4.3 Suivi de cible par caméra
4.3.4 Estimation des glissements
4.3.6.2 Preuve
ua → f tan φ−βC 2 , ub → f H D . (4.30)
Le but de la stratégie de suivi de cible présentée dans cette thèse consiste alors à garantir les conditions définies en (4.30). Cela est réalisé en imposant les équations différentielles (4.31) sur chacun des axes du plan caméra.
˙
at = Kaea = Ka(at−ua), ˙
bt = Kbeb = Kb(bt−ub), (4.31)
où Kaet Kb sont deux gains strictement négatifs à définir. Ces gains sont carac-téristiques des temps de convergence de at vers ua et de bt vers ub. En substi-tuant ces équations dans le système (4.19), les vitesses linéaire vC et angulaireω
peuvent être obtenues telles que :
vC = vT cos (φ) cos (βC)+Kb (bt−ub)f H bt2 cos (βC) +ω atH btcos (βC) (4.32) ω = vT bt H
cos (φ) tan (βC)−sin (φ)
attan (βC) +f −Ka (at−ua) attan (βC) +f−Kb (bt−ub) bt ftan (βC)−at attan (βC) +f (4.33)
(4.32) est obteu directement à partir de la deuxième de (4.19). Puis en injec-tant (4.32) dans la première ligne de (4.19), on obtient (4.33).
Les lois de commande (4.32) et (4.33) permettent d’assurer la convergence du robot suiveur vers la trajectoire de la cible (mimétisme) tout en suivant la cible à une distance désirée D.
4.3.6.2 Preuve
Considérons la fonction candidate de Lyapunov (4.34) définie à partir des erreurs entre la position du point cible dans l’espace caméra [atbt] et sa consigne [uaub] telle que :
V = 1
4.3. Suivi de cible par caméra
Sa dérivée par rapport au temps est :
˙
V =eae˙a+ebe˙b. (4.35)
Si les gains de commande sont suffisamment grands, les variations du glis-sement et de l’orientation de la cible peuvent être négligées, de sorte que l’on peut considéreru˙a = ˙ub = 0.e˙aete˙b sont alors directement donnés par (4.31) et en reportant dans (4.35) on obtient :
˙
V =Kae2a+Kbe2b ≤0. (4.36)
Cette fonction est négative définie et implique les convergences de ea et eb
vers zéro. La stabilité asymptotique dans l’espace caméra est donc prouvée. La convergence du point cible dans le plan caméra vers les valeurs (4.30) implique alors la convergence du point cible dans le repère robot vers les valeurs (4.29). Cette conclusion ((4.30)⇒(4.29)) découle de l’hypothèse H=constantet donc garantit que la distance cible/suiveur converge vers D. Il reste maintenant à prouver que le suiveur a les mêmes vitesses que la cible. Pour cela, en se plaçant aux limites, c’est-à-dire lorsque la convergence est atteinte, les expressions (4.32) et (4.33) peuvent être écrites telles que :
vC →vT cos (φ) cos (βC) +ω D tan φ−βC 2 cos (βC) , (4.37) ω → −vT D
cos (φ) tan (βC)−sin (φ) tan φ−βC 2 tan (βC) + 1 . (4.38)
En utilisant les formules usuelles de trigonométrie et en considérant que le glissement reste faible, les équations (4.37) et (4.38) peuvent être simplifiées pour obtenir :
vC →vT , (4.39)
ω → vT
D (sin (φ)) , (4.40)
ce qui permet de prouver le caractère mimétique du robot suiveur par rapport au comportement de la cible, sous l’hypothèse que la trajectoire entre les deux robots peut être approximée par un cercle et que la distance D entre les deux robots est choisie suffisamment faible.
vitesses linéaire et angulaire d’un robot différentiel permet d’atteindre l’objectif initial :à savoir disposer d’une stratégie de commande de suivi de cible mimé-tique en présence de glissement.
4.3.7 Simulations
Pour qualifier l’approche proposée, la stratégie de commande illustrée Fig. 4.13 a été implantée sur MATLAB puis testée en simulation. L’objectif de cette simulation est de vérifier le comportement théorique de cette loi permettant le suivi de cible mimétique à une distance désirée en présence de glissement. Par conséquent, deux aspects doivent être validés : le suivi (convergence latérale et longitudinale) et le mimétisme.
Pour cela, la cible réalise la trajectoire illustrée en noir Fig. 4.17 du point A au point B à une vitesse constante de2m.s−1. Cette trajectoire est composée d’une ligne droite, d’un premier virage à gauche peu prononcé (ω = 0.05rad.s−1), d’un second virage à droite très prononcé (ω = 0.15rad.s−1) puis enfin d’une ligne droite. Cette trajectoire a été choisie de la sorte pour qualifier le compor-tement lors du suivi en ligne droite, en virage (plus ou moins prononcé) et lors des transitions de courbure.
FIGURE 4.17 – Trajectoire réalisée par la cible (noir) et trajectoire
réalisée par le robot suiveur (rouge).
Comme illustré Fig. 4.17, le véhicule suiveur est initialement positionné au point I à une distance longitudinale de la cible de2met à une distance latérale de1m. Cette position a été choisie volontairement pour qualifier la convergence du suiveur par rapport à la trajectoire de la cible. Lors de cette simulation, la distance longitudinale désirée pour le suivi est fixée à D= 2.7m. La valeur de f est fixée à0.0054met celle de H à0.5m. Pendant la durée de la simulation (40s),
4.3. Suivi de cible par caméra
le robot suiveur est soumis à un glissement latéralβC = 0.2rad. La position fi-nale du suiveur est notée F.
Les résultats du suivi de cible par le robot suiveur sont illustrés en rouge sur les Figs. 4.17, 4.18 et 4.19. Les Figs. 4.18 et 4.19 sont des agrandissements locaux de la Fig. 4.17 permettant de visualiser le comportement du suivi lors des transitions de courbure.
FIGURE 4.18 – Agrandissement de la première partie de la Fig.
4.17.
FIGURE 4.19 – Agrandissement de la seconde partie de la Fig.
4.17.
L’analyse des résultats de suivi permet premièrement de conclure que l’ap-proche de suivi de cible introduite dans ce chapitre permet d’assurer la conver-gence du robot suiveur vers la trajectoire de la cible en ligne droite. Il en est de même pour la convergence en virage, puisque la trajectoire du robot suiveur
mène de coupure de virage ou de dépassement est à noter lors des changements de courbure. Ce phénomène est dû au temps de convergence des vitesses du ro-bot suiveur vers les vitesses réelles de la cible, qui dépend du temps de conver-gence de l’observation de la cinématique de la cible, auquel vient s’ajouter celui de la loi de commande et les temps de réponse des actionneurs simulés (0.4s). Cependant, on notera que malgré ces retards, les dépassements sont de l’ordre du centimètre et peuvent être considérés comme des phénomènes transitoires mineurs comparés à la qualité du suivi réalisé.
La conclusion précédente permet de valider le suivi de cible en terme de convergence latérale par rapport à la trajectoire de la cible. Lors d’un suivi de cible, la convergence longitudinale vers la distance de suivi désirée doit égale-ment être assurée. Pour cela, les résultats de la position du point cible t dans le repère caméra du robot suiveur, illustrés Fig. 4.20, sont exploités. On constate que le point cible converge vers la valeur ub = 0.001dans le plan caméra, ce qui correspond, en changeant de repère (4.30), à la distance désirée dans le repère robot (D= 2.7m). Contrairement aux méthodes faisant converger le point cible vers le centre du plan caméra (ua= 0), on notera que l’utilisation de la méthode introduite dans cette thèse assure la convergence de la position atdu point cible vers les différentes valeurs de la consigne ua, différentes de zéro du fait de leurs dépendances au glissement et à la vitesse angulaire de la cible (relation (4.30)).
FIGURE4.20 – Trajectoire du point cible dans l’espace caméra du
robot suiveur.
D’après la preuve de convergence présentée en amont, si les convergences de at vers ua et de btvers ub sont obtenues, alors les vitesses du robot suiveur convergent vers les vitesses de la cible. L’observation des évolutions des vitesses linéaire et angulaire du robot suiveur, illustrées Fig. 4.21, permet de valider cette seconde convergence assurant l’aspect mimétique du suivi. En effet, les résul-tats concernant l’évolution de la vitesse linéaire du robot suiveur montrent que celle-ci converge vers 2m.s−1, qui est la vitesse linéaire de la cible. De la même
4.3. Suivi de cible par caméra
manière, l’évolution de la vitesse angulaire montre la convergence progressive de la vitesse de lacet du robot suiveur vers 0rad.s1, puis vers 0.05rad.s1, en-suite vers−0.15rad.s1 et enfin de nouveau vers0rad.s1. Ce qui correspond aux vitesses angulaires de la cible lors des différentes portions (lignes droites et vi-rages) de sa trajectoire.
FIGURE4.21 – Évolution de la vitesse linéaire et de la vitesse
an-gulaire du robot suiveur.
Finalement, les résultats obtenus en simulation permettent de valider le dé-veloppement théorique et donc de conclure que l’approche de suivi de cible introduite dans ce chapitre permet d’assurer la convergence de la position du robot suiveur sur la trajectoire de la cible à une distance désirée et d’assurer le comportement mimétique du robot suiveur par rapport à la cinématique de la cible (vitesse linéaire et vitesse angulaire).