Preuve du théorème 3.3

wv^Mw⁻¹ρ0

α^∨

=t⁻¹_−αln

q₋^−1/2_α/2q⁻¹_−α . (3.32)

Cette dernière égalité est équivalente à l’affirmation «wv^Mw⁻¹αappartient àΔ₀». Cela résulte entre autres de l’égalité (3.4) du §3.3. La projection orthogonale sura^∗_{wM w}−1,Cmet en bijection l’ensemble

α;α∈Σ^nd,+, wv^Mw⁻¹α∈Δ0

avecΔ_{wM w}−1. Soitα∈Σ^nd,+ tel quewv^Mw⁻¹α∈Δ₀. On noteβ∈Δ_{wM w}−1 sa projection sura^∗_{wM w−}1,C. Les équationsλ(w⁻¹α^∨) = 0etλ(w⁻¹β^∨) = 0définissent le même hyperplan.

L’élémentw⁻¹envoie la chambre dea^∗_{wM w}−1,Cassociée àwQsur celle dea^∗_M,Cassociée àwP. Par conséquent, l’hyperplanλ(w⁻¹β^∨) = 0est le support d’un mur de cette dernière chambre.

Si, de plus, on suppose w⁻¹α <0 alors ce mur appartient aussi à une chambre associée à P∈ P(M)tel quel(P) =l(_wP)−1. De là, on montre facilement que le produit (3.31) est égal àc_wP. L’assertion (ii) se déduit alors de l’assertion (ii) du lemme 3.9. 2

3.11. Preuve du théorème 3.3

Nous allons tout d’abord prouver le théorème 3.3 pour une(G, M)-famille d’un groupeG.

Rappelons qu’on a défini au §3.1 des ensemblesΓetΦ. Pour tout entierk, on noteΓ^kl’ensemble desγ∈Γtels que pour toutP∈ P(M), sil(P)< k, la fonctionγ_P s’annule en0à l’ordre d= dim(a^G_M) + 1. Notons queΓ⁰= Γet que pour k assez grand les élémentsΓ^k sont tous équivalents à0. Par récurrence, on déduit du lemme suivant l’inclusion

Γ⊂Φ + Γ^k

pour toutkce qui prouve bien le théorème 3.3 dans le cas d’une(G, M)-famille.

LEMME 3.11. –Pour tout entierk,

Γ^k⊂Φ + Γ^k+1.

Preuve. –Soit γ∈Γ^k. Considérons la famille finie (P_h)_h∈H formée des P_h ∈ P(M) tel quel(Ph) =k. Soient h∈H etRh le polynôme de degré inférieur ou égal àdqui donne le développement de Taylor deγPh en0à l’ordredsuria^∗_M. Soitβ une racine non divisible telle que l’hyperplan défini parβ^∨ sépare la chambre associée à Ph d’une chambre associée à un sous-groupe paraboliqueP∈ P(M)avecl(P)< l(Ph). Commeγ∈Γ^k,γP s’annule en0à l’ordred. Mais commePhetPsont adjacents, on aγPh(λ) =γP(λ)pour toutλ∈a^∗_M tel que λ(β^∨) = 0. Par conséquent le polynôme Rh est divisible par λ(β^∨)et donc par le polynôme

cPh (défini au § 3.10). Nous en déduisons un polynômeR_h avecRh=cPhR_h. Appliquons le lemme 3.10 àP1=Phetf=R_h. Nous obtenons une fonctionϕh∈ H. Il est alors clair que

γ−

h∈H

γ^ϕh∈Γ^k+1,

ce qu’il fallait démontrer. 2

Étudions maintenant le cas d’une(G,M)-famille pour un espace torduGquasi-déployé i.e.

Gest de la formeGθoùGest un groupe réductif connexe quasi-déployé surF etθest une F-automorphisme deGqui fixe un épinglage(B, T,{X_α}α∈Δ^B_T)stable sous l’action du groupe de GaloisΓ(cf. [26] §III.2). On poseG1= (G^θ)⁰=G1θ: c’est un groupe réductif connexe quasi-déployé surF et la paire(B1, T1) = (B∩G1, T∩G1)est une paire de BorelΓ-stable de G1. On pose(B,T) = (Bθ, Tθ).

On définitΣ(G,T)comme la partie dea^∗_Tformée des vecteurs

¯ α= 1

l_α

lα−1 k=0

θ^k(α)

quand α parcourt Σ(G, T) (lα est le cardinal de l’orbite de α sous l’action de θ). On sait queΣ(G,T)est un système de racines. NotonsΣ(G,T) le sous-système formé des racines indivisibles deΣ(G,T). AlorsΣ(G,T) s’identifie au système de racinesΣ(G1, T1)(cela est dû à Steinberg, cf. [23] chap. 1 ; on trouvera aussi une démonstration dans [18]). Plus exactement, l’espace(a^∗_T)θs’identifie àa^∗_T1et la projection canonique

a^∗_T→(a^∗_T)θa^∗_T1 λ→λ_θ

(3.33)

envoie bijectivementΣ(G,T) surΣ(G1, T1). On peut donc identifier aussi les espaces(a^G_T)^∗ et(a^G_T1¹)^∗. On montre qu’une coracine d’un élément deΣ(G₁, T₁)est un vecteur dea^G_T1a^G_T colinéaire à un élément deΔ^∨_B avecB∈ P^G(T). On a donc une bijection naturelleP^G(T)→ P^G1(T1). Plus généralement (cf. [17] corollaire 1.25), on a des bijections, l’une entreL^G(T)et L^G1(T1)donnée par

M→M1=M1θ

et, l’autre, pourM∈ L^G(T), entreP^G(M)etP^G1(M1θ)donnée par P→P₁=P_1θ.

En outre, l’application (3.33) induit un isomorphisme(a^G_M)^∗(a^G_M¹₁)^∗ qui envoie la chambre associée àP∈ P^G(M)sur celle associée àP₁déduit deP. Il s’ensuit qu’il y a une identification canonique entre l’espace des(G,M)-familles et celui des(G1, M1)-familles.

On fixe dans la suiteK1un sous-groupe compact maximal « en bonne position » par rapport à T∩G1. Partons d’une(G,M)-famillec. On en déduit une(G1, M1)-famillec¹. D’après ce qui précède, celle-ci est équivalente à une(G1, M1)-famille pondérale. Il existe doncx∈C[G1(F)]

tel que pour toutP1∈ P^G1(M1)la fonction λ∈

a^G_M¹_1∗

C→c¹_P1(λ)−vP1(λ, x)

s’annule en0à tous les ordres inférieurs ou égaux àdim(a^G_M¹₁). Considérons la(G,M)-famille définie par

vP1(λθ, x)

P∈P^G(M)

pourλ∈(a^G_M)^∗_C. On n’a pas imposé de lien entre les sous-groupesKdeG(F)etK1deG1(F).

Par conséquent, cette(G,M)-famille n’est pas a prioripondérale. On va cependant montrer qu’elle est équivalente à une(G,M)-famille pondérale. Pour cela, il suffit de considérer le cas oùx∈G1(F). Fixonsλ∈(a^G_M)^∗_CetP∈ P^G(M). On munit le groupeK1 d’une mesure de Haar et on considère l’application

y∈G1(F)→

K1

vP(λ, yk)dk.

Elle appartient à l’espaceI_P^G1

1(−λ_θ−ρ_P1)^K1qui est un espace de dimension1engendré par la fonction

y∈G₁(F)→exp

−λθ

H_P1(y) .

Par conséquent, il existe un coefficient complexeCP(λ)tel que pour touty∈G1(F)

K1

v_P(λ, yk)dk=C_P(λ) exp

−λ_θ

H_P1(y) (3.34)

=C_P(λ)v_P1(λ_θ, y).

En prenanty= 1, on voit que

CP(λ) =

K1

vP(λ, k)dk.

En particulier,CP(0) = mes(K1)>0 et le coefficientCP(λ)est inversible dans un voisinage de0. Posons alors pourλ∈(a^G_M)^∗etP∈ P^G(M)

w_P(λ) =

K1

v_P(λ, xk)dk×

K1

v_P(λ, k)dk ₋₁

.

On vérifie facilement que la famille (w_P)_P∈P^G_(M) est une (G, M)-famille. Elle est donc équivalente à une(G, M)-famille pondérale(vP(λ, g))_P∈P^G_(M)avecg∈C[G(F)]. Par ailleurs, à toute(G, M)-famille, on peut associer une(G,M)-famille : on ne garde que les fonctions indexées par des paraboliquesθ-stables et on les restreint à l’espace (a^G_M)^∗. De cette façon, la (G,M)-famille déduite de w est, d’une part, équivalente à la (G,M)-famille pondérale (vP(λ, g))_P∈P^G_(M) et, d’autre part, égale à la(G,M)-famille(vP1(λθ, x))_P∈P^G_(M)(d’après la ligne (3.34)). La(G,M)-famillecdont on est parti est donc équivalente à la(G,M)-famille pondérale(vP(λ, g))_P∈P^G_(M).

Enlevons maintenant la restriction «G quasi-déployé ». Il existe un torseur intérieur ϕ de G vers un espace tordu quasi-déployé G^∗ (cf. [26] §III.2 et le lemme III.2.1 qui est une reformulation d’un lemme de Kottwitz et Shelstad [23] section 3.1). Quitte à conjuguerϕ, on suppose queϕinduit une injection

M→M^∗=ϕ(M)

deL^GdansL^G∗ et pourM∈ L^Gune bijectionP^G(M)→ P^G∗(M^∗). On déduit de la donnée du torseurϕun torseur intérieur entre groupes sous-jacentsGetG^∗et des bijections analogues concernant les groupes G et G^∗. En outre, on a des identifications naturelles a^∗_Ma^∗_M∗ et a^∗_M a^∗_M∗etc. de sorte que l’espace des(G,M)-familles, resp. des(G, M)-familles, s’identifie canoniquement à l’espace des(G^∗,M^∗)-familles, resp. des(G^∗, M^∗)-familles.

Partons donc d’une (G,M)-famille c. Elle s’identifie à une (G^∗,M^∗)-famille dont on vient de voir qu’elle est équivalente à une(G^∗,M^∗)-famille déduite d’une(G^∗, M^∗)-famille.

Cette dernière est donc équivalente à une (G, M)-famille pondérale(vP(λ, g))_P∈P^G_(M)avec g∈C[G(F)]. On déduit alors que la(G,M)-famille de départc est équivalente à la(G, M)-famille pondérale(vP(λ, g))_P∈P^G_(M)ce qu’il fallait démontrer.

4. Intermède sur les groupesL-stables

4.1. Dans cette partie, on suppose queF est un corps de caractéristique0, local ou global.

On considère un groupeGréductif, connexe, défini surFqu’on suppose quasi-déployé. On note Γle groupe de GaloisGal(F /F). Le groupe complexe dual deGest notéGet son centre est ZG. SoitM un sous-groupe de Lévi deG. On a défini dans un travail antérieur (cf. [16] §4.4) des ensemblesE(M, G),Eell(M, G)etEM(G)de données endoscopiques deG. Plus précisément, le premier ensemble est un certain ensemble de données endoscopiques deGparamétrées par le groupe complexe Z^MΓ, pour lesquellesM s’identifie naturellement à un sous-groupe de Lévi.

L’ensemble Eell(M, G) est le sous-ensemble de E(M, G) formé de données endoscopiques elliptiques et enfin EM(G) est le quotient (fini) de Eell(M, G) par l’action naturelle de Z^GΓ. Rappelons que le groupeGvu comme sa propre donnée endoscopique elliptique est un élément deEM(G).

DÉFINITION 4.1. – On dit queGestL-stable si pour tout sous-groupe de LéviMdeG, on a EM(G) ={G}i.e. si

Eell(M, G)⊂Z^GΓ.

4.2. Dans cette section, nous exhibons des groupes L-stables et nous démontrons des propriétés générales les concernant.

PROPOSITION 4.2. –Les groupesGL(n)etSL(n)sontL-stables.

Preuve. –Le cas deGL(n)est évident car le seul groupe endoscopique elliptique deGL(n) estGL(n)lui-même. SoitM un sous-groupe de Lévi deSL(n). Le groupeP GL(n,C)muni de l’action triviale deΓest le groupe dual deSL(n). Le groupeMdual deM s’identifie à l’image d’un produit

GL(n1,C)× · · · ×GL(nr,C)

dans PGL(n,C)avecn=n₁+· · ·+n_r. Soits∈ZM. L’élémentH deE(M,SL(n))associé àsa pour groupe complexe dualH le centralisateur connexe desdans PGL(n,C)(muni de l’action triviale deΓ). Ce groupe est isomorphe à l’image dansPGL(n,C)d’un produit

GL(n₁,C)× · · · ×GL(n_p,C)

avecn=n₁+· · ·+n_p. Supposons de plus H elliptique : cela signifie ici que la composante neutre du centre deH est triviale. Dans ce cas,p= 1i.e.H =P GL(n,C)et doncs= 1ce qu’il fallait démontrer. 2

PROPOSITION 4.3. – SiGestL-stable, il en est de même – des sous-groupes de Lévi deG;

– des centralisateurs connexes d’éléments semi-simples de G(F) (lorsqu’ils sont quasi-déployés).

Preuve. –Montrons qu’un sous-groupe de LéviL∈ L^GestL-stable. SoientM ∈ L^LetL∈ Eell(M, L). ÀLest associé un éléments∈Z^MΓ tel queL=Ls. On se rappelle que les groupes duauxMetLs’identifient à des sous-groupes de Lévi deGet queMs’identifie à un sous-groupe de Lévi du groupeL, ce dernier étant muni d’uneL-action deΓqui « prolonge » celle deΓsur M(cf. [16] §4.4). Par conséquent surZL les deux actions coïncident. Considérons l’ensemble des sous-groupes Gsz de G quandz parcourtZ^LΓ. Soit z∈Z^LΓ tel que le groupe G =Gsz

soit maximal dans cet ensemble ordonné par l’inclusion. Montrons queG∈ Eell(M, G)i.e. que (Z^GΓ)⁰= (Z^GΓ)⁰. Raisonnons par contradiction : si

Z^GΓ0

⊂ZG,

il existe, pour un sous-tore maximalTdeLcontenants, une racineα0∈Σ(G, T) −Σ(G,T) tel queα0n’induise pas le caractère trivial sur(Z^GΓ)⁰. Donc il existet0∈(Z^GΓ)⁰tel que

α₀(t₀) =α₀(sz)⁻¹.

Le groupeG_t0szcontient strictementGce qui contredit la maximalité deGvu que t0∈ZG^Γ⊂ZM^Γ.

Par conséquent, on obtientG∈ Eell(M, G)comme annoncé.

On peut alors conclure : puisqueGestL-stable,EM(G) ={G}et doncsz∈Z^GΓ. Ainsis∈Z^LΓ ce qu’il fallait voir.

Passons au cas des centralisateurs. Fixons un élément semi-simple γ∈G(F) tel que le centralisateur connexeGγ soit quasi-déployé. On veut montrer queGγ estL-stable. Quitte à remplacerGpar un de ses sous-groupes de Lévi (dont on sait qu’ils sontL-stables d’après ce qui précède), on peut et on va supposer queγest elliptique dansG. Considérons ensuite un sous-groupe de Lévi deGγ: il est de la formeMγoùMest un sous-groupe de Lévi deGpour lequel γest un élément elliptique.

Il existe une paire de Borel (B, T) deG définie surF tel que(B∩Gγ, T)soit une paire de Borel de Gγ. Le tore complexe T dual de T s’identifie de manière Γ-équivariante à un tore d’une paire de Borel Γ-stable de G et d’une paire analogue de G_γ. Fixons un élément G_γ∈ Eell(Mγ, Gγ): il est associé à un éléments∈Z^MΓγ

. Mais, d’après le lemme 1.1 de [5]

Z^MΓγ

=Z^GΓγ

Z^MΓγ

0

;

on peut donc supposer, quitte à translaterspar un élément deZ^GΓγ

, ques∈(Z^MΓγ

)⁰. Comme précédemment,MetMγ s’identifient respectivement à des sous-groupes de Lévi deG etGγ

pour lesquelsTest un sous-tore. Commeγest elliptique dansM, on a l’égalité Z^MΓγ

0

= Z^MΓ0

(de sous-tores de T). Par conséquent, on peut associer à sun élémentG∈ E(M, G)tel que G=Gs. DansT, on a l’inclusion

Z^GΓ0

⊂ Z^GΓγ

0

.

Mais commeG_γ est une donnée elliptique deG_γ et queγest elliptique dansG, on a les égalités ZG^Γ_γ

0

= ZG^Γγ

0

= ZG^Γ

0

.

Tout cela montre queG∈ Eell(M, G). Comme dans le cas précédent, on conclut ques∈ZG^Γet doncs∈Z^GΓγ

ce qu’il fallait démontrer. 2

PROPOSITION 4.4. –SoitEune extension finie deF. SoitGle groupeRes_E/F(H), obtenu par restriction des scalaires deEàFd’un groupeHréductif, connexe, défini surEetL-stable (relativement àE). AlorsGestL-stable.

Preuve. –On noteΓ = Gal(F /F)etΓ= Gal(F /E). Le groupeGs’identifie au groupe f: Γ→H |f(σσ) =σ

f(σ)

∀σ∈Γ, σ∈Γ

muni de l’action deΓ par translation à droite. SoitM un sous-groupe de Lévi deG; il existe un sous-groupe de LéviM^HdeH(défini surE) tel queM = Res_E/F(M^H). En particulier, le groupe complexe dualMs’identifie au sous-espace des fonctions à valeurs dansM^H(identifié à un sous-groupe de LéviΓ-stable deH). Notons que les éléments de G^Γ sont des fonctions constantes et à ce titre s’identifient à des éléments deH^Γ. Soients∈Z^MΓ etG l’élément de E(M, G)associé às. Supposons queGsoit elliptique i.e.(ZG^Γ)⁰= (ZG^Γ)⁰. On identifiesà un élément deZM^ΓH et on poseH=Hs. On a les égalités

ZH^Γ 0

= ZG^Γ

0

et

ZH^Γ 0

= ZG^Γ

0

.

Par conséquent,sdéfinit un élément deEell(M^H, H). CommeHestL-stable, on en déduit que s∈Z^HΓ et comme ce dernier groupe s’identifie àZ^GΓon obtient bien queEM(G) ={G}. 2 4.3. Quelques lemmes sur les groupesL-stables

Dans tout ce paragraphe,Gdésigne un groupe quasi-déployéL-stable.

LEMME 4.5. – SoientM ∈ L^G etL1 etL2deux sous-groupes de Lévi dansL^G(M). Si le coefficient d’Arthur([2] §7)

d^G_M(L₁, L₂) est non nul alors

ZL^Γ1∩ZL^Γ2=ZG^Γ.

Preuve. –Il suffit de prouver l’inclusion⊂, l’autre étant évidente. Prenons doncs∈Z^LΓ1∩Z^LΓ2

et considérons le groupeG=Gs. Pouri= 1ou2, on aLi⊂G puisquesest central dansLi.

Par conséquent, on a l’inclusion

Z^GΓ0

⊂ Z^LΓ1∩Z^LΓ2

0

.

Or, l’hypothèsed^G_M(L₁, L₂)= 0entraîne quea^∗_L1∩a^∗_L2=a^∗_Get donc que Z^LΓ1∩Z^LΓ2

0

⊂ Z^GΓ0

.

Des deux dernières inclusions, on déduit quesdéfinit un élément deEell(L1, G). CommeGest L-stable, on as∈Z^GΓce qu’il fallait voir. 2

LEMME 4.6. – SoientR∈ L^G etγ∈R(F)semi-simple et elliptique(dans R et dansG).

SoientG, Gγ,RetRγles groupes complexes duaux des groupesG,Gγ,RetRγ. On a l’égalité ZG^Γγ∩ ZR^Γγ

0

=ZG^Γ∩ ZR^Γ 0

.

Preuve. –On a les inclusions naturelles Z^GΓ ⊂Z^GΓγ

et Z^RΓ ⊂Z^RΓγ

et tous ces groupes s’identifient à des sous-groupesΓ-stables d’un même sous-tore maximal etΓ-stable deG. Ainsi seule l’inclusion⊂n’est pas évidente. Soits∈ZG^Γγ∩[ZR^Γγ

]⁰. Puisqueγest elliptique dansR, on a

ZR^Γγ

0

= ZR^Γ 0

et il suffit de montrer ques∈Z^GΓ. Du moins, nous avonss∈Z^RΓ∩Z^GΓγ

. Il est alors clair que ZG^Γs

0

⊂ ZG^Γγ

0

.

Mais commeγest elliptique dansG, on a aussi Z^GΓγ

0

= Z^GΓ 0

.

Par conséquent,sdéfinit un élément deEell(R, G). CommeGestL-stable, on a biens∈ZG^Γ. 2

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