Comportement visqueux de la matrice

Formulation du probl`eme ([85], [65], [47])

Donnons-nous un taux de d´eformation macroscopique D et supposons que Σ d´esigne un point de la fronti`ere de Ghom <sub>o`u D est normale ext´erieure. Supposons ´egalement avoir</sub>

trouv´e un couple (σ, u) tel que σ soit statiquement admissible avec Σ et compatible en tout point du v.e.r. avec le crit`ere et que u r´ealise le minimum de (4.20). D’apr`es le th´eor`eme d’association [91], en tout point o`u d(u) _{6= 0, σ appartient `a la fronti`ere du} crit`ere local o`u d(u) est dirig´e suivant la normale ext´erieure et, en tout point o`u d(u) = 0, σ peut se trouver n’importe o`u dans le domaine de r´esistance.

On a vu (_§ 4.1.1) que l’´etat de contrainte d´efini par ∂πs_{/∂d (d), sous r´eserve que la}

fonction πs _{soit diff´erentiable, est situ´e sur la fronti`ere de G</sub>s <sub>c’est-`a-dire qu’il sature le}

crit`ere (fs<sub>(∂π</sub>s<sub>/∂d (d)) = 0). Supposons donc que π</sub>s <sub>soit suffisamment r´eguli`ere (rappe-</sub>

lons qu’une condition suffisante est fournie en annexe 7.1.1) pour introduire la relation σ = ∂πs_{/∂d (d) comme comportement fictif visqueux de la matrice. Il faut tout de mˆeme}

pr´eciser que πs _{n’est jamais diff´erentiable en 0 si le domaine de r´esistance n’est pas r´eduit}

`a_{{0} (cf.} 7.1.2). On remplace alors la relation σ = ∂πs_{/∂d (d) en d = 0 par :}

σ _{∈ ∂ π}s(0) (4.34)

o`u ∂ πs_{(0) est le sous-diff´erentiel de π}s _{en d = 0. Par d´efinition ∂ π}s_(d

o) d´esigne l’en-

semble des ´etats de contrainte σ satisfaisant l’in´egalit´e suivante :

∀d, πs(d)_{− π}s(do)≥ σ : (d − do) (4.35)

Rappelant que πs_{(0) = 0, la condition (4.35) appliqu´ee `a d}

o = 0 est satisfaite si et seule-

ment si σ _{∈ G}s _{(cf. (4.4)). En d’autres termes, on peut conclure que ∂ π}s_{(0) = G}s_{. Par}

cons´equent la condition devant ˆetre remplie par σ si d = 0 devient simplement σ _{∈ G}s_.

En particulier, σ n’appartient pas n´ecessairement `a ∂Gs <sub>en tout point o`u d = 0. Ceci est</sub>

parfaitement coh´erent avec le th´eor`eme d’association ´evoqu´e ci-avant.

Il paraˆıt naturel d’exploiter ce comportement fictif visqueux dans un probl`eme pos´e sur le v.e.r.<sub>. On impose naturellement σ = 0 dans les pores et d = 0 dans les renforts rigides</sub> et on adapte les conditions d’interface lisse (2.5). Ainsi les ´equations de ce probl`eme de viscosit´e sont : div σ = 0 (Ω) (a) σ = ∂π s ∂d(d) (Ω s_{) (b)} σ = 0 (Ωp_{) (c)} d= 0 (Ωr_{∪ Ω}l_{) (d)} d= 1 2 grad u + t_{grad u
(Ω) (e)} u = D· x (∂Ω) (f ) [[ u ]]_{· n = 0} (∂Ωl_{) (g)} σ_{· n//n} (∂Ωl_{) (h)} (4.36)

On note imm´ediatement que le probl`eme (4.36) se pr´esente formellement comme un probl`eme d’´elasticit´e non lin´eaire dans lequel le taux de d´eformation jouerait le rˆole de la d´eformation elle-mˆeme et la fonction d’appui jouerait le rˆole de l’´energie libre volumique locale.

D’une part, il apparaˆıt clairement que les ´equations (4.36a), (4.36b), (4.36c) et (4.36h), en g´en´erant un champ de contrainte compatible avec le crit`ere en tout point, suffisent pour affirmer que Σ =< σ > est situ´e dans Ghom _{(4.16). En particulier, l’in´egalit´e (4.17)}

est satisfaite. D’autre part, nous pouvons exploiter la relation (4.5) ainsi que (4.36b) pour obtenir :

qui est ´egalement v´erifi´e pour d = 0. En prenant la moyenne de (4.37) sur la phase matricielle et en utilisant le lemme de Hill (1.37), il vient :

ϕs < πs(d) >Ωs= ϕs < σ : d >_Ωs= Σ : D ⇒ Πhom(D)≤ Σ : D (4.38)

En combinant (4.17) et (4.38), on d´eduit que Πhom_{(D) = Σ : D. Ainsi les deux pr´emisses}

de (4.21) sont v´erifi´ees et il en r´esulte que Σ est une charge extrˆeme (Σ∈ ∂Ghom_{). Ajou-}

tons que cela conf`ere `a Πhom _{le statut de fonction d’appui de G}hom_{. De plus, si Π}hom _est

suffisamment r´eguli`ere, on a, pour D 6= 0 : Σ = ∂Π

hom

∂D (D) (4.39)

Calculant Σ par (4.39) lorsque D varie dans toutes les directions de R6_{, on d´ecrit ainsi}

la fronti`ere de Ghom_.

Il est ´egalement important de souligner le fait qu’un champ de vitesse solution de (4.36) a un statut privil´egi´e puisqu’il r´ealise le minimum de (4.20), c’est donc un m´ecanisme solution au sens du calcul `a la rupture.

Crit`ere de la phase solide fonction des deux premiers invariants

Dor´enavant on supposera que le crit`ere de r´esistance de la phase solide est r´egi par la contrainte moyenne et la contrainte d´eviatorique ´equivalente :

fs(σ) =F(σm, σd) avec          σm = 1₃ tr σ σd =√σd : σd (4.40)

o`u σd = σ− σm1 est la partie d´eviatorique du tenseur des contraintes.

Selon la d´efinition (4.2), la fonction d’appui s’´ecrit maintenant `a l’aide du taux de d´eformation volumique dv et de la partie d´eviatorique du taux de d´eformation dd :

πs(d) = sup{σmdv+ σd : dd, F(σm, σd)≤ 0} (4.41)

Pour une valeur donn´ee de σd, le choix de σd qui maximise σd : dd est parall`ele `a dd,

c’est-`a-dire σd = (σd/dd) dd. Ainsi (4.41) prend la forme suivante :

πs(d) = sup_{σmdv + σddd, F(σm, σd)≤ 0} (4.42)

Ceci implique imm´ediatement que la fonction d’appui ne d´epend que des invariants dv et

dd de d :

L’´equation d’´etat (4.36 b) peut s’´ecrire : σ = ∂π s ∂dv (dv, dd) 1 + 1 dd ∂πs ∂dd (dv, dd) dd = s(d) : d (4.44)

Ainsi le comportement fictif visqueux de la matrice peut s’´ecrire au moyen d’un tenseur s´ecant isotrope s_{(d) (formellement comparable `a un tenseur de raideur mais de dimension}

diff´erente) c’est-`a-dire au moyen de “modules” de compression et de cisaillement s´ecants ks_(d v, dd) et µs(dv, dd) : s_{(d) = 3 k}s_(d v, dd) + 2 µ s_(d v, dd) avec            ks_(d v, dd) = 1 dv ∂πs ∂dv (dv, dd) 2 µs_(d v, dd) = 1 dd ∂πs ∂dd (dv, dd) (4.45)

Il est rappel´e dans [97] que la d´ecomposition au moyen d’un tenseur s´ecant n’est pas unique. Toutefois, l’expression (4.45) fournit le seul tenseur s _{isotrope satisfaisant (4.44).}

Comme πs _{est positivement homog`ene de degr´e 1 (4.3), σ d´efini par (4.36 b) ne d´epend}

que de l’orientation de d et pas de sa norme et les modules ks _{et µ}s _{sont positivement}

homog`enes de degr´e _{−1 :} ∀ θ ∈ R∗+ ks(θ dv, θ dd) = 1 θ k s_(d v, dd) ; µs(θ dv, θ dd) = 1 θµ s_(d v, dd) (4.46)

Il est important de noter que la d´ecomposition s´ecante du comportement fictif visqueux figurant dans (4.44) n’est pas la seule d´ecomposition possible. En effet, σ peut ´egalement ˆetre exprim´e selon une formulation “affine” (non lin´eaire) :

σ = s(d) : d + σp_s(d) (4.47)

pourvu que σ satisfasse toujours l’´equation d’´etat (4.36 b). On notera en particulier que σp_s(d) ne doit d´ependre que de l’orientation de d.

Il existe une formulation affine particuli`ere faisant intervenir le tenseur des modules tan- gents ([76], [75], [77], [72]). Celle-ci est d´efinie par :

s_{(d) =} ∂2πs ∂d∂d(d) ; σ p s(d) = ∂πs ∂d(d)− ∂2_πs ∂d∂d(d) : d (4.48) Signalons que, partant d’une fonction πs _{de type (4.43), les tenseurs} s _{et σ}p

s ne satisfont

g´en´eralement pas la propri´et´e d’isotropie. Si l’on souhaite respecter l’isotropie dans la formulation “affine” g´en´erale (4.47), on est amen´e `a ne consid´erer que des tenseurs σp s

sph´eriques :

σp_s = σ_sp1 (4.49)

Le choix d’une formulation et notamment le recours `a un terme de pr´econtrainte sera essentiellement motiv´e par le caract`ere d´efini positif que doit prendre le tenseur s_(d).

R´egularisation de la fonction d’appui par une suite de crit`eres

Les d´eveloppements pr´ec´edents ont ´et´e effectu´es dans l’hypoth`ese d’une certaine r´egularit´e de πs<sub>. Or il s’av`ere que, dans le cas des crit`eres usuels (von Mises, Tresca, Drucker-Prager</sub>

ou Coulomb), la fonction d’appui n’est pas diff´erentiable. Pour pouvoir se ramener au probl`eme fictif visqueux (4.36), on d´ecide de r´egulariser πs _{en construisant une suite}

de crit`eres (fs

n)n∈ correspondant `a une suite croissante de domaines born´es strictement

convexes (Gs

n)n∈ tendant vers le domaine Gs au sens suivant :

∀n ∈ N Gs

n ⊂ Gsn+1 et ∪n∈ Gsn = Gs (4.50)

o`u_{D d´esigne l’adh´erence du domaine D dans la topologie usuelle de R}6_{. Pour tout n, le ca-}

ract`ere born´e strictement convexe de Gs

nassure `a sa fonction d’appui πns la diff´erentiabilit´e

requise (cf. 7.1.1).

Supposons maintenant pouvoir trouver, pour chaque probl`eme param´etr´e par n, le do- maine macroscopique correspondant Ghom

n . Ce domaine est th´eoriquement obtenu en sui-

vant la d´emarche expos´ee pr´ec´edemment. En appliquant pour tout n la d´efinition (4.16) d’un crit`ere homog´en´eis´e `a partir des crit`eres locaux, il apparaˆıt que (Ghom

n )n∈ est une

suite croissante de parties de Ghom _:

∀n ∈ N Ghom

n ⊂ Ghomn+1 ⊂ Ghom (4.51)

On admettra par la suite que le choix de la suite de crit`eres (Gs

n)n∈ est suffisamment

judicieux pour que la suite (Ghom

n )n∈ tende bien vers le crit`ere macroscopique au sens

suivant :

∪n∈ Ghomn = Ghom (4.52)

R´egularisation de la fonction d’appui par une suite de potentiels

Afin de r´egulariser la fonction d’appui πs_{, on peut adopter un point de vue l´eg`erement}

diff´erent que celui du paragraphe pr´ec´edent. En effet, au lieu de s’int´eresser `a une suite de crit`eres tendant vers celui de la matrice, on construit une suite de fonctions convexes de classe _C1 _(ψs

n)n∈ tendant vers πs au sens de la limite simple :

∀d lim

n→∞ψ s

n(d) = πs(d) (4.53)

`

A la diff´erence des fonctions d’appui πs

n du paragraphe pr´ec´edent, les fonctions ψsnne sont

pas n´ecessairement positivement homog`enes de degr´e 1 et ne sont donc pas des fonctions d’appui.

Ce point de vue, adopt´e dans [7] et [9], sera illustr´e `a la section 6.1.2.