Luminosit´e des Supernovae

a accepter qu’il s’agisse du hasard [voir par exemple Weinberg, 2000; Sapone, 2010]. Plusieurs tentatives de solutions furent propos´ees pour r´esoudre les deux probl`emes li´es `a la constante cosmologique [voir par exemple Weinberg, 1989, 2000; Sapone, 2010, et les r´ef´erences associ´ees]. Citons par exemple les tentatives d’introduire une nouvelle sym´etrie (´eventuellement li´ee `a la supersym´etrie) pour expliquer l’ajustement fin, le remplacement de la constante cosmolo-gique par un champ scalaire appel´e quintessence (ou k-essence dans les cas o`u le terme cin´etique du champ scalaire n’est pas usuel), l’introduction d’un nouveau fluide de mati`ere telle un gaz de Chaplygin. D’autres mod`eles tentent d’expliquer les observations qui requi`erent l’´energie noire par une modification de la th´eorie de la gravit´e : c’est le cas des th´eories f (R), des th´eories `a dimensions suppl´ementaires, de la quintessence ou des champs cam´el´eons. Finalement, certains mod`eles associent une modification de la gravit´e avec l’ajout d’une composante de mati`ere. C’est par exemple le cas de la th´eorie AWE (Abnormally Weighted Energy [Alimi et F¨uzfa, 2007, 2008; F¨uzfa et Alimi, 2007]) dans laquelle l’acc´el´eration de l’expansion cosmique est une cons´equence de la violation du principe d’´equivalence faible de la mati`ere noire. Finalement, certains (peut-ˆetre en d´esespoir de cause) appliquent un principe anthropique pour expliquer la valeur de la constante cosmologique : elle a la valeur qu’elle poss`ede car nous sommes l`a pour la mesu-rer [Weinberg, 1987, 2000]. Finalement, mentionnons ´egalement le d´eveloppement tr`es r´ecent de th´eories tenseur-scalaire dans lesquelles la densit´e d’´energie du vide est ´ecrant´ee au niveau cosmologique. Cela signifie qu’une ´enorme densit´e d’´energie du vide peut avoir une influence tr`es faible sur le facteur d’´echelle a et cela permet ainsi de contourner le probl`eme de l’ajustement fin. Ces th´eories portent le nom des “Fab Four” et furent d´evelopp´es par Charmousis et al. [2012a,b]. Nous en rediscuterons `a la section 4.6.1.

1.4.2 Luminosit´e des Supernovae

Comme nous l’avons mentionn´e ci-dessus, le mod`ele ΛCDM permet d’expliquer les diff´erentes observations cosmologiques. En particulier, ce mod`ele explique les observations de distance-luminosit´e des Supernovae Ia qui ont permis de mettre en ´evidence l’acc´el´eration de l’expansion cosmique. Etant donn´e que nous avons travaill´e avec ces observables (voir le chapitre 5), nous allons les pr´esenter en d´etails dans cette section.

5. La densit´e critique est la densit´e d’´energie que l’on doit avoir pour que la courbure de l’Univers soit nulle. Elle est d´efinie par ρc0=^3H0²

8πG ≈ 9 × 10−27

kg/m³≈ 4 × 10−47 GeV⁴.

Les Supernovae Ia sont des explosions extrˆemement lumineuses produites par des syst`emes binaires. Les processus qui conduisent `a ces explosions sont relativement bien connus si bien que la luminosit´e absolue produite lors de telles explosions est connue [voir par exemple Kowal, 1968; Miller et Branch, 1990; Branch et Tammann, 1992]. Par cons´equent, les luminosit´es mesur´ees des Supernovae donnent des indications quant aux distances auxquelle ces explosions se produisent. D’autre part, il est possible de mesurer le d´ecalage en fr´equence z des photons entre le moment o`u ils sont ´emis et le moment o`u il sont observ´es. La relation entre la distance luminosit´e et le redshift donne une indication quant `a l’´evolution du facteur d’´echelle et permet donc d’inf´erer le contenu en mati`ere/´energie de l’Univers [Perlmutter, 2003].

Tout d’abord, un d´ecalage en fr´equence gravitationnel est pr´esent dans les univers de FLRW. Ce redshift gravitationnel provoqu´e par l’expansion cosmique s’´ecrit sous la forme [Weinberg, 1972; Hobson et al., 2006] νe ν_r ⁼ λr λ_e ^{= 1 + z =} a(tr) a(t_e) ^(1.16)

avec ν la fr´equence propre et λ la longueur d’onde propre du photon et o`u les indices e r´ef`erent `a l’´emission et r `a la r´eception du signal. Les quantit´es ν et λ sont des quantit´es propres mesur´ees par un observateur local comobile avec le fluide cosmologique. Si l’observation est r´ealis´ee `a l’´epoque actuelle, nous avons a(tr) = a0 = 1 et le redshift s’exprime sous la forme

1 + z = ¹

a(t_e)^{. (1.17)}

D’autre part, la distance luminosit´e est une distance d´efinie de fa¸con op´erationnelle. En effet, si nous notons par L la luminosit´e absolue (en W = J/s) ´emise par la Supernova et par F le flux observ´e (exprim´e en W/m2), la distance luminosit´e est d´efinie par

dL=  L 4πF 1/2 . (1.18)

Cette relation est intuitive dans le cas o`u nous travaillons avec un espace Euclidien. Cette d´efinition est op´erationnelle car d’une part, nous supposons que la luminosit´e des Superno-vae Ia est connue (comme indiqu´e ci-dessus) et d’autre part, le flux F est mesur´e. La distance luminosit´e est donc une quantit´e qui peut ˆetre d´etermin´ee exp´erimentalement. Voyons mainte-nant comment relier la distance d<sub>L</sub> `a la m´etrique de FLRW. Tout d’abord, il faut noter que deux effets influencent la luminosit´e observ´ee : premi`erement, les photons subissent un d´ecalage gravitationnel ce qui signifie que l’´energie observ´ee est diminu´ee d’un facteur (1 + z) ; ensuite, le temps d’observation entre deux photons est dilat´e d’un facteur (1 + z). Ceci signifie que le flux observ´e s’exprime sous la forme

F = ^L (1 + z)2A ⁼ L (1 + z)24πR2 0S2 k(χ) ^(1.19) o`u A = 4πR2 0S2

k(χ) est la surface d’une sph`ere centr´ee sur la source lumineuse passant par l’observateur (dont la coordonn´ee comobile est donn´ee par χ). En ins´erant cette expression dans la d´efinition de la distance luminosit´e, nous obtenons

Il reste `a remplacer χ par sa valeur. Pour ce faire, il faut consid´erer le mouvement radial d’un photon dont les ´equations du mouvement peuvent ˆetre obtenues en imposant ds = 0 dans (1.12), ce qui donne apr`es int´egration

χ = ^c R₀ Z t0 t dt a(t) ⁼ c R₀ Z z 0 dz H(z)^{. (1.21)}

Apr`es quelques calculs, il est possible de r´e´ecrire l’expression de la distance-luminosit´e sous la forme [cette relation est standard, voir par exemple Peebles, 1993]

dL(z) = (1 + z)R0Sk  c R0 Z z 0 dz H(z)  = (1 + z) ^c H₀p|Ωk0|Sk  H0p|Ωk0| Z z 0 dz H(z)  . (1.22)

Cette relation nous donne donc le lien entre le redshift et la distance luminosit´e qui sont deux quantit´es mesurables.

Il est int´eressant de d´evelopper l’expression ci-dessus pour des faibles valeurs de redshift z pour obtenir [Hobson et al., 2006]

d_L(z) = ^c H0  z +¹ 2^{(1 + q0) + O(z} 3)  . (1.23)

Cette relation permet de montrer que les observations des Supernovae permettent de d´eterminer le param`etre d’acc´el´eration q0 = ^¨a0

a0H2

0. L’analyse de ce type de donn´ees en 1998 par Riess et al. [1998]; Perlmutter et al. [1999] a permis de montrer que q0 > 0, ce qui montre que l’Univers subit une phase d’expansion acc´el´er´ee. Ces observations ont valu le prix Nobel de physique 2011 aux physiciens Schmidt, Riess et Perlmutter.

Les donn´ees Supernovae ne s’expriment usuellement pas en terme de distance luminosit´e mais plutˆot en terme de module de distance µ qui est d´efini comme la diff´erence entre la magnitude apparente et la magnitude absolue et qui s’exprime par

µ(z) = 25 + 5 log₁₀ dL(z) 1 Mpc



. (1.24)

Les relations (1.24) et (1.22) permettent donc de lier les donn´ees exp´erimentales aux pr´edictions th´eoriques obtenues en consid´erant diff´erents mod`eles cosmologiques. Par exemple, la figure 1.3 repr´esente les donn´ees Supernovae UNION [Kowalski et al., 2008] de mˆeme que les pr´edictions de trois mod`eles cosmologiques caract´eris´es par diff´erentes valeurs de Ω_m0et Ω_Λ0. Une comparaison des donn´ees avec les simulations permet de montrer que le mod`ele qui reproduit au mieux les donn´ees est caract´eris´e par des valeurs proches de (Ω<sub>m0</sub>≈ 0.3, Ω<sub>Λ0</sub>≈ 0.7). Une analyse statistique plus fine permet d’obtenir le meilleur mod`ele [Suzuki et al., 2012] et des r´egions de confiance sur les param`etres.

Nous avons vu comment les donn´ees des Supernovae peuvent ˆetre utilis´ees pour contraindre des mod`eles cosmologiques au travers de la relation (1.24). Nous utiliserons ces donn´ees pour contraindre des th´eories alternatives `a la RG au chapitre 5.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 34 36 38 40 42 44 46 Red shift z Module de distance Μ Wm0=0.271- W_L0=0.729 Wm0=0.25 - W_L0=0 Wm0=1 - W_L0=0

Figure 1.3 – Repr´esentation des donn´ees Supernovae UNION [Kowalski et al., 2008] et trois mod`eles cos-mologiques caract´eris´es par diff´erentes valeurs de (Ωm0, ΩΛ0). Les donn´ees des Supernovae Ia ne sont pas du tout sensibles aux faibles valeurs de Ωr0qui est donc pris comme ´etant 0 pour les simulations pr´esent´ees dans cette figure. D’autre part, H0= 70.3 km/s/Mpc.