3.2 Mod` ele heuristique
3.2.1 Pr´ esentation du formalisme du mod` ele heuristique
Nous d´etaillons dans ce paragraphe les ´etapes de calcul du mod`ele heuristique, ainsi que les hypoth`eses simplificatrices sur lesquelles il repose.
3.2.1.1 Pr´esentation du principe du mod`ele heuristique
Le mod`ele heuristique consid`ere que chaque pixel est mod´elis´e par un empilement de couches optiques d´elimit´ees par des interfaces. On suppose que le pixel est form´e des mˆemes couches que dans le mod`ele exhaustif, mise `a part la r´egion du gradient d’indice que l’on ignorera pour des raisons de simplification.
Chaque interface r´efl´echit des ondes, l’empilement de couches forme ainsi des cavit´es optiques. Les interf´erences `a l’int´erieur de ces cavit´es g´en`erent les oscillations observ´ees pr´ec´edemment sur les r´eponses spectrales mesur´ees. Dans le calcul du flux absorb´e, le mod`ele exhaustif tient compte de l’ensemble des ondes interf´erant, et couvre l’ensemble de l’intervalle spectral de mesure. Le mod`ele heuristique, quant `a lui, simule les in-terf´erences d’un nombre limit´e d’ondes dans le but de mieux comprendre les oscillations observ´ees sur les r´eponses spectrales exp´erimentales.
Dans le paragraphe suivant, nous allons expliquer en quoi la formulation du mod`ele heuristique revient `a consid´erer les ondes r´efl´echies par la structure du pixel.
3.2.1.2 Lien entre les ondes r´efl´echies par la structure et la r´eponse spectrale
De la mˆeme fa¸con que pour le mod`ele exhaustif, dans le mod`ele heuristique, la r´eponse spectrale est ´equivalente au flux absorb´e dans la structure, en supposant une collection totale des paires ´electron-trou. Ainsi, on d´ecrit la r´eponse spectrale du pixel Apσq par l’´equation (3.17), o`u Iincet Iabs sont les flux incident et absorb´e.
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge
Apσq Iabspσq
Iincpσq (3.17)
Iabs est exprim´e par l’´equation (3.18), o`u Iref et Itrans sont les flux r´efl´echi et transmis par la structure.
Iabspσq Iincpσq Irefpσq Itranspσq (3.18) On suppose que le flux transmis Itrans est n´egligeable par rapport aux autres flux dans la gamme spectraler1900cm1, 6000cm1s, ce qui revient `a consid´erer que la couche m´etallique au fond de la structure r´efl´echit la majorit´e de la lumi`ere incidente, permet-tant `a la couche active d’absorber une grande partie des photons utiles.
Sous cette hypoth`ese, la r´eponse spectrale s’´ecrit selon l’´equation (3.19). On remar-que alors remar-que la r´eponse spectrale s’´ecrit directement en fonction du flux r´efl´echi.
Dans le paragraphe suivant, on cherchera `a exprimer ce flux en fonction des ondes r´efl´echies majoritaires dans la structure.
Apσq 1 Irefpσq
Iincpσq (3.19)
3.2.1.3 Identification des ondes majoritaires dans le ph´enom`ene d’interf´erence
Pour calculer le flux r´efl´echi par la structure, on calcule d’abord les amplitudes complexes des ondes r´efl´echies Ei `a l’interface air/substrat en utilisant l’´equation (3.20).
Eipσq ρipσq · exppjφipσqq · expp2jπσδiq · E0pσq (3.20) Nous adoptons une description classique des ondes r´efl´echies, o`u E0 est l’amplitude complexe de l’onde incidente arrivant au voisinage de la structure, δi est la diff´erence de chemin optique entre l’onde incidente et l’onde r´efl´echie Ei. ρi et Φi sont l’amplitude et la phase de l’onde Ei `a partir des formules de Fresnel d´ecrivant la r´eflexion et la transmission aux interfaces [118].
La Figure 3.18 repr´esente le module des amplitudes |Ei| en fonction du nombre d’onde, correspondant aux ondes repr´esent´ees sur la Figure 3.19.
La Figure 3.19 montre les huit ondes majoritaires intervenant dans le ph´enom`ene d’interf´erences du flux r´efl´echi, qui sont pr´epond´erantes en termes d’amplitude spectrale. Les ondes sont num´erot´ees de la plus importante E1 `a la moins importante E8, et sont simul´ees dans le cas d’un d´etecteur HgCdTe en l’absence de couche anti-reflet et de r´egion de gradient d’indice. La couche m´etallique caract´eris´ee par un indice effectif constant
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge
Figure 3.18: Variation des amplitudes des principales ondes r´efl´echies par un pixel infrarouge en fonction du nombre d’onde. Les ondes correspondantes sont illustr´ees sur
la Figure 3.19
Figure 3.19: Sch´ema des ondes r´efl´echies pr´epond´erantes dans le ph´enom`ene d’interf´erences
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge
(ind´ependant du nombre d’onde) est elle toujours pr´esente, pour mod´eliser la r´eflexion des photons au fond du pixel.
Comme pr´ecis´e pr´ec´edemment, le calcul est r´ealis´e pour une structure sans couche anti-reflet, ce qui a tendance a sur´evaluer les ondes r´efl´echies dans le cas d’une structure r´eelle avec traitement anti-reflet. On peut voir sur la Figure 3.18 que l’amplitude |E4| est particuli`erement faible compar´ee aux amplitudes |E1|, |E2| et |E3|. Son impact est n´egligeable car elle est limit´ee `a la r´egion de nombre d’onde de coupure.
3.2.1.4 Simulation de la r´eponse spectrale par le mod`ele heuristique
La principale approximation du mod`ele heuristique est de consid´erer uniquement les trois ondes r´efl´echies les plus importantes pour la simulation de la r´eponse spectrale. Ces ondes ont les amplitudes E1, E2et E3, et sont repr´esent´ees sur la Figure 3.20. Dans ce cas particulier, ces ondes correspondent aux r´eflexions sur les interfaces des couches substrat, zone active et couche m´etallique.
Figure 3.20: Sch´ema des trois ondes majoritaires dans le ph´enom`ene d’interf´erence d´ecrivant le mod`ele heuristique
Ainsi, le flux r´efl´echi Iref s’exprime en fonction de ces trois ondes, selon l’´equation (3.21), o`u n0 est l’indice de r´efraction du milieu d’entr´ee, 0 et µ0 sont la permittivit´e ´
electrique et la perm´eabilit´e magn´etique du vide.
Irefpσq 1 2 0 µ0 n0 3 ¸ i1 Eipσq 2 (3.21)
Les ondes r´efl´echies Ei sont d´ecrites par l’´equation (3.22), o`u δs et δza sont les diff´erences de chemin optique dans le substrat et la zone active.
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge
E1pσq B1pσq · E0
E2pσq B2pσq · expp2iπσδsq · E0
E3pσq B3pσq · expp2iπσpδs δzaqq · E0
(3.22)
On rappelle les coefficients de r´eflexion et de transmission en amplitude rmpet tmp
sur l’interface entre un milieu m et un milieu p par l’´equation (3.23) [118].
rmp nm np
nm np tmp 2nm
nm np
(3.23)
Les termes Bi se calculent en fonction de ces coefficients de r´eflexion et de transmis-sion selon le chemin suivi par l’onde Ei, comme le montre l’´equation (3.24). Le terme en exponentielle dans l’expression de B3pσq tient compte de l’absorption lin´eique βpσq d’une couche active d’´epaisseur eza.
B1pσq rair,subpσq
B2pσq tair,subpσq · rsub,zapσq · tsub,airpσq
B3pσq tair,subpσq · tsub,zapσq · rza,metpσq · tza,subpσq · tsub,airpσq · exp2βpσqeza
(3.24)
Pour plus de clart´e dans l’expression du mod`ele, nous exprimerons les fonctions com-plexes Bi en fonction de leur module ρipσq et phase Φipσq, comme le montre l’´equation (3.25).
Bipσq ρipσq · exppjΦipσqq (3.25) Le flux incident est fonction de l’onde incidente d’amplitude E0, exprim´e par l’´equation (3.26).
Chapitre 3. Mod´elisation optique d’un plan focal infrarouge Iincpσq 1 2 0 µ0 n0|E0pσq|2