [68]).
M´ethode classique
Cette m´ethode se caract´erise par le choix d’une moyenne directe des d´eformations, c’est- `a-dire les moments d’ordre 1 sur la phase solide :
εeffv = εv =< εv >Ωs ; εeffd = εd =√< εd >Ωs:< εd >Ωs (4.76)
En pratique, le calcul de ces d´eformations effectives s’effectue dans le cadre lin´eaire de la section2.3.1 avec s et σp
s fonctions de εeffv et ε eff
d (4.73). Pour ce choix de d´eformations
effectives, on notera :
s(ε
v, εd) = s ; σsp(εv, εd) = σps (4.77)
Si s est isotrope, on notera les modules effectifs :
ks(εv, εd) = ks ; µs(εv, εd) = µs (4.78)
En gardant `a l’esprit que les moyennes choisies doivent ˆetre repr´esentatives du niveau des invariants de d´eformation de la phase solide en fonction de E, le recours `a une moyenne sur le tenseur εd peut ˆetre pr´ejudiciable dans la mesure o`u εd n’a pas une orientation
fixe alors que l’on cherche le niveau moyen de sa norme. Dans le cas d’une distribution isotrope des phases et d’un chargement sph´erique, il ne fait aucun doute que la moyenne de εd sur la phase solide et donc le moment d’ordre 1 correspondant sont nuls alors que
des d´eformations d´eviatoriques importantes apparaissent sur la p´eriph´erie des pores ou des inclusions [89]. Ce probl`eme est intimement li´e au d´ecouplage entre les contributions sph´erique et d´eviatorique du chargement sur les moments d’ordre 1 d´ej`a ´evoqu´e `a la section2.3.1.
M´ethode modifi´ee
La m´ethode modifi´ee propos´ee par Suquet ([95],[97]) consiste `a choisir le moment d’ordre 2 pour d´eformation effective d´eviatorique. Comme nous avons ´egalement besoin d’une d´eformation effective volumique, nous nous proposons dans cette m´ethode de la d´efinir aussi comme le moment d’ordre 2. Les d´eformations effectives sont donc donn´ees ici par :
εeff
v = εv =
p < ε2
Comme pour les moments d’ordre 1, ceux-ci sont calcul´es `a l’aide du sch´ema lin´eaire choisi `a la premi`ere ´etape. La section 2.3.2 montre qu’ils s’obtiennent grˆace `a la m´ethode ´energ´etique inspir´ee de Kreher [60]. Pour ce choix de d´eformations effectives, on notera :
s ε v, εd = s ; σp s εv, εd = σp s (4.80)
Si s est isotrope, on notera les modules effectifs :
ks εv, εd
= ks ; µs εv, εd
= µs (4.81)
Dans le cas o`u la pr´econtrainte σp est nulle et o`u le comportement de la matrice est
´elastique non lin´eaire c’est-`a-dire qu’il s’´ecrit `a partir d’un potentiel, cette m´ethode dite s´ecante modifi´ee pr´esente un int´erˆet majeur par rapport `a son homologue classique : elle permet en effet de construire une formulation variationnelle simple ´equivalente ainsi qu’un potentiel dont d´erive la loi macroscopique (la d´emonstration figure en annexe 7.3). L’interpr´etation de ce r´esultat dans le contexte du comportement visqueux (4.44) indique imm´ediatement que la m´ethode s´ecante modifi´ee conduit `a la d´etermination d’un potentiel dont d´erive Σ, ce qui signifie encore, d’apr`es l’annexe 7.2, que le tenseur D intervenant dans l’´ecriture des conditions aux limites respecte la propri´et´e de normalit´e `a la fronti`ere de l’estimation de Ghom par cette m´ethode.
N´eanmoins la m´ethode modifi´ee n’est pas exempte de tout reproche. En effet, alors que le caract`ere tensoriel de εd posait probl`eme dans la m´ethode classique, ici c’est le caract`ere
scalaire alg´ebrique de εv (i.e. qui peut, a priori, changer de signe) dont il n’est pas possible
de rendre compte avec une moyenne quadratique (4.79).
M´ethode mixte
La m´ethode mixte tire profit des deux m´ethodes pr´ec´edentes en choisissant les d´eformations effectives qui pr´esentent le moins d’inconv´enients. En consid´erant les remarques formul´ees plus haut, il semble naturel que le choix se porte sur :
εeff
v = εv =< εv >Ωs ; εeffd = εd =√< εd : εd >Ωs (4.82)
Pour ce choix de d´eformations effectives, on notera :
s ε v, εd = ˆs ; σp s εv, εd = ˆσps (4.83)
Si s est isotrope, on notera les modules effectifs :
ks εv, εd
= ˆks ; µs εv, εd
C’est cette m´ethode que nous utiliserons en g´en´eral par la suite.
Les techniques d’obtention du crit`ere macroscopique sont mises en œuvre dans les cha- pitres suivants pour un crit`ere purement coh´erent de la phase solide (crit`ere de von Mises) puis pour un crit`ere frottant (crit`ere de Drucker-Prager).
Chapitre 5
Matrice de von Mises
Sommaire
5.1 Le crit`ere de von Mises . . . 109 5.1.1 D´efinition du crit`ere . . . 109 5.1.2 R´egularisation du crit`ere. . . 109 5.1.3 Loi ´elastique non lin´eaire . . . 113 5.2 Application `a un milieu poreux `a matrice homog`ene . . . 114 5.2.1 Cas sec tridimensionnel . . . 114 5.2.2 Cas pressuris´e. . . 116 5.2.3 Cas sec bidimensionnel. . . 117 5.3 Application `a un milieu renforc´e . . . 118 5.3.1 D´etermination du crit`ere macroscopique . . . 119 5.3.2 Discussion sur le crit`ere macroscopique. . . 121
Ce chapitre a pour but d’appliquer les techniques ´evoqu´ees au chapitre pr´ec´edent `a un v.e.r.dont le crit`ere de la phase matricielle est celui de von Mises pour obtenir le crit`ere macroscopique. Cette d´emarche va nous permettre de valider nos m´ethodes lorsque les inclusions sont des pores ou des renforts rigides adh´erents puisque celles-ci permettent de retrouver des r´esultats obtenus par plusieurs auteurs par la technique des potentiels en loi puissance (par exemple [86], [99], [74], [65], [97]) mais nous examinerons ´egalement l’effet des renforts lisses sur le crit`ere macroscopique.