Changement de base et norme

Or, l’hypothèsed^G_M(L₁, L₂)= 0entraîne quea^∗_L1∩a^∗_L2=a^∗_Get donc que Z^LΓ1∩Z^LΓ2

0

⊂ Z^GΓ0

.

Des deux dernières inclusions, on déduit quesdéfinit un élément deEell(L1, G). CommeGest L-stable, on as∈Z^GΓce qu’il fallait voir. 2

LEMME 4.6. – SoientR∈ L^G etγ∈R(F)semi-simple et elliptique(dans R et dansG).

SoientG, Gγ,RetRγles groupes complexes duaux des groupesG,Gγ,RetRγ. On a l’égalité ZG^Γγ∩ ZR^Γγ

0

=ZG^Γ∩ ZR^Γ 0

.

Preuve. –On a les inclusions naturelles Z^GΓ ⊂Z^GΓγ

et Z^RΓ ⊂Z^RΓγ

et tous ces groupes s’identifient à des sous-groupesΓ-stables d’un même sous-tore maximal etΓ-stable deG. Ainsi seule l’inclusion⊂n’est pas évidente. Soits∈ZG^Γγ∩[ZR^Γγ

]⁰. Puisqueγest elliptique dansR, on a

ZR^Γγ

0

= ZR^Γ 0

et il suffit de montrer ques∈Z^GΓ. Du moins, nous avonss∈Z^RΓ∩Z^GΓγ

. Il est alors clair que ZG^Γs

0

⊂ ZG^Γγ

0

.

Mais commeγest elliptique dansG, on a aussi Z^GΓγ

0

= Z^GΓ 0

.

Par conséquent,sdéfinit un élément deEell(R, G). CommeGestL-stable, on a biens∈ZG^Γ. 2

5. Changement de base et norme

5.1. Désormais le corpsFest local non-archimédien de caractéristique0. On fixe un groupe G réductif, connexe, défini surF et quasi-déployé. On suppose que le groupe dérivéG_derest simplement connexe.

On fixe une extensionF₀deF cyclique de degréd₀etσ₀un générateur du groupe de Galois Gal(F₀/F). Considérons le composé du morphisme canonique deGal(F /F)surGal(F₀/F) avec le morphisme deGal(F₀/F)dans le groupe des permutations de l’ensemble{1, . . . , d₀} qui àσ₀ associe la permutation cyclique(1 2. . . d₀). Par abus, on note par la même lettre un élément deGal(F /F)et son image par ce morphisme. On a

ResF0/F(G) F

=G F

× · · · ×G F

.

où l’on a prisd0 copies deG(F)et l’action deΓsurRes_F0/F(G)(F)se traduit par l’action deΓsur lesd0-uplets donnée par

σ.(x₁, . . . , x_d0) =

σ(x_σ−1(1)), . . . , σ(x_σ−1(d0)) . On fixe un entierd1et on considère le groupe surF

G^∗= Res_F0/F(G)× · · · ×Res_F0/F(G)

où le produit possèded facteurs. On posed=dd0. Les éléments deG^∗(F)s’identifient à des d-uplets((x¹₁, . . . , x¹_d0), . . . ,(x^d₁, . . . , x^d_d0))d’éléments deG(F). On noteθl’automorphisme d’ordreddeG^∗défini par

θ

(x¹₁, . . . , x¹_d0), . . . ,

x^d₁, . . . , x^d_d0

=

x²₁, . . . , x²_d0 , . . . ,

x^d₁, . . . , x^d_d0 ,

x¹₂, . . . , x¹_d0, x¹₁ . L’action de Γ commute àθ. Considérons alors leG^∗-espace tordu G^∗ défini ainsi : on pose G^∗(F) =G^∗(F)θmuni de l’action deG^∗donnée par

g.(xθ) =gxθ, de l’action du groupe de Galois donnée par

σ(xθ) =σ(x)θ et de l’applicationAdG^∗ définie parAdG^∗(xθ) = Int(x)◦θ.

Par plongement diagonal, on identifieGau sous-groupe deG^∗des points fixes sousθ.

5.2. On fixe un1-cocycleu^∗ deΓ à valeurs dansG^∗/ZG^∗. On obtient alors un groupeG défini surF en tordant l’action deΓsurG^∗par ce cocycle. De même, on munitG^∗ de l’action tordue notéeσ_Gdonnée pour toutσ∈Γpar

σG(xθ) = (u^∗_σ)⁻¹

σ(x)θ u^∗_σ.

On suppose qu’il existe, pour cette action tordue, un élément Γ-stable. Dans ce cas, l’action tordue définit unG-espace tordu notéG: c’est une forme intérieure deG^∗(au sens de Labesse cf. [26] §III.2).

5.3. On fixe un couple(P₀,M₀)formé d’un sous-espace paraboliqueP₀deGet d’un de ses facteurs de LéviM₀. On suppose que ce couple est défini surF et minimal parmi de tels couples. On en déduit un couple analogue(P0, M0)pourGet un élémentx∈G^∗de sorte que

(P₀,M₀) = (P₀xθ, M₀θ).

On fixe une paire de Borel(B₀, T₀)deGdéfinie surF. La paire (B₀, T₀) = (B₀ × · · · ×B₀, T₀× · · · ×T₀)

(produit dedfacteurs) est une paire de Borel deG^∗définie surF etθ-stable. Il existeg∈G^∗tel que

(B0, T0)⊂g(P0, M0)g⁻¹.

On pose

uσ=σ(g)u^∗_σg⁻¹.

En appliquantσ∈Γà cette inclusion, on en déduit queuσconjugue la paireg(P0, M0)g⁻¹en une paire qui contient encore(B₀, T₀). Les deux paires sont donc égales : ainsi,u_σ∈gM₀g⁻¹. Il s’ensuit queg(P₀, M₀)g⁻¹est une paire deG^∗définie surF. En utilisant le fait que la paire est(P₀,M₀)stable parAd(x)◦θ, on montre que la paireg(P₀, M₀)g⁻¹estθ-stable. On pose alors

(P^∗₀,M^∗₀) =

gP₀g⁻¹θ, gM₀g⁻¹θ .

On note par la même lettreϕles morphismes (sur F)G→G^∗ etG→G^∗induit parAd(g).

On poseL^G=L^G(M0) etL^G∗ =L^G∗(T0θ). Le morphisme ϕinduit alors une injection L^G→ L^G∗. PourM∈ L^G, on pose M^∗=ϕ(M). On note égalementM = (M^∗)^θ : c’est un élément deL^G =L^G(T₀). De même, pourP∈ P^G(M), on associe P^∗∈ P^G∗(M^∗)et P∈ P^G(M). On obtient ainsi des bijectionsP^G(M)→ P^G∗(M^∗)→ P^G(M).

5.4. Comme θ est semi-simple, tout élément quasi-semi-simple de G est d’image semi-simple dansAut(G). Dans le cadre du changement de base, donc dans tout le reste de l’article, la terminologie « semi-simple » se substitue à « quasi-semi-simple ».

On a supposéG_dersimplement connexe. Il en est donc de même pourG_deretG^∗_der. Par un résultat de Steinberg, on sait que cela implique que les centralisateurs d’éléments semi-simples sont connexes. La conjugaison stable et la norme prennent dans cette situation des définitions simples. Deux éléments semi-simples deG(F)sontstablement conjuguéss’ils sont conjugués par un élément deG(F).

Soientδ∈G(F)etγ∈G(F)des éléments semi-simples. On noteϕ(δ) =xθ. On pose N^θ(δ) =xθ(x). . . θ^d−1(x)∈G^∗.

et on dit queγestune norme deδs’il existey∈G^∗(F)tel que γ=yN^θ(δ)y⁻¹,

et si l’applicationAd(y)◦ϕinduit un torseur entreGδetG_γ et que la cochaîne σ∈Γ→σ(y)uσy⁻¹

qui donne la torsion est à valeurs dans le groupe G_γZG^∗_γ.

En particulier, ce torseur est un torseur intérieur puisque le groupe Z_G∗

γ agit trivialement (par conjugaison) surG_γ.

Rappelons brièvement pourquoi tout élément semi-simple deG(F)possède une norme dans G(F)(cf. [20] et [25] p. 56). Il est facile de voir qu’il existev∈G^∗tel que

vϕ(δ)v⁻¹=

1, . . . ,1, N₁^θ(δ) θ^∗

où N₁^θ(δ)∈G est la première composante de N^θ(δ). On vérifie ensuite que la classe de G-conjugaison de N₁^θ(δ) est Γ-stable. Puisque G_der est simplement connexe, cette classe

possède un élément rationnel (théorème de Kottwitz et Steinberg) i.e. il existe h∈G et γ∈G(F)tels que

hN₁^θ(δ)h⁻¹=γ.

Posonsy=hv. Alors

yϕ(δ)y⁻¹= (1, . . . ,1, γ)θ^∗.

De cette dernière égalité, on déduit d’une part que γ =yN^θ(δ)y⁻¹ et d’autre part que l’applicationAd(y)◦ϕinduit un torseur entre G_δ etG^∗(1,...,1,γ)θ=G_γ et que la torsion est donnée par la cochaîneσ∈Γ→σ(y)uσy⁻¹. Cependant, on vérifie que pour toutσ∈Γ, il existe b_σ∈Z_G∗

γtel que

σ (1, . . . ,1, γ)θ

=b_σ (1, . . . ,1, γ)θ b⁻_σ¹. (5.1)

Par conséquent, la cochaîneσ→b⁻_σ¹σ(y)uσy⁻¹est à valeurs dans le groupe G^∗(1,...,1,γ)=G_γ.

On voit donc que la cochaîne σ→σ(y)u_σy⁻¹ est à valeurs dansG_γZ_G∗

γ et que l’application Ad(y)◦ϕinduit un torseur intérieur entreGδetG_γ.

Rappelons enfin que, quitte à remplacer γpar un conjugué stable, on peut supposer de plus que le groupeG_γ est quasi-déployé (cf. [20] lemme 3.3).

5.5. Soit γ∈G(F) un élément semi-simple. Soit bσ ∈ZG^∗_γ qui vérifie l’égalité (5.1) ci-dessus. La cochaînebσdéfinit un cocycle à valeurs dansZG^∗_γ/ZG_γqui ne dépend que deγ.

PROPOSITION 5.1. – Il existe un élément semi-simple de G(F)dont γ est la norme si et seulement si le couple(u_σ, b_σ)appartient à l’image de

H¹(F, G_γZG^∗_γ/ZG^∗)→H¹(F, G^∗/ZG^∗)×H¹(F, ZG^∗_γ/ZG_γ).

(5.2)

La flèche sur la seconde composante est obtenue à l’aide de l’isomorphisme

G_γZG^∗_γ/G_γZG^∗_γ/ZG_γ.

Preuve. –La condition nécessaire est évidente. Traitons la réciproque. Le couple (uσ, bσ) appartient à l’image de l’application (5.2). Il existe doncy∈G^∗tel que les cochaînesσ(y)uσy⁻¹ etb⁻_σ¹σ(y)uσy⁻¹soient respectivement à valeurs dansG_γZG^∗_γet dansG_γ. Posons

δ=ϕ⁻¹ y⁻¹

(1, . . . ,1, γ)θ y

.

On vérifie immédiatement queδ∈G(F)et queγest une norme deδ. 2

SoientMun sous-groupe de Lévi deGetγ∈M(F)semi-simple. On noteMscle revêtement simplement connexe du groupe dérivé deM. Pour tout sous-tore maximalT∈M, on noteT_{M sc} l’image réciproque de T dans Msc, etT le centralisateur deT dans G^∗ : c’est un sous-tore maximal deG^∗. Le couple(uσ, bσ)définit alors naturellement un élément de

H¹(F, G^∗_sc→G^∗/ZG^∗)×H¹(F, T /T).

L’ensemble de cohomologie à valeurs dans le module croisé [G^∗_sc →G^∗/ZG^∗] est défini dans [12].

DÉFINITION 5.2. – On dit que γest potentiellement une norme dansM (relativement au couple(G, G)) s’il existeTun sous-tore maximal deM contenantγtel que(uσ, bσ)définisse un élément de l’image de la flèche naturelle

H¹(F, T_{M sc}→T /ZG^∗)→H¹(F, G^∗_sc→G^∗/ZG^∗)×H¹(F, T /T).

(5.3)

PROPOSITION 5.3. – Soitγ∈M(F)un élément semi-simple régulier et elliptique dansM. Siγest potentiellement une norme dansM, alorsγest une norme d’un élément deG(F).

Preuve. –NotonsTle centralisateur deγdansM : c’est un sous-tore elliptique deM. On a une suite exacte

H¹(F, T /Z_G∗)→H¹(F, T_{M sc}→T /Z_G∗)→H²(F, T_{M sc})

ce qui donne la surjectivité de la première flèche vu queT_{M sc}est anisotrope (TestM-elliptique) et queH²(F, U) = 1pour tout tore anisotropeU. Par injectivité de la flèche d’abélianisation ([12] §5)

H¹(F, G^∗/ZG^∗)→H¹(F, G^∗_sc→G^∗/ZG^∗), on voit que(u_σ, b_σ)appartient à l’image de

H¹(F, T /ZG^∗)→H¹(F, G^∗/ZG^∗)×H¹(F, T /T).

IciG_γ=TetG^∗_γ=T. Le résultat découle alors de la proposition 5.1. 2

5.6. Dans ce paragraphe, T est un sous-tore maximal de G défini sur F. On noteT le centralisateur deTdansG^∗. On noteM un sous-groupe de Lévi deGqui contientT.

Nous aurons besoin de calculer les duaux de Pontryagin des groupes de cohomologie qui interviennent dans la définition 5.2 de la norme potentielle. On utilise la dualité de Tate–

Nakayama pour les complexes de tores. Le groupe complexe dual G de G^∗ s’identifie à un produit de copies deG, le groupe dual deG, et il est muni d’un automorphismeθ, dual deˆ θ, qui permute circulairement ses composantes. On identifie alors G à G^θˆ en tant que groupes complexes munis d’une action deΓ. On dispose alors d’une application norme définie par

N^θˆ(z) =zθ(z)ˆ . . .θˆ^d−1(z),

pourz∈G. Si, de plus, zappartient à un sous-groupe commutatif deGetθ-stable alorsˆ N^θˆ(z) est lui-mêmeθ-stable.ˆ

Précisons les notations. Le groupe complexeM, dual deM, s’identifie à un sous-groupe de Lévi deG. On noteG_sc le revêtement simplement connexe deG etM_sc l’image réciproque deMdans G_sc. Les centres deG_scetM_sc sont naturellement des sous-groupes deT_sc qui est le tore dual deT/Z_G∗. Pour tout sous-groupeAdeT×T_sc , on noteA¹le sous-groupe deA formé des couples(t, t)∈Atels queN^θˆ(t) =t, où, par abus, on note par une même lettre un élément et son image par la flècheT_sc →T.

Rappelons que le module croisé[G^∗_sc→G^∗/ZG^∗]est quasi-isomorphe au complexe de tores [T_sc→T /Z_G∗]dont le complexe dual est[(T×T_sc )¹→T /Z G], lui-même quasi-isomorphe à [(Z^G×Z^Gsc)¹→1]. Le complexe dual de [T_{M sc}→T /ZG^∗] est le complexe[(T×T_sc)¹→ T/ZM]qui est quasi-isomorphe à[(T×ZMsc)¹→1]. Enfin, le complexe dual de[T→T]est

quasi-isomorphe à [T^1−θˆ→1]. On a notéT^1−θˆl’image deTpar le morphismet→tθ(t)ˆ ⁻¹. Finalement, la flèche duale de la flèche (5.3) de la définition 5.2 est (cf. §1.7 de [25] qui est une variation autour des résultats de [21])

π₀

(ZG×ZG_sc)^1,Γ

×π₀ T^1−θˆΓ

→π₀ T×ZMsc

1,Γ (5.4) .

LEMME 5.4. –La flèche naturelle

H¹(F, T_{M sc}→T /ZG^∗)→H¹(F, T_G

sc→T /ZG^∗) est injective.

Preuve. –Dualement, il s’agit de prouver que π0 T×Z^Gsc

1,Γ

→π0 T×Z^Msc

1,Γ est surjective. Soit(t, z)∈(T×ZMsc)^1,Γ. Alors z∈Z^MΓsc

=Z^GΓsc

[Z^MΓsc

]⁰ (cf. lemme 1.1 de [5]). La projection sur le second facteur induit une surjection de[(T×ZMsc)^1,Γ]⁰sur[ZM^Γsc

]⁰. Il s’ensuit que, quitte à translater(t, z)par un élément de[(T×ZMsc)^1,Γ]⁰, on peut supposer que z∈Z^Gscce qu’il fallait voir. 2

LEMME 5.5. – On supposeG L-stable. Soit Run sous-groupe de Lévi deG qui contient T. On suppose que les sous-groupes de LéviM etLde G contiennentR et sont tels que le coefficient d’Arthur

d^G_R(L, M)

soit non nul. Dans ce cas, le diagramme commutatif suivant est cartésien.

H¹(F, T_Rsc→T /Z_G∗) H¹(F, T_Lsc→T /Z_G∗)

H¹(F, T_{M sc}→T /ZG^∗) H¹(F, T_Gsc→T /ZG^∗) Preuve. –Dualement, on a le diagramme

π0((T×Z^Rsc)^1,Γ) π0((T×Z^Lsc)^1,Γ)

π0((T×Z^Msc)^1,Γ) π0((T×Z^Gsc

)^1,Γ)

D’après la preuve du lemme précédent toutes les flèches sont surjectives. Il s’agit alors de montrer qu’un caractère ζ de (T×Z^Gsc)^1,Γ trivial sur les intersections respectives avec les composantes neutres de(T×Z^Lsc)^1,Γet(T×Z^Msc)^1,Γest également trivial sur l’intersection avec la composante neutre de(T×Z^Rsc)^1,Γ. Soit(t, z)un élément de

T×Z^Gsc

1,Γ

∩ T×Z^Rsc

1,Γ0

.

Notons par un indiceadle quotient d’un sous-groupe de Lévi deG par le centreZG. Il existe x∈a^∗_{T ,C}ety∈a^∗_Rad,Ctels queN^θ(x) =y(on confondy et son image par la flèche naturelle a^∗_Rad,C→a^∗_{T ,C}),t= exp(2πix)etz= exp(2πiy). Le fait qued^G_R(L, M)soit non nul entraîne quea^∗_Rad,C=a^∗_Lad,C+a^∗_Mad,C. Écrivonsy=yL+yM suivant cette décomposition. On a donc

exp(2πiy_L) =zexp(−2πiy_M)∈Z^LΓsc∩Z^MΓsc⊂Z^GΓsc

(l’inclusion résulte du fait qued^G_R(L, M)= 0et du lemme 4.5). Ainsi le couple(exp(2πiy_L/d), exp(2πiy_L))appartient à

T×Z^Gsc

1,Γ

∩ T×Z^Lsc

1,Γ0

.

Doncζest trivial sur cet élément, et de même, sur(exp(2πiy_M/d),exp(2πiy_M)). On est alors ramené au cas oùy= 0. Mais, dans ce cas,(t, z) = (t,1)appartient à la composante neutre de (T×Z^Gsc)^1,Γetζ(t, z) = 1. 2

5.7. Introduisons l’hypothèse suivante.

Hypothèse 5.6. – Le groupeZG^Γ est inclus dansN^θˆ(ZG^Γ).

Remarque. – La composante neutre[ZG^Γ]⁰est incluse dans N^θˆ(ZG^Γ). L’hypothèse ci-dessus est donc satisfaite dès que le degréd0deF0surFest premier à l’ordre du groupe finiπ0(ZG^Γ).

C’est le cas d’un groupe G semi-simple et simplement connexe (par exempleG=SL(n)) puisqueG est adjoint. C’est aussi le cas d’un groupeG déployé à groupe dérivé simplement connexe (par exempleG=GL(n)) car alorsZ^GΓ est connexe. L’hypothèse est d’autre part tri-vialement vraie lorsqueF0=F.

Énonçons deux conséquences de cette hypothèse.

LEMME 5.7. – Soient T un sous-tore maximal deG défini sur F etT son centralisateur dansG^∗. Sous l’hypothèse5.6, la flèche naturelle ci-dessous est injective.

H¹(F, T_G

sc→T /ZG^∗)→H¹(F, G^∗_sc→G^∗/ZG^∗)×H¹(F, T /T).

Preuve. –Nous allons montrer que la flèche duale π₀

(ZG×ZG_sc)^1,Γ

×π₀ T^1−θˆΓ

→π₀ T×ZG_sc 1,Γ

est surjective. Soit donc (t, z)∈(T×Z^Gsc)^1,Γ. L’image de z dans G appartient àZ^GΓ. Par l’hypothèse 5.6, il existeu∈ZG^Γ tel que(u, z)∈(ZG×ZG_sc)^1,Γ. Alorstu⁻¹estΓ-fixe et de norme1: il appartient donc à[T^1−θˆ]^Γd’où la surjectivité. 2

PROPOSITION 5.8. – Soient δ et δ deux éléments semi-simples de G(F) stablement conjugués. Le fait queG soit L-stable et l’hypothèse5.6entraînent alors qu’il existeg∈G tel que

– gδg⁻¹=δ;

– Ad(g)induit unF-isomorphisme deGδ surGδ.

Preuve. –Puisqueδetδ sont stablement conjugués, il existeg∈Gtel quegδg⁻¹=δ. La cochaîneσ→σ(g)g⁻¹définit un cocycle à valeurs dansGδ. Pour conclure, il suffit de voir que l’image de ce cocycle dansH¹(F, Gδ/ZGδ)est triviale donc de voir que

Ker

H¹(F, Gδ)→H¹(F, G)

⊂Ker

H¹(F, Gδ)→H¹(F, Gδ/ZGδ) .

Comme le corpsFest non-archimédien, ces ensembles pointés de cohomologie sont canonique-ment isomorphes à leurs abélianisés (cf. [12] §5 ou [25] §1.6). Ces derniers sont invariants par torsion intérieure. Par conséquent, en considérant un élémentγ∈G(F)qui est une norme deδ, on est ramené à prouver que

Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G^∗)

⊂Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G_γ/Z_G γ)

.

On peut supposer queG_γest quasi-déployé ; soit(B, T)une paire de Borel deG_γ définie surF. Prenonsζun élément de

Ker

H_ab¹ (F, G_γ)→H_ab¹ (F, G^∗) . (5.5)

Nous allons prouver queζappartient à l’image de

H¹(F, T)→H_ab¹ (F, G_γ), ce qui permet de conclure puisqueH¹(F, T /Z_G

γ) = 1. En effet, ce groupe (fini) de cohomologie est le dual de Pontryagin du groupeH¹(F, X^∗(T /ZG_γ)). Ce dernier est bien trivial puisque le Z-moduleX^∗(T /ZG_γ)possède une baseΓ-stable à savoir l’ensemble des racines simples deT dansB.

Par dualité,ζest un caractère deZ^Γ_ˆ

G_γtrivial sur la composante neutre. Il s’agit de prouver que ζest trivial sur le groupeZ^Γ_ˆ

G_γ∩[T^Γ]⁰. Quitte à conjuguerγ, on peut choisirM⊂Ldes éléments deL^G qui contiennentγet tels queLγ=G_γ,Mγ=T,AL=AG_γ etAM =AT. Notons que LestL-stable (comme sous-groupe de Lévi deGcf. lemme 4.3). On a donc successivement en utilisant le lemme 4.6 (appliqué au groupeL-stableL) puis le lemme 1.1 de [5]

Z^Γ_ˆ

G_γ∩ T^Γ0

=Z^Γ_ˆ

G_γ∩ Z^MΓγ

0

=Z^LΓ∩ Z^MΓ 0

= Z^LΓ 0

Z^GΓ∩ Z^MΓ 0

. On sait que ζ est trivial sur [Z^Γ_ˆ

G_γ]⁰= [ZL^Γ]⁰; il reste à montrer que ζ(z) = 1 pour z∈ Z^GΓ ∩[Z^MΓ]⁰. Mais, par l’hypothèse 5.6, un tel z appartient àN^θˆ(Z^GΓ). Commeζ appartient à l’ensemble (5.5), le caractèreζ◦N^θˆest trivial d’oùζ(z) = 1ce qui termine la preuve. 2

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