Pr´esentation th´eorique

a supposer que les modifications de la gravit´e induites sur la trajectoire de la sonde dans le syst`eme de Saturne sont petites par rapport aux modifications sur les orbites de la Terre et de Saturne. C’est une hypoth`ese de travail qui semble raisonnable mais qui est adopt´ee faute de pouvoir faire mieux. Dans le futur, il serait peut-ˆetre int´eressant de v´erifier `a post´eriori cette hypoth`ese en consid´erant un mod`ele o`u Cassini serait dans une orbite relativement simplifi´ee autour de Saturne1. Seules les variables angulaires seront pr´esent´ees dans cette section car ce sont celles qui ont le plus grand poids dans les ´eph´em´erides. Nous ne nous attarderons donc pas sur le Range et le Doppler.

La situation consid´er´ee consiste en une simulation de 6 ans `a partir du 1 janvier 2004 (soit environ la date pour laquelle Cassini est entr´ee dans le syst`eme de Saturne) des ascensions droites et d´eclinaisons de Saturne observ´ees depuis la Terre. Nous avons donc simul´e la trajectoire du Soleil, de la Terre et de Saturne dont les conditions initiales furent obtenues par les ´eph´em´erides INPOP.

4.3 Th´eorie Post-Einsteinienne

4.3.1 Pr´esentation th´eorique

La th´eorie PEG (Post-Einsteinian Gravity) est une ph´enom´enologie d´evelopp´ee par M.-T. Jaekel et S. Reynaud dans une s´erie de papiers [Jaekel et Reynaud, 2005b, 2006a, 2005a, 2006b; Reynaud et Jaekel, 2007; Jaekel et Reynaud, 2008; Reynaud et Jaekel, 2009].

Tout d’abord, dans la th´eorie PEG, la nature g´eom´etrique de la gravitation n’est pas modifi´ee par rapport `a la RG. Ainsi, la gravitation est identifi´ee au tenseur m´etrique tout comme dans la th´eorie d’Einstein et le principe d’´equivalence d’Einstein n’est pas modifi´e. En particulier, cela implique l’universalit´e de la chute libre et le fait que les masses tests suivent les trajec-toires g´eod´esiques de cette m´etrique. Cela implique ´egalement que diff´erentes horloges id´eales fournissent le mˆeme temps qui est le temps propreR ds. Comme nous l’avons mentionn´e dans la section 1.2.2, ces propri´et´es sont actuellement extrˆemement bien test´ees et donc non remises en cause dans les th´eories PEG. Cependant, comme indiqu´e par Jaekel et Reynaud [2006a], cela ne signifie pas que le principe d’´equivalence d’Einstein est une propri´et´e exacte de la nature mais bien que les potentielles d´eviations attendues sont plus petites que les d´eviations produites par

1. Notons que ceci demande de connaitre la m´etrique pour un ensemble de masses alors que la majorit´e des m´etriques consid´er´ees dans ce travail sont des m´etriques d´eriv´ees dans le cadre de la sym´etrie sph´erique, c’est-` a-dire pour une seule masse ponctuelle. Il y a donc un travail th´eorique (pas ´evident) pour d´eriver les m´etriques qui pourraient ˆetre utilis´ees pour simuler des satellites en orbite autour de plan`etes.

une th´eorie PEG.

La ph´enom´enologie PEG propose donc d’´etendre le formalisme PPN dans le cadre o`u on consid`ere que le champ gravitationnel est engendr´e par une masse ponctuelle et sph´erique. La m´etrique en sym´etrie sph´erique en coordonn´ees isotropes s’´ecrit sous la forme

ds² = g₀₀(r)c²dt²+ g_rr(r)(dr²+ r²dΩ²). (4.4) La ph´enom´enologie PEG param´etrise la d´eviation par rapport `a la RG par deux fonctions arbi-traires de la coordonn´ee radiale : δφN et δφP.

g00 = −1 − 2φN = −1 − 2φ − 2φ²− 2δφN = [g00]RG− 2δφN (4.5a) g_rr = 1 − 2φ_N + 2φ_P = 1 − 2φ − 2δφ_N + 2δφ_P = [g_rr]_RG− 2δφ_N + 2δφ_P (4.5b) avec φ = −^GM_c2r le potentiel Newtonien. Ce type de m´etrique ´etend clairement le formalisme PPN qui peut ˆetre retrouv´e dans le cas o`u

δφ_N(r) = (β − 1)φ(r)2 (4.6a)

δφP(r) = −(γ − 1)φ(r) + (β − 1)φ(r)². (4.6b)

Cette relation permet ainsi d’interpr´eter la ph´enom´enologie PEG comme ´etant une g´en´eralisation du formalisme Post-Newtonien dans lequel les param`etres Post-Newtoniens (γ et β) sont promus au rang de fonctions d´ependant de la coordonn´ee radiale (γ(r) et β(r)).

Bien que tr`es g´en´erale, cette ph´enom´enologie a ´et´e d´evelopp´ee par Jaekel et Reynaud [2005b] en consid´erant une extension des ´equations d’Einstein sous forme non-locale qui s’´ecrit dans l’espace des impulsions sous la forme

Gµν[k] = χ_µν^λρ[k]T_λρ[k] (4.7)

o`u χµν<sup>λρ</sup> est la fonction de r´eponse effective de la m´etrique au tenseur ´energie-impulsion. La th´eorie de la RG est ´evidemment retrouv´ee dans le cas particulier o`u

h

χ_µν^λρ[k]ⁱ

RG= ^8πG

c4 δ^λ_µδ^ρ_ν. (4.8)

Dans les th´eories PEG, cela signifie que le tenseur d’Einstein dans le vide n’est plus n´ecessairement nul. Il est possible de montrer que la r´esolution de ces ´equations de champs dans le cas o`u la source est une masse ponctuelle conduit `a remplacer la constante de gravitation par deux constantes d´ependantes de la position dont les fonctions δφ_N/P sont la cons´equence [Jaekel et Reynaud, 2005b, 2006a].

Mentionnons que la consid´eration d’une ´equation de champ non-locale est justifi´ee par Jaekel et Reynaud [2005b, 2006a] comme provenant de consid´erations quantiques de la gravitation (qui sont par essence non-locales). Cette interpr´etation pose certaines difficult´es et dans le cadre de cette th`ese, nous nous contenterons d’utiliser le formalisme PEG comme une ph´enom´enologie tr`es g´en´erale sans r´ef´erence particuli`ere `a une th´eorie fondamentale sous-jacente. Ceci laisse les deux potentiels compl`etement libres car d´ependant d’une ´eventuelle th´eorie sous-jacente. D’un

point de vue ph´enom´enologique, nous avons consid´er´e que les deux fonctions δφ_N/P sont libres et dans le cadre de cette th`ese, nous avons consid´er´e une expansion en s´erie

δφN(r) = α1r + α2r²+^GM c2λ ^log r λ^{+ δβ}  GM c2r 2 (4.9a) δφP(r) = χ1r + χ2r²− δγ^GM c2r ^{+ δβ}  GM c2r 2 . (4.9b)

Dans ces expressions, δγ = γ−1 et δβ = β−1 sont li´es aux param`etres Post-Newtoniens tradition-nels. Les coefficients α1,2, χ1,2 et λ sont des param`etres PEG additionnels. Ces param`etres sont li´es `a la relation non-locale entre le tenseur d’Einstein et le tenseur ´energie-impulsion (4.7) [Jaekel et Reynaud, 2005b].

Il est aussi int´eressant de voir ce formalisme comme une param´etrisation de la courbure. En effet, le tenseur de Ricci associ´e `a la m´etrique (4.5) est donn´e au premier ordre dans la d´eviation par rapport `a la RG par

R00 = 2^δφ 0 N r ^{+ δφ} 00 N (4.10a) Rrr = 2^δφ 0 N − δφ0 P r ^{+ δφ} 00 N − 2δφ⁰⁰_P (4.10b) R_θθ = r 2δφ⁰_N − 3δφ⁰_P
+ r2 δφ⁰⁰_N − δφ⁰⁰_P
(4.10c) o`u le prime d´enote la d´erivation par rapport `a la coordonn´ee radiale r et le scalaire de courbure est donn´e par

R = 4^δφ 0 N − 2δφ⁰_P r ^{+ 2δφ} 00 N − 4δφ⁰⁰_P = 4^δφ 0 1 r ^{+ 2δφ} 00 1. (4.11)

Le r´esultat ci-dessus montre bien comment la combinaison δφ_N− 2δφ_P influencent la trace de la courbure alors que la combinaison δφ_N−1

2δφ_P influence les composantes sans trace (caract´eris´ees dans le tenseur de Weyl).

Le d´eveloppement en s´erie (4.9) des deux potentiels utilis´e dans le cadre de ce travail revient `

a consid´erer des termes non nuls dans l’expression de la courbure dans le vide. Ces termes additionnels sont du type : constants (proportionnels `a χ2 et α2), en 1/r (proportionnels `a χ1

et α1), en 1/r2 (proportionnels `a λ), en 1/r3 (proportionnels `a δγ) et en 1/r4 (proportionnels `a δβ).

Il est int´eressant de remarquer que des termes lin´eaires et quadratiques dans la m´etrique ap-paraissent naturellement dans une th´eorie conforme de la gravit´e (th´eorie o`u l’action est d´efinie par l’int´egrale de l’invariant conforme) [Mannheim et Kazanas, 1989]. Dans ce contexte, ces termes sont parfois invoqu´es pour expliquer des observations galactiques qui requi`erent l’intro-duction de mati`ere noire telles que les courbes de rotation des galaxies [Mannheim et Kazanas, 1989; Mannheim, 2006] et des observations cosmologiques [Mannheim, 1990, 2006]. Ces termes (lin´eaires et quadratiques) furent aussi obtenus par Grumiller [2010] qui d´eriva un mod`ele effectif de gravit´e renormalisable `a large distance et en sym´etrie sph´erique.

D’autre part, un terme logarithmique dans la m´etrique produit une modification en 1/r de la loi de Newton qui est parfois utilis´ee pour expliquer des observations qui requi`erent l’introduction de mati`ere noire [Tohline, 1983; Kuhn et Kruglyak, 1987; Hehl et Mashhoon, 2009].

En r´esum´e, dans le cadre de ce travail, nous allons consid´erer que la th´eorie PEG est ca-ract´eris´ee par une m´etrique du type (4.5) dont les potentiels sont param´etr´es par (4.9). Nous supposerons que cette expansion n’est valide que dans le Syst`eme Solaire.