2.2 Mod´ elisation du coefficient d’absorption du HgCdTe
2.2.1 Calcul de l’´ energie de gap
Etude des propri´et´es optiques du
mat´eriau HgCdTe : application `a
l’´evaluation des inhomog´en´eit´es
spectrales
Sommaire
2.1 De la jonction P-N `a la couche optique HgCdTe . . . . 53
2.1.1 Etat de l’art des propri´´ et´es optiques du mat´eriau HgCdTe . . . 53 2.1.2 D´efinition de l’indice de r´efraction complexe . . . . 53
2.2 Mod´elisation du coefficient d’absorption du HgCdTe . . . . 54
2.2.1 Calcul de l’´energie de gap . . . . 54 2.2.2 Calcul du coefficient d’absorption `a 80K . . . . 55 2.2.3 Calcul du coefficient d’absorption `a 300K . . . . 58 2.3 M´ethode de calcul bas´ee sur les relations de Kramers-Kr¨onig 59 2.3.1 Rappels sur les relations de Kramers-Kr¨onig conventionnelles . 59 2.3.2 Pr´esentation des relations simplement soustractives de
Kramers-Kr¨onig (SSKK) . . . . 60 2.3.3 Pr´esentation des relations doublement soustractives de
Kramers-Kr¨onig (DSKK) . . . . 61 2.4 D´etermination de l’indice de r´efraction du HgCdTe . . . . . 62 2.4.1 Choix des points de r´ef´erence de l’indice de r´efraction . . . . . 62 2.4.2 Cas de validation `a temp´erature ambiante : 300K . . . . 63 2.4.3 Cas d’´etude `a basse temp´erature : 80K . . . . 65 2.5 Evaluation de l’erreur de la m´´ ethode SSKK . . . . 67
2.5.1 Expression explicite de l’erreur de troncature de la m´ethode SSKK . . . . 68 2.5.2 Majoration de l’erreur de troncature de la m´ethode SSKK . . . 70
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
2.5.3 Application `a des exemples de composition en Cadmium `a 80K 71
2.6 Longueurs d’onde de coupure en fonction de la composition
et de l’´epaisseur . . . . 73 2.6.1 Simulation des longueurs d’onde de coupure . . . . 73 2.6.2 Corr´elation des longueurs d’onde de coupure avec la
composi-tion et l’´epaisseur . . . . 74 2.6.3 Influence de la dispersion de l’indice de r´efraction sur la longueur
d’onde de coupure du HgCdTe . . . . 75 2.7 Conclusion du chapitre . . . . 76
La d´etection du signal optique par le pixel s’effectue au sein de la jonction P-N. Pour mod´eliser la r´eponse spectrale d’un pixel, il est primordial d’avoir une connaissance suffisamment fine du comportement de cette zone absorbante, qui est ´egalement appel´ee zone active. Dans notre cas d’´etude, cette zone est repr´esent´ee par la couche HgCdTe. Nous nous proposons de la mod´eliser en une unique couche homog`ene optique avec son indice de r´efraction et son ´epaisseur caract´eristiques, dans le but de remonter `a son comportement spectral.
Pour les besoins de cette mod´elisation, nous avons effectu´e une ´etude bibliographique sur les param`etres optiques du HgCdTe accessibles et utiles dans notre cas d’´etude. Parmi ces param`etres, le coefficient d’absorption est largement utilis´e dans la litt´erature pour la mod´elisation et la pr´ediction des performances des d´etecteurs HgCdTe. L’indice de r´efraction du substrat (CdZnTe) est ´egalement utilis´e, typiquement pour ´evaluer les pertes par r´eflexion de Fresnel (voir les travaux de Saxena et al. [94, 95]). En revanche, les effets de cavit´e observ´es sur les r´eponses spectrales faisant intervenir l’indice de la couche active ne sont g´en´eralement pas pris en consid´eration dans la description du pixel.
Pour une mod´elisation compl`ete du comportement spectral de la couche HgCdTe, il est n´ecessaire de connaˆıtre la dispersion de son indice de r´efraction `a la temp´erature de fonctionnement du d´etecteur (typiquement 80K). En effet, le rˆole de cette grandeur est tout aussi d´eterminant que celui de l’´epaisseur de la couche dans la mod´elisation des effets de cavit´e `a l’int´erieur de la structure.
Dans ce chapitre, nous pr´esentons la d´emarche que nous avons adopt´ee pour ´evaluer les propri´et´es optiques de la couche active (HgCdTe), `a basse temp´erature. L’objectif est d’extraire l’origine physique des disparit´es des longueurs d’onde de coupure, et de les relier aux param`etres technologiques de la couche. Dans un premier temps, nous d´etaillerons les propri´et´es d’absorption du HgCdTe `a basse temp´erature. Puis, nous ´
evaluerons l’indice de r´efraction optique de ce mat´eriau `a 80K, car il n’est pas accessible dans la litt´erature. La m´ethode utilis´ee pour ce calcul est bas´ee sur les relations de Kramers-Kr¨onig (KK). Enfin, nous montrerons comment ces propri´et´es nous ont permis
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
d’´etablir un diagramme de d´ependance des longueurs d’onde de coupure en fonction de la composition en Cadmium et de l’´epaisseur de la couche HgCdTe.
2.1 De la jonction P-N `a la couche optique HgCdTe
Nous mod´elisons la couche HgCdTe contenant la jonction P N en une unique couche optique suppos´ee homog`ene, caract´eris´ee par un indice de r´efraction complexe et une ´
epaisseur effective.
2.1.1 Etat de l’art des propri´´ et´es optiques du mat´eriau HgCdTe
Les propri´et´es d’absorption optique du HgCdTe ont fait l’objet d’un nombre impor-tant d’´etudes, dans la mesure o`u elles jouent un rˆole essentiel dans l’´evaluation du rendement quantique du d´etecteur [96, 97, 98, 99, 100]. L’indice de r´efraction est ´
egalement connu pour diff´erentes compositions en Cadmium, `a temp´erature ambiante [101]. Cependant, tr`es peu d’´etudes l’ont ´evalu´e `a d’autres temp´eratures de fonction-nement [34, 102]. Pourtant, pour remonter au comportement spectral de la couche HgCdTe `a basse temp´erature (80K), il est n´ecessaire de calculer la dispersion de l’indice de r´efraction `a cette temp´erature.
2.1.2 D´efinition de l’indice de r´efraction complexe
D´efinissons d’abord la fr´equence angulaire ω, qui sera notre principale variable de calcul. ω est la fr´equence angulaire du photon de nombre d’onde σ, d´efinie par l’´equation (2.1), o`u c est la c´el´erit´e de la lumi`ere.
ω 2πcσ (2.1)
Pour une couche HgCdTe, suppos´ee homog`ene et isotrope, l’indice optique n est une fonction complexe de ω, d´efinie par l’´equation (2.2). Dans cette expression, les grandeurs η et κ sont les parties r´eelle et imaginaire de l’indice de r´efraction.
npωq ηpωq j · κpωq (2.2)
Dans les sections suivantes, nous montrons comment nous ´evaluons l’indice com-plexe du HgCdTe d’abord `a temp´erature ambiante (300K), puis `a basse temp´erature (80K), pour diff´erentes valeurs de composition en Cadmium. Ce calcul est effectu´e dans les bandes spectrales au-dessus et en-dessous de l’´energie de gap, et utilise la partie imaginaire κ dont la mod´elisation sera pr´esent´ee dans le paragraphe suivant.
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
2.2 Mod´elisation du coefficient d’absorption du HgCdTe
Le coefficient d’absorption lin´eique α d’une couche optique est directement li´e `a la partie imaginaire κ de son indice de r´efraction, par l’´equation (2.3).
κpσq αpσq
4πσ (2.3)
Ainsi, pour ´evaluer la partie imaginaire de l’indice de r´efraction, il suffit d’´evaluer le coefficient d’absorption de la couche HgCdTe. Pour cela, nous avons utilis´e deux mod`eles, trouv´es dans la litt´erature, correspondant aux r´egimes au-dessus et en-dessous de l’´energie de gap. Nous avons ´evalu´e l’´energie de transition ET entre ces deux r´egimes s´epar´ement, car elle ne co¨ıncide pas avec l’´energie de gap [103], en utilisant l’´equation (2.4). Dans cette formule, αT est le coefficient d’absorption `a cette transition, exprim´e en fonction de la composition en Cadmium x et de la temp´erature T en K, ET correspond `
a l’´energie pour laquelle le coefficient d’absorption est ´egal `a αT.
αTpx, T q 3.9778T 566.4 p0.020366T2 0.46742T 3878.9qx (2.4)
2.2.1 Calcul de l’´energie de gap
Pour obtenir l’´energie de gap Eg, nous avons utilis´e l’´equation (2.5), o`u Eg est exprim´ee en eV et T en K. Cette expression a ´et´e publi´ee par Seiler et al. [104], et permet de prendre en compte la variation thermique non lin´eaire de Eg pour des temp´eratures en-dessous de 100K, tout en restant valable `a temp´erature ambiante. Elle est applicable pour des valeurs de compositions en Cadmium telles que 0.17 x 0.30, ce qui corre-spond `a des longueurs d’ondes de coupure typiques allant du MWIR au VLWIR. Pour des temp´eratures sup´erieures `a 100K, cette expression est asymptotique `a l’´equation (1.1) de Hansen-Schmit-Casselman (HSC) [33], utilis´ee commun´ement.
Egpx, T q 0.302 1.93x 0.810x2 0.832x3 5.35 · 104·p1 2xq · 1822 T3 255.2 T2 (2.5)
A titre illustratif, nous avons trac´e la diff´erence entre ces deux expressions de Eg en fonction du nombre d’onde ´equivalent σg (σg Eg
1.24 104) sur la Figure 2.1. Plus pr´ecis´ement, nous avons repr´esent´e ∆σg σgHSC σgSeiler exprim´e en cm1, dans le
but de comparer la diff´erence entre les deux expressions aux ordres de grandeur connus de variations de nombres d’onde de coupure dans une matrice de d´etecteur. On peut observer sur la Figure 2.1 que cette diff´erence est maximale pour des temp´eratures tr`es
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
Figure 2.1: Diff´erence entre les formules d’´energie de gap du Hg1xCdxT e de Hansen-Schmit-Casselman [33] et Seiler et al. [104], exprim´ee en nombre d’onde ∆σg
correspon-dant `a la diff´erence d’´energie de gap ∆Eg
basses (T 20K), et atteint 35cm1, soit 0.32µm en diff´erence de longueur d’onde.
Cela repr´esente une erreur importante si l’on compare ces ordres de grandeurs aux variations de longueurs d’onde de coupures usuelles trouv´ees dans la litt´erature, qui sont de l’ordre de 0.1µm dans le MWIR (voir Section 2.6.2). Dans nos applications, x 0.29 et T 80K, ce qui correspond `a une erreur d’environ 8cm1, soit 0.024µm en
diff´erence de longueur d’onde, qui est toujours comparable aux variations observ´ees dans des d´etecteurs du MWIR. L’utilisation de la formule (2.5) pr´esente un int´erˆet certain pour l’´evaluation de l’´energie de gap dans notre approche de mod´elisation, ´etant donn´e que notre cas d’application concerne les basses temp´eratures.