a une r´esolution de 20cm1, sup´erieure `a la r´esolution avec laquelle nous l’avons g´en´er´e
(2cm1) engendre des oscillations parasites sur le spectre restitu´e, particulier autour
des nombres d’onde 3500cm1, 5500cm1 et 7200cm1. Ce comportement est dˆu en
partie `a une redondance d’information dans la matrice des r´eponses spectrales, que nous pr´esenterons dans la section suivante. Nous donnerons alors une des pistes de r´eflexion envisag´ees.
Pour v´erifier que ce probl`eme est intrins`eque au mod`ele exhaustif, nous avons ef-fectu´e le mˆeme test d’inversion avec un mod`ele sinuso¨ıdal, contenant un seule terme en cosinus, qui permet de passer du spectre `a l’interf´erogramme. De la mˆeme mani`ere, en g´en´erant l’interf´erogramme `a 2cm1 puis en l’inversant avec ce mˆeme mod`ele `a la
r´esolution de 20cm1, le spectre de corps noir restitu´e ne contient aucune oscillation
par-asite. Le mod`ele sinuso¨ıdal, qui simule la transform´ee de Fourier du spectre, s’inverse donc parfaitement en changeant la r´esolution.
Pour expliquer ce comportement, et pouvoir rem´edier `a ce probl`eme d’oscillations parasites, nous allons ´etudier l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 3 ondes, et celui ´
etendu `a 4 ondes. En comparant les r´esultats d’inversion `a ceux du mod`ele exhaustif, nous allons identifier la source du probl`eme d’inversion dans le mod`ele exhaustif.
4.4 Inversion du mod`ele heuristique
Dans cette section, nous pr´esentons les r´esultats obtenus lors de l’inversion du mod`ele heuristique `a 3 ondes, que nous comparons au mod`ele heuristique ´etendu `a 4 ondes
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Figure 4.5: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele exhaustif selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4
d’interf´erence. Nous tirerons ensuite une conclusion sur l’inversibilit´e du mod`ele ex-haustif.
4.4.1 Inversion du mod`ele heuristique `a 3 ondes
Pour ´etudier l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erence, nous adoptons la mˆeme d´emarche que pour le mod`ele exhaustif. Nous appliquons donc les ´etapes repr´esent´ees sur la Figure 4.4, en g´en´erant les matrices M mod´elis´ees avec le mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erences, comme expliqu´e pr´ec´edemment dans la section 4.3.3.
La Figure 4.6 montre le spectre de corps noir restitu´e en utilisant le mod`ele heuris-tique `a 3 ondes d’interf´erence. On peut voir que le mod`ele heuristique s’inverse cor-rectement, mˆeme si le spectre est particuli`erement d´egrad´e autour des nombres d’onde de coupure. Ceci peut ˆetre expliqu´e par le fait que la r´eponse spectrale simul´ee par ce mod`ele est particuli`erement oscillante autour des nombres d’onde de coupure. Cepen-dant, le spectre ne contient pas d’oscillations locales, telles que celles observ´ees sur la Figure 4.5 pour le mod`ele exhaustif.
En outre, les oscillations rapides observ´ees sur l’ensemble du spectre peuvent ˆetre corrig´ees, notamment avec une m´ethode d’inversion qui utilise des crit`eres de r´egularisation adapt´ees au spectre mesur´e.
Dans le paragraphe suivant, nous nous int´eresserons `a l’inversibilit´e du mod`ele heuristique ´etendu `a 4 ondes d’interf´erence.
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Figure 4.6: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 3 ondes selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4
4.4.2 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes
De la mˆeme fa¸con que pour le mod`ele heuristique `a 3 ondes, nous adoptons les ´etapes d´ecrites dans la Figure 4.4 afin de tester l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 4 ondes.
La Figure 4.7 repr´esente le spectre de corps noir restitu´e avec ce mod`ele heuristique ´
etendu `a 4 ondes. Nous pouvons clairement en d´eduire que ce mod`ele s’inverse moins bien que le mod`ele heuristique `a 3 ondes, puisque le spectre pr´esente d’importantes oscillations parasites autour du nombre d’onde 3500 cm1. Cette zone d’oscillation est
similaire `a celle pr´esente sur la Figure 4.5 pour le mod`ele exhaustif.
Ainsi, mˆeme si l’ajout d’une quatri`eme onde d’interf´erence compl`ete le mod`ele `a 3 ondes d’interf´erence pour mieux d´ecrire le comportement du mod`ele exhaustif, cela n’est pas favorable au processus d’inversion du mod`ele heuristique.
Dans le paragraphe suivant, nous allons voir pr´ecis´ement quel terme analytique pose probl`eme dans le processus d’inversion des interf´erogrammes avec le mod`ele heuristique `
a 4 ondes.
4.4.3 Inversion du mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e
´
Etant donn´e que le mod`ele heuristique `a 4 ondes d’interf´erence ne s’inverse pas correcte-ment, nous nous proposons d’expliquer ce ph´enom`ene en retirant de sa formule (rappel´ee par l’´equation (4.14)) le dernier terme, not´e Bpσq et exprim´e par l’´equation (4.15).
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Figure 4.7: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 4 ondes selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4
η4ondespσq η0 4ondespσq 2ρ1pσqρ2pσq · cosr2πσδspσq φ2pσq φ1pσqs 2ρ2pσqρ3pσq · cosr2πσδzapσq φ3pσq φ2pσqs 2ρ1pσqρ3pσq · cosr2πσpδspσq δzapσqq φ3pσq φ1pσqs 2ρ3pσqρ4pσq · cosr2πσpδspσq δzapσqq φ4pσq φ3pσqs 2ρ2pσqρ4pσq · cosr2πσpδspσq 2δzapσqq φ4pσq φ2pσqs 2ρ1pσqρ4pσq · cosr2πσp2δspσq 2δzapσqq φ4pσq φ1pσqs (4.14) Bpσq ρ1pσqρ4pσq · cosr2πσp2δspσq 2δzapσqq φ4pσq φ1pσqs (4.15) Ce terme contient une fr´equence double du troisi`eme terme de l’´equation (4.14), not´e Cpσq et exprim´e par l’´equation (4.16).
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Ainsi, lors de l’inversion par la m´ethode de TSVD, le terme Bpσq pourrait poser probl`eme car il cr´ee une redondance d’information (redondance de fr´equence) qui doit ˆ
etre g´er´ee par la m´ethode d’inversion.
Pour confirmer cela, nous avons test´e l’inversibilit´e du mod`ele heuristique `a 4 on-des formul´e par l’´equation (4.14), en lui retirant le terme Bpσq exprim´e par l’´equation (4.15). Le mod`ele r´esultant est appel´e mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e. De la mˆeme mani`ere que pour les mod`eles pr´ec´edents, nous avons d’abord g´en´er´e des in-terf´erogrammes avec ce mod`ele `a la r´esolution 2cm1, que nous avons ensuite invers´e en
utilisant le mˆeme mod`ele avec une r´esolution diff´erente de 20cm1.
Le spectre restitu´e est repr´esent´e sur la Figure 4.8. Il ne contient plus d’oscillations parasites locales, mais uniquement celles observ´ees autour de la coupure. Nous pouvons en d´eduire que le mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e s’inverse mieux que le mod`ele heuristique `a 4 ondes, ce qui confirme bien que c’est le terme Bpσq qui pose probl`eme dans le processus d’inversion.
Figure 4.8: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele heuristique `a 4 ondes modifi´e selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4
Nous verrons plus loin en quoi cette information nous sera utile pour l’am´elioration de l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif.
4.4.4 Conclusion sur l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif
Nous avons vu au paragraphe 4.3.3 que les spectres restitu´es par le mod`ele exhaustif pr´esentent des oscillations parasites, prouvant que le mod`ele s’inverse mal.
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
En outre, le mod`ele heuristique `a 3 ondes s’inverse correctement, `a la diff´erence du mod`ele `a 4 ondes qui s’inverse mal. Nous avons pu ´etablir que le mod`ele `a 4 ondes modifi´e s’inverse correctement. Cependant, ce mod`ele ne correspond `a aucune r´ealit´e physique puisque nous avons retir´e un terme de l’´equation analytique du mod`ele `a 4 ondes d’interf´erence. Il n’est donc pas possible de simuler son comportement en utilisant les r´egimes d’interf´erence identifi´es dans le mod`ele exhaustif.
Figure 4.9: Superposition des r´eponses spectrales mod´elis´ees avec le mod`ele exhaustif et le mod`ele heuristique
En revanche, il est possible de reproduire le comportement du mod`ele heuristique `a 3 ondes d’interf´erence avec le mod`ele exhaustif sur une certaine gamme spectrale, comme le montre la Figure 4.9 (identique `a la Figure 3.21 pr´ec´edemment pr´esent´ee au chapitre 3). Pour cela, il suffit de filtrer la r´eponse spectrale simul´ee par le mod`ele exhaustif au r´egime `a 3 ondes pr´ec´edemment identifi´e, ce qui revient `a filtrer les nombres d’onde inf´erieurs `a 1950 cm1.
Le spectre restitu´e avec le mod`ele exhaustif filtr´e au r´egime `a 3 ondes d’interf´erence sont repr´esent´es sur la Figure 4.10. On peut remarquer que la qualit´e du spectre de corps noir restitu´e est meilleure que celle observ´ee sur la Figure 4.5 en utilisant le mod`ele exhaustif non filtr´e.
Ainsi, pour l’inversion des spectres de Microspoc, nous proposons d’utiliser le mod`ele exhaustif, dont on estimera les param`etres, et qui sera filtr´e au r´egime `a 3 ondes d’interf´erence, soit `a 1950cm1.
Chapitre 4. Application `a un micro-spectrom`etre
Figure 4.10: Spectre d’un corps noir `a 150C restitu´e avec le mod`ele exhaustif filtr´e `
a 1950 cm1, selon la m´ethode sch´ematis´ee sur la Figure 4.4
Maintenant que nous avons ´etudi´e l’inversibilit´e du mod`ele exhaustif en d´efinissant l’intervalle spectral sur lequel la restitution de spectres est acceptable, nous nous pro-posons d’effectuer une analyse de sensibilit´e sur les param`etres du mod`ele. L’objectif est d’´evaluer la pr´ecision requise sur les param`etres estim´es pour obtenir une bonne qualit´e de restitution de spectres `a l’aide de l’instrument Microspoc.