dans cette th`ese
“The physics is theoretical, But the fun is real.” S. Cooper
Dans cette section, nous allons ´evoquer les diff´erentes th´eories alternatives consid´er´ees dans le cadre de cette th`ese sans entrer dans les d´etails qui seront d´evelopp´es plus loin. L’objectif de cette section est de pouvoir diff´erencier les diff´erentes th´eories ´etudi´ees.
La premi`ere th´eorie consid´er´ee est la Gravitation Post-Einsteinienne (d´evelopp´ee dans la sec-tion 4.3.1). Dans le cadre de cette th`ese, PEG a ´et´e consid´er´ee comme ´etant une ph´enom´enologie qui param´etrise la m´etrique (g´en´er´ee par une masse ponctuelle) par deux fonctions arbitraires de la coordonn´ee radiale. Pr´ecisons que initialement, la th´eorie PEG fut d´evelopp´ee `a partir d’une g´en´eralisation non-locale des ´equations d’Einstein [Jaekel et Reynaud, 2005b, 2006a]. Dans le cadre de la th`ese, nous avons opt´e pour une interpr´etation ph´enom´enologique de PEG fort sem-blable au formalisme PPN qu’elle ´etend. Il ne s’agit donc pas d’une th´eorie fondamentale bien d´efinie (`a partir d’une action par exemple). Cette ph´enom´enologie n’a ´et´e d´evelopp´ee que dans le cadre du Syst`eme Solaire dans lequel nous l’avons utilis´e au chapitre 4.
La seconde th´eorie consid´er´ee est l’effet de champ externe (EFE) pr´esent dans les th´eories MOND. L’effet de champ externe est un effet produit par une violation du principe d’´equivalence fort des th´eories MOND [Milgrom, 2009; Blanchet et Novak, 2011a]. Cet effet consiste en une modification du potentiel Newtonien par l’ajout d’un terme quadrupolaire (comme indiqu´e `a
la section 4.4.1). Cet effet se d´erive `a partir de la formulation non-relativiste de MOND qui est ´egalement une ph´enom´enologie et non une th´eorie bien d´efinie. La ph´enom´enologie MOND peut ˆetre retrouv´ee comme limite de th´eories relativistes de la gravitation (qui elles sont de vraies th´eories bien d´efinies) telles que les th´eories Tenseur-Vecteur-Scalaire (TeVeS) [Beken-stein, 2004] ou d’Einstein-Ether [Zlosnik et al., 2007] que nous pr´esentons `a la section 4.4.1. Cette ph´enom´enologie peut aussi provenir d’une modification des propri´et´es de la mati`ere en consid´erant une mati`ere polaris´ee gravitationnellement [Blanchet, 2007]. L’effet de champ ex-terne consid´er´e dans le cadre de la th`ese est valide dans le Syst`eme Solaire qui est le cadre dans lequel nous l’avons consid´er´e.
La troisi`eme th´eorie consid´er´ee porte le nom d’extension du mod`ele standard (SME) (d´evelop-p´ee dans la section 4.5.1). Le formalisme qui se cache derri`ere ce nom est tr`es vaste et a ´et´e d´evelopp´e pour couvrir de fa¸con syst´ematique toutes les violations possibles de l’invariance de Lorentz qui proviendraient d’une th´eorie fondamentale. Ce formalisme a d’abord ´et´e introduit comme extension du mod`ele standard des particules [voir par exemple Colladay et Kosteleck´y, 1997, 1998; Bluhm, 2005] puis fut g´en´eralis´e au secteur gravitationnel par Kosteleck´y [2004]. Au niveau gravitationnel, ce formalisme est une pseudo-th´eorie dans le sens o`u la th´eorie est d´efinie `a partir d’une action (contrairement aux deux autres th´eories pr´esent´ees ci-dessus) ce qui signifie qu’elle poss`ede des propri´et´es bien ´etablies au niveau des lois de conservation. Par contre, cette action fait explicitement apparaitre des nouveaux tenseurs qui provoquent la brisure de l’invariance de Lorentz et qui doivent ˆetre li´es `a une th´eorie plus fondamentale. Dans le cadre de cette th`ese, nous avons consid´er´e uniquement la m´etrique Post-Newtonienne qui d´erive de cette action [Bailey et Kosteleck´y, 2006] dans le cadre du Syst`eme Solaire.
Les deux derni`eres th´eories consid´er´ees dans le cadre de la th`ese sont des th´eories tenseur-scalairedans lesquelles un champ scalaire est ajout´e `a la m´etrique pour d´ecrire l’interaction gravi-tationnelle. Ces extensions sont motiv´ees pour diverses raisons. Tout d’abord, les th´eories tenseur-scalaire apparaissent naturellement dans les th´eories de dimensions suppl´ementaires (comme les th´eories de type Kaluza-Klein et de type cordes [voir par exemple Lidsey et al., 2000]). Les th´eories de gravit´e f (R) (dans lesquelles l’action est une fonction du scalaire de courbure) sont ´egalement ´equivalentes `a des th´eories tenseur-scalaire [voir par exemple Teyssandier et Tourrenc, 1983; de Felice et Tsujikawa, 2010]. Des champs scalaires apparaissent ´egalement dans les mod`eles de type DGP (Dvali-Gabadadze-Porrati) [Dvali et al., 2000; Nicolis et al., 2009]. Les th´eories tenseur-scalaire ont ´egalement ´et´e utilis´ees pour construire des mod`eles ph´enom´enologiques de th´eories dans lesquelles le principe d’´equivalence fort est viol´e (car la constante de gravitation G est remplac´e par un champ scalaire) [Nordtvedt, 1968b; F¨uzfa et Alimi, 2009]. Finalement, des champs scalaires sont parfois invoqu´es pour expliquer les observations cosmologiques qui requi`erent l’introduction de mati`ere noire [voir par exemple Chiba, 1999; Alimi et al., 2010; Boisseau et al., 2000] ou dans des mod`eles d’inflation [voir par exemple le Chap. 16 de Hobson et al., 2006]. Il s’agit de th´eories bien d´efinies `a partir d’action.
La premi`ere th´eorie tenseur-scalaire consid´er´ee est une sous-classe de la th´eorie tr`es g´en´erale des “Fab-Four” pr´esent´ee `a la section 4.6.1. Cette th´eorie a ´et´e d´evelopp´e pour des raisons cosmo-logiques (´ecrantage de l’´energie du vide). Cependant, dans le cadre de cette th`ese, nous avons d´eriv´e l’expansion Post-Newtonienne qui a ´et´e utilis´ee dans le cadre du Syst`eme Solaire.
L’autre th´eorie tenseur-scalaire consid´er´ee est les champs cam´el´eons qui sont pr´esent´es dans le chapitre 5. Il s’agit d’une th´eorie qui pr´esente un m´ecanisme d’´ecrantage (les d´eviations par
rapport `a la RG sont camoufl´ees dans certaines r´egions) d´evelopp´ee par Khoury et Weltman [2004a,b]. Nous avons consid´er´e cette th´eorie au niveau cosmologique o`u une analyse des donn´ees Supernovae a ´et´e r´ealis´ee ainsi qu’au niveau du Syst`eme Solaire o`u nous avons d´eriv´e l’expression de la m´etrique Post-Newtonienne que nous avons contrainte `a l’aide de la contrainte Cassini de Bertotti et al. [2003].
Simulations d’observables `a partir de
la m´etrique
“L’informatique, ¸ca fait gagner beaucoup de temps. . . A condition d’en avoir beaucoup devant soi !” M. Stibon
Sommaire
2.1 Introduction . . . . 34 2.2 D´efinition des observables . . . . 34 2.2.1 Observables de type radioscience . . . . 35 2.2.2 Observables de type astrom´etrique . . . . 38 2.2.3 Observables de type VLBI . . . . 39 2.3 Simulations `a partir de la m´etrique . . . . 40 2.3.1 Equations du mouvement . . . . 41 2.3.2 Comportement des horloges . . . . 43 2.3.3 Propagation du signal . . . . 44 2.3.4 Observables de type Range . . . . 49 2.3.5 Observables de type Doppler . . . . 50 2.3.6 Equations d’´evolution de la t´etrade . . . . 52 2.3.7 Observables de type astrom´etrique . . . . 53 2.4 Analyse num´erique . . . . 55 2.4.1 Int´egration num´erique . . . . 55 2.4.2 Interpolation de Tchebychev . . . . 56 2.4.3 Inversion du temps propre . . . . 56 2.4.4 D´erivation de la m´etrique . . . . 57 2.5 Test du logiciel sur une m´etrique relativiste . . . . 59 2.6 Limitations du logiciel . . . . 61 2.7 Conclusion . . . . 62
2.1 Introduction
Comme mentionn´e dans la section 1.3, l’id´ee g´en´erale de ce travail est de r´ealiser des si-mulations d’observations spatiales dans diverses th´eories de la gravitation. Ainsi, en comparant des simulations provenant d’une th´eorie alternative avec une simulation en Relativit´e G´en´erale, nous pourrons identifier la signature provenant de la th´eorie alternative et identifier l’ordre de grandeur associ´e. La section 1.3 pr´esente en d´etails la proc´edure suivie. Dans ce chapitre, nous allons d´ecrire l’´etape 1 de cette proc´edure qui consiste `a simuler des observables spatiales `a partir de la m´etrique de l’espace-temps.
Le tenseur m´etrique est la brique de base d’une grande partie des th´eories de la gravitation. En g´en´eral, une fois que la m´etrique est connue, il est possible de d´eriver les ´equations du mouvement des corps, les ´equations du mouvement des photons (la propagation de la lumi`ere et des signaux ´electromagn´etiques), . . . Ainsi, tout ce qui est n´ecessaire pour simuler des observations spatiales peut se d´eriver de la m´etrique. C’est pourquoi, nous avons d´ecid´e de prendre comme ´el´ement de base de notre software la m´etrique de l’espace-temps et de tout d´eriver `a partir de celle-ci. Cette approche associ´ee `a une conception modulaire du software permet de changer ais´ement la th´eorie de la gravit´e ´etudi´ee simplement en changeant le module correspondant `a la m´etrique.
L’id´ee de d´evelopper un logiciel qui calcule tout `a partir de la m´etrique de l’espace-temps n’est pas compl`etement neuve. Des pr´emices de cette id´ee se retrouvent dans la th`ese de X. Moisson [2000] o`u il pr´esente un prototype de logiciel qui permet de calculer la trajectoire des particules `a partir de la m´etrique. Cette id´ee de Relativistic Motion Integrator (RMI) fut ensuite d´evelopp´ee par Pireaux et al. [2004, 2005, 2006]; Pireaux [2008]; Pireaux et al. [2008]. Si la philosophie de d´epart de notre travail est la mˆeme que celle qui a conduit au d´eveloppement de RMI, nous allons plus loin. En effet, dans RMI, seule la trajectoire d’une particule test est int´egr´ee autour d’un corps central en RG. Comme nous l’avons pr´ecis´e `a la section 1.2.1, la trajectoire d’un corps est une quantit´e d´ependante du syst`eme de coordonn´ees et pour cette raison n’est pas observable. La simulation d’observables n’a jamais ´et´e r´ealis´ee `a partir de la m´etrique de l’espace-temps. Nous comblons donc ici un vide qui est conceptuellement crucial.
L’objectif de ce chapitre essentiellement technique est de pr´esenter les m´ethodes utilis´ees pour r´ealiser des simulations d’observations `a partir de la m´etrique. Ces m´ethodes seront pr´esent´ees en d´etails, y compris les m´ethodes num´eriques utilis´ees et leurs limitations.