Identités de changement de base pour les algèbres de Lie

Comme le corpsFest non-archimédien, ces ensembles pointés de cohomologie sont canonique-ment isomorphes à leurs abélianisés (cf. [12] §5 ou [25] §1.6). Ces derniers sont invariants par torsion intérieure. Par conséquent, en considérant un élémentγ∈G(F)qui est une norme deδ, on est ramené à prouver que

Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G^∗)

⊂Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G_γ/Z_G γ)

.

On peut supposer queG_γest quasi-déployé ; soit(B, T)une paire de Borel deG_γ définie surF. Prenonsζun élément de

Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G^∗) . (5.5)

Nous allons prouver queζappartient à l’image de

H¹(F, T)→H_ab¹ (F, G_γ), ce qui permet de conclure puisqueH¹(F, T /Z_G

γ) = 1. En effet, ce groupe (fini) de cohomologie est le dual de Pontryagin du groupeH¹(F, X^∗(T /ZG_γ)). Ce dernier est bien trivial puisque le Z-moduleX^∗(T /ZG_γ)possède une baseΓ-stable à savoir l’ensemble des racines simples deT dansB.

Par dualité,ζest un caractère deZ^Γ_ˆ

G_γtrivial sur la composante neutre. Il s’agit de prouver que ζest trivial sur le groupeZ^Γ_ˆ

G_γ∩[T^Γ]⁰. Quitte à conjuguerγ, on peut choisirM⊂Ldes éléments deL^G qui contiennentγet tels queLγ=G_γ,Mγ=T,AL=AG_γ etAM =AT. Notons que LestL-stable (comme sous-groupe de Lévi deGcf. lemme 4.3). On a donc successivement en utilisant le lemme 4.6 (appliqué au groupeL-stableL) puis le lemme 1.1 de [5]

Z^Γ_ˆ

G_γ∩ T^Γ0

=Z^Γ_ˆ

G_γ∩ Z^MΓγ

0

=Z^LΓ∩ Z^MΓ 0

= Z^LΓ 0

Z^GΓ∩ Z^MΓ 0

. On sait que ζ est trivial sur [Z^Γ_ˆ

G_γ]⁰= [ZL^Γ]⁰; il reste à montrer que ζ(z) = 1 pour z∈ Z^GΓ ∩[Z^MΓ]⁰. Mais, par l’hypothèse 5.6, un tel z appartient àN^θˆ(Z^GΓ). Commeζ appartient à l’ensemble (5.5), le caractèreζ◦N^θˆest trivial d’oùζ(z) = 1ce qui termine la preuve. 2

6. Identités de changement de base pour les algèbres de Lie

6.1. On reprend les hypothèses et les notations des § 5.1 à 5.3. On fixe un sous-groupe compact maximal K, respK, deG(F), resp. deG(F), en bonne position par rapport à T₀, resp.M0. On suppose dans toute cette section queGestL-stable.

6.2. On fixeM1∈ L^Getδ∈M1(F)semi-simple tel que la classe deM1(F)-conjugaison ne rencontre aucun sous-espace parabolique propre deM1. Dans ce cas,δest elliptique dansM1. Le morphismeϕinduit un torseur intérieur entreM1 etM^∗₁et l’espaceM^∗₁est quasi-déployé.

Par conséquent,δpossède une norme dansM₁ : on peut donc trouver des élémentsγ∈M₁(F) ety∈M₁^∗tels que le groupeM_1,γ soit quasi-déployé,yϕ(δ)y⁻¹= (1, . . . ,1, γ)θ^∗. On pose

H=G_δ et H=G_γ. Le morphisme

ϕH= Ad(y)◦ϕ|H

(6.1)

est un torseur intérieur deHsurHet la cochaîne donnant la torsion, σ∈Γ→σ(y)uσy⁻¹,

(6.2)

est à valeurs dansM_1,γ ZG^∗_γ. Notons queγest un élément elliptique dansM₁. Le groupeM_1,γ est un sous-groupe de Lévi deH; on fixe un sous-groupe de Lévi minimal deH inclus dans M_1,γ relativement auquel on définit l’ensembleL^H. On poseM₀^H =M_1,δ, ce qui définit un sous-groupe de Lévi minimal deH, puisL^H=L^H(M₀^H). Le torseurϕ_H induit une bijection L^H→ L^H(M_1,γ )qui envoieM₀^HsurM_1,γ . Rappelons queL^Hest en bijection avec l’ensemble

L∈ L^G(M1)|ALδ=AL

. (6.3)

C’est pourquoi on noteLδun élément deL^H, en supposant implicitement queLest un élément de l’ensemble (6.3). On a alorsϕH(Lδ) =L_γ où, selon les conventions du §5.3,L∈ L^G est l’image deLselon la bijection naturelleL^G(M1)→ L^G(M₁). Notons que cette bijection induit une bijection de l’ensemble (6.3) sur

L∈ L^G(M₁)|A_L

γ=A_L (6.4)

qui, à son tour, est en bijection avecL^H(M_1,γ ).

6.3. Si M ∈ L^H, on noteΣH(m), resp.ΣH,ell(m), l’ensemble des classes de conjugaison M-stable des éléments semi-simples H-réguliers, resp. elliptiques, dans m(F). Rappelons que deux éléments semi-simples réguliers de m(F) sont M-stablement conjugués s’ils sont conjugués sous M(F). Le torseur ϕH induit une injection ΣH(m)→ΣH(ϕH(m)) et une bijection Σ_H,ell(m)→Σ_H,ell(ϕ_H(m)). Par abus, on identifiera parfois Σ_H(m) à un sous-ensemble deΣ_H(ϕ_H(m)). On note souventT_Z, plutôt queH_Z, le centralisateur dansH d’un élémentZ∈Σ_H(m)pour rappeler qu’il s’agit d’un tore.

6.4. On fixe des objets comme au § 2.2. On prend pourHle bicaractèreψ(ϕ⁻_H¹(.), ϕ⁻_H¹(.)).

On suppose également que deux sous-tores maximaux T et T de H et H, qui sont F-isomorphes par un isomorphisme de la formeAd(h)◦ϕ_H avech∈H, ont leurs mesures de Haar qui se correspondent par cet isomorphisme. Rappelons que les algèbres de Lietett deT etT sont alors munies de la mesure de Haar obtenue via l’exponentielle. On notecψ(t) le coefficient tel que la mesure auto-duale detsoit égale à la mesure fixée surtmultipliée par cψ(t). On vérifie alors quecψ(t) =cψ(t).

On suppose en outre que les espaces canoniquement isomorphesaM0 etaM^∗₀ sont munis de la même mesure de Haar. On en déduit des mesures sura_M^H

0 eta_M^H

0 (cf. §2.4).

Soient M∈ L^G(M1), Q∈ F^G(M),g∈C[G(F)]. On dispose alors de la fonctionˆj^Q,g_M,δ (notée simplementˆj_M^Q dans le corollaire 2.2) définie surΓ_H(m_δ)×h_reg(F). Soitg∈C[G(F)].

On a aussi une fonctionˆj_M^Q,g,γ définie surΓH(m_γ)×h_reg(F). SiY est une classe stable etX une classe de conjugaison, on écritX→Y pour signifier queXest inclus dansY. Par exemple, siX∈ΓH(mδ)etY ∈ΣH(m_γ)alorsX→Y signifie queϕHenvoie la classe stable deXsur celle deY.

SoientM∈ L^G(M1),Q∈ F^G(M),L0,δ∈ L^H,g∈C[G(F)], etg∈C[G(F)]. Alors, pour tousY ∈ΣH(m_γ),Z∈h_reg(F),Z∈h_reg(F)on pose

ˆ

r^Q,g_M,δ(Y, Z) =γ_ψ(h)

X∈ΓH(mδ), X→Y

ˆj_M,δ^Q,g(X, Z) (6.5)

et

ˆ

r^Q_M^,g,γ(Y, Z) =γ_ψ(h)

X∈ΓH(m_γ), X→Y

ˆj_M^Q,g,γ(X, Z).

(6.6)

6.5. Commençons par une proposition.

PROPOSITION 6.1. –Sous les hypothèses du§ 6.1, on a les assertions suivantes.

1. Pour toutZ∈Γ_H,ell(L_0,δ),

ˆ

r^Q,g_M,δ(Y, Z) ne dépend que de l’image deZdansΣH,ell(L0,δ).

2. Pour toutZ∈ΓH,ell(L_0,γ),

ˆ

r^Q_M^,g,γ(Y, Z) ne dépend que de l’image deZdansΣ_H,ell(L_0,γ).

En tenant compte de cette proposition et du fait queϕH permet d’identifierΣH,ell(L0,δ) à ΣH,ell(L_0,γ), on peut énoncer le premier théorème de cette section sous la forme suivante.

THÉORÈME 6.2. – Soient g ∈C[G(F)] et L0,δ ∈ L^H. Sous les hypothèses du § 6.1, il existe g∈C[G(F)]tel que pour tous M∈ L^G(M1),Q∈ F^G(M),Y ∈ΣH(m_γ)et Z∈ ΣH,ell(L0,δ)

ˆ

r_M,δ^Q,g(Y, Z) = ˆr_M^Q,g,γ(Y, Z).

Preuve de la proposition et du théorème. –Prouvons l’assertion 1 de la proposition. En tenant compte de la proposition 2.3, il suffit de montrer le même résultat pour la fonction

Z∈ΓH,ell(L0,δ)→

X∈ΓH(mδ), X→Y

ˆi^L_M^δ_δ

X,(Adw)Z (6.7)

pour tous Lδ ∈ L^MQ,δ(Mδ) et w ∈TranH(L0,δ, Lδ). Soit Z1 ∈ΓH,ell(L0,δ) qui a même image queZ dans ΣH,ell(L0,δ). Il existe doncl∈L0,δ tel queZ1= Ad(l)Z. Par conséquent, Ad(w)Z1= Ad(wlw⁻¹) Ad(w)Z etwlw⁻¹∈wL0,δw⁻¹⊂Lδ. Donc Ad(w)Z1 et Ad(w)Z sont des éléments de ΓH(lδ) qui ont même image dans ΣH(lδ). La forme intérieure quasi-déployéeL_γ deLδ estL-stable : en effet, c’est un sous-groupe de Lévi deG_γ,G estL-stable par hypothèse donc la proposition 4.3 s’applique. Alors le théorème 5.6 de [16] affirme que la

fonction (6.7) ne dépend que de l’image dansΣH(lδ)deAd(w)Z : cela donne l’assertion 1 de la proposition. Pour les mêmes raisons, on a l’assertion 2.

Passons maintenant à la preuve du théorème. On a un isomorphismeNdonné par la norme de (a^G_M

1)^∗(a^G_M^∗∗

1)^∗_θ sur(a^G_M1)^∗(a^G_M^∗∗

1)^∗,θ. Considérons, pour toutP∈ P^G(M₁), la fonction définie par

v_P(λ, g) =vP

N(λ), g pourλ∈(a^G_M

1,C)^∗; la fonctionv_P(λ, g)est celle décrite à la ligne (1.5) du §1.7 et l’espaceP∈ P^G(M1)est obtenu par la bijection naturelleP→Pdécrite au §5.3. On vérifie que la famille (v_P(λ, g))_P∈P^G(M₁) est une (G, M₁)-famille. D’après le théorème 3.3, cette (G, M₁ )-famille est équivalente à une (G, M₁)-famille pondérale, disons(v_P(λ, g))_P∈P^G(M₁)pour un certaing∈C[G(F)]. Nous allons prouver l’égalité du théorème pour un telg. Partons du développement suivant qu’on déduit de la proposition 2.3

ˆ

r^Q,g_M,δ(Y, Z) =

Lδ∈L^MQ,δ(Mδ)

w∈TranH(L0,δ,Lδ)

v^Q_Lw^w(g)×γ_ψ(h)

X∈ΓH(mδ), X→Y

ˆi^L_M^δ_δ

X,Ad(w)Z .

On a un développement analogue pourˆr_M^Q,g,γ(Y, Z)et on va montrer qu’on a une égalité entre les deux, terme à terme.

L’applicationL_δ→L_γ induit une bijection entreL^MQ,δ(M_δ)etL^MQ,γ(M_γ). FixonsL_δ∈ L^MQ,δ. De plus, le torseurϕ_Hinduit une bijection naturellew→w entreTran_H(L_0,δ, L_δ)et Tran_H(L_0,γ, L_γ)(cf. [16] lemmes 3.1 et 3.2) ; soientw∈Tran_H(L_0,δ, L_δ)etw l’image de wpar la bijection précédente. On confondwetw avec des représentants respectivement dans H(F)etH(F); on a alorsϕ_H(w) =lwavecl∈L_γ.

On pose L^w = (w)⁻¹Lw∈ L^G(M₁)et Q^w = (w)⁻¹Qw ∈ F^G(L^w). Puisque les (G, M₁)-familles(v_P(λ, g))_P∈P^G(M₁)et(v_P(λ, g))_P∈P^G(M₁)sont équivalentes et d’après la proposition 3.2, on a

v^Qw

L^w(g) = (v)^Qw

L^w(g).

(6.8)

La bijectionL→LdeL^G(M1)surL^G(M₁)est donnée parL=ϕ(L)^θ∗. En tenant compte de la définition deϕH(cf. l. (6.1)), on calcule :

L^w

= ϕ L^wθ^∗

= ϕ

(L^∗)^ϕH(w)θ^∗

= ϕ

(L^∗)^lwθ^∗

=L^w;

on a utilisé quey∈M₁^∗⊂L^∗₀⊂(L^∗)^w. Le même calcul montre que(Q^w)=Q^w. On vérifie alors que

(v)^Qw

L^w(g) =v_L^Qw^w(g).

Cette égalité combinée avec celle de la ligne (6.8) assure la comparaison des poids.

On a déjà dit que, puisqueG estL-stable, on peut appliquer le théorème 5.6 de [16] : on obtient que

γψ(h)

X∈ΓH(mδ), X→Y

ˆi^L_M^δ_δ

X,Ad(w)Z

=γψ(h)

X∈ΓH(m_γ), X→Y

ˆi^L

γ

M_γ

X,Ad(w)Z

;

on vérifie en effet queAd(w)Z etAd(w)Z ont même image dansΣH(l_γ). On prendra garde que les fonctionsˆi^L_M^δ_δ(X, Z)correspondent aux fonctions notées de la même façon dans [16]

mais multipliées parcψ(tZ). Mais cette constante ne dépend que de l’image deZ dansΣ(h).

Cela termine la preuve du théorème. 2