Commande de la vitesse linéaire

e_θ˜=k_θ˜e_θ˜, (4.11)

avec k_θ˜ un scalaire négatif à définir. Ce gain est caractéristique du temps de convergence de θ^˜vers u_θ˜. Pour permettre la convergence correcte de l’algo-rithme, le temps de réponse de cette deuxième étape doit être choisi très in-férieur à celui de la première. De plus, sous cette condition, la dérivée de u_θ˜

par rapport au temps peut être négligée. A partir de l’expression (4.11) et de l’expression (4.2) pour_θ˙˜_{, l’égalité suivante est obtenue :}

˙˜

θ = ˙θ−θ^˙_tan =k_θ˜e_θ˜. (4.12) Àprès reformulation, elle permet d’exprimerω:

ω=k_θ˜e_θ˜+c(s)s˙. (4.13) Et finalement, ω =k_θ˜ ˜ θ−u_θ˜ + vCc(s) cos (˜θ+ ˆβ_C) 1−c(s) y ^. (4.14) Cette expression est définie si la condition1−c(s) y 6= 0est vraie. Il s’agit de la singularité de modèle qui n’est jamais rencontrée en pratique car les rayons de courbure des trajectoires à suivre sont supposés toujours grands devant les écarts y à la trajectoire.

On remarquera également que l’expression de ω comporte un terme indé-pendant de vC, ce qui permet de piloter indépendamment l’avance et l’orienta-tion du robot, comme il était souhaité.

4.2.5.2 Commande de la vitesse linéaire

La synthèse de la loi de commande introduite précédemment a fourni une expression pour la vitesse angulaire du robot qui permet une convergence de l’écart angulaire indépendant de la vitesse linéaire. Cependant, dans le cas d’un robot différentiel, même si ses vitesses sont indépendantes, il y a tout de même une relation cinématique entre l’avance et la rotation du robot car ces deux mo-bilités sont réalisées à partir des mêmes organes cinématiques (i.e. les roues). Les capacités maximales des actionneurs peuvent alors être atteintes lorsque le

4.2. Suivi de contour

robot doit suivre un virage prononcé à une vitesse élevée. Dans ce cas, des dé-passements lors du suivi de trajectoire seraient observés parce que les vitesses maximales seraient atteintes ou simplement en raison des temps de réponse de l’actionneur.

Pour pallier ces phénomènes, il est pertinent de prendre en compte les capa-cités maximales des actionneurs dans la loi de commande et, qui plus est, de lier la commande de la vitesse à l’erreur de positionnement angulaire par rapport à la trajectoire pour limiter les phénomènes de dépassement en virage. Ainsi, il a été choisi dans cette thèse d’exprimer la vitesse telle que :

vC =f ct(vmax,θ^˜_max),

(4.15) où vmax représente la vitesse maximale du robot (connue à partir des caracté-ristiques techniques) et θ^˜_max l’écart angulaire maximal admissible. Ce dernier doit être défini en amont en fonction des capacités d’avance et de rotation si-multanées du robot. Ces capacités sont également dépendantes de la nature du sol.

À partir de 4.14, des profils tels que celui illustré Fig. 4.5 peuvent être utilisés pour ajuster la vitesse linéaire du robot lorsque des trajectoires représentant un risque de dépassement doivent être suivies. Pour limiter les chocs de vitesse, un profil continu et lissé, dessiné à l’aide de splines, est proposé ici.

FIGURE 4.5 – Exemple de profil de vitesse dépendant de l’écart

angulaire à la trajectoire.

Sur cet exemple, on constate que tant que la valeur absolue de l’écart angu-laire est inférieure à la limite admissibleθ^˜max, la vitesse linéaire du robot est non nulle mais décroît en fonction du risque de dépassement potentiel. À contrario, lorsque l’écart angulaire dépasse les limites admissibles, la vitesse est fixée à zéro. Dans ce dernier cas, le robot est à l’arrêt mais peut encore tourner sur lui-même grâce à la loi de commande (4.14) pour corriger sa position angulaire. Dès queθ^˜est à nouveau dans la zone admissible bornée parθ^˜_max, la vitesse du robot sera de nouveau non nulle et il pourra de nouveau procéder au suivi de trajectoire.

4.2.6 Expérimentations

L’objectif de la loi de commande introduite dans cette partie est de piloter in-dépendamment la vitesse linéaire et la vitesse angulaire du robot. La vitesse an-gulaire est contrôlée à l’aide d’une méthode par backstepping (4.14) et la vitesse linéaire par une relation entre la vitesse maximale et l’écart angulaire maximum admissible (4.15) selon le profil illustré Fig. 4.5.

Pour valider le comportement de cette loi de commande, le robot Jaguar, présenté en annexe A, a été utilisé. Ce robot est une plateforme mobile à entraî-nement différentiel munie de quatre roues indépendantes. L’environentraî-nement de test associé à cet essai est illustré Figs. 4.6 et 4.7. Il s’agit d’un ensemble d’ob-jets disposés en forme de U (poteaux pouvant être assimilés à des troncs, fausse végétation, blocs parallélépipidiques) sur un sol lisse et suffisamment glissant (béton) pour que le robot ne puisse pas tourner et avancer en même temps sans rentrer en collision avec les objets. Lors de cet essai, réalisé en intérieur, le robot n’est pas muni d’un GPS, par conséquent les glissements ne sont pas pris en compte dans les résultats suivants.

FIGURE 4.6 – Vue de dessus schématique de l’environnement

d’essai et trajectoire à réaliser (rouge).

FIGURE4.7 – Vue de face de l’environnement d’essai et

position-nement initial du robot.

Pour pouvoir détecter cet environnement, le robot est muni d’un télémètre laser positionné sur le robot. À partir des données issues de ce télémètre, la trajectoire médiane à suivre, illustrée en rouge sur la Fig. 4.6, est calculée à l’aide de l’algorithme de détection de contours. Lorsque l’algorithme ne détecte plus de contour à suivre, alors le robot avance, procède à un demi-tour (en boucle ouverte) puis redémarre la séquence de suivi de trajectoire avec l’algorithme de contrôle proposé dans cette thèse.

4.2. Suivi de contour

Dans le cadre de cet essai, le robot est initialement positionné comme indi-qué sur la Fig. 4.7. Il réalise une première séquence de suivi, un premier demi-tour, une seconde séquence de suivi, un second demi-tour puis une dernière séquence de suivi avant de s’arrêter lorsqu’il ne détecte plus de contour. La vi-tesse maximale est fixée à2m.s⁻¹et l’écart angulaire maximum admissible à25

degrés. Les résultats obtenus pour l’écart latéral et l’écart angulaire sont illus-trés Figs. 4.8 et 4.9.

FIGURE4.8 – Ecart latéral en fonction du temps.

FIGURE4.9 – Ecart angulaire en fonction du temps.

On constate sur la Fig. 4.8 que l’écart latéral du robot initialement positionné sur une valeur différente de zéro tend à converger vers zéro dès que le robot dé-marre sa progression dans l’environnement. Cela signifie que le robot converge vers la trajectoire médiane calculée par l’algorithme de contour (en rouge Fig. 4.6). On constate également qu’après chaque demi-tour, le robot est de nouveau décalé de la trajectoire médiane et reconverge vers celle-ci. Du point de vue de la convergence obtenue, on observe que malgré le bruit de la détection laser (±6cm), la convergence de l’écart latéral respecte la tendance exponentielle im-posée par la stratégie de commande, Ces résultats valident les objectifs assignés pour le suivi de contour.

Sur la Fig. 4.9, on constate que l’écart angulaire tend à converger vers zéro lorsque le robot n’est pas confronté à un virage (hors zone grise). À contra-rio, lors des virages (zones grises), l’écart angulaire obtenu est crénelé. Cela

déclenché. En effet, lorsque l’écart angulaire est supérieur à la valeur seuil im-posée dans l’algorithme, la vitesse linéaire du robot décroît pour limiter les dé-passements de la trajectoire. Dans un même temps la vitesse angulaire du robot croît pour corriger l’erreur d’orientation. Lorsque l’orientation du robot est de nouveau sous le seuil imposé, le robot avance de nouveau jusqu’à ce que l’er-reur angulaire dépasse le seuil imposé et ainsi de suite (Fig. 4.10). Cette seconde conclusion permet de valider l’autre objectif de cette approche, le contrôle in-dépendant des vitesses linéaire et angulaire du robot pour suivre de manière précise des trajectoires dans des environnements étroits.

FIGURE4.10 – Positions successives du robot lors de la manœuvre