Kramers-Kr¨onig
Dans cette partie, nous rappelons d’abord quelques notions de base sur les relations de Kramers-Kr¨onig. Ensuite, nous explicitons la m´ethode de calcul que nous avons utilis´ee pour extraire la dispersion de l’indice de r´efraction du HgCdTe d’abord `a la temp´erature 300K, pour validation, puis `a 80K (notre cas d’´etude).
2.3.1 Rappels sur les relations de Kramers-Kr¨onig conventionnelles
Une des m´ethodes les plus classiquement utilis´ees pour d´eterminer la dispersion de l’indice de r´efraction est celle des relations de Kramers-Kr¨onig (KK) [106, 107]. Celles-ci permettent de relier la partie r´eelle et la partie imaginaire de l’indice de r´efraction complexe, pr´ec´edemment d´efini par l’´equation (2.2). L’´equation (2.9) repr´esente une des
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
deux ´equations de KK, qui permet d’obtenir la partie r´eelle ηpωq de l’indice de r´efraction `
a partir de la partie imaginaire κpωq, o`u P correspond `a la valeur principale de Cauchy. Nous pr´ecisons que l’autre ´equation de KK permet tout simplement de faire le chemin inverse, en d´eduisant la partie imaginaire de la partie r´eelle de l’indice.
ηpωq 1 2 πP »8 0 ω1· κpω1q pω12 ω2qdω1 (2.9)
En pratique, la principale source d’erreur provient de l’int´egration sur un domaine spectral infini, alors que l’estimation se fait sur un domaine spectral fini, dans lequel la fonction int´egr´ee est connue.
Des travaux pr´ec´edents ont utilis´e cette relation pour calculer l’indice de r´efraction du HgCdTe `a partir de mesures de transmission d’´echantillons massifs (bulk) minces [108]. Une formule empirique a ´egalement ´et´e propos´ee, d´ecrivant la dispersion de l’indice de r´efraction dans la zone en-dessous de d’´energie de gap. Cependant, cette ´etude est bas´ee uniquement sur les relations de KK classiques (´equation (2.9)), et les erreurs dues au spectre fini utilis´e pour le calcul int´egral ne sont pas pr´ecis´ees.
Une autre astuce de calcul, couramment utilis´ee, consiste `a consid´erer l’´equation (2.10), o`u n8 est la limite de la partie r´eelle de l’indice quand la fr´equence ω tend
vers l’infini [109, 110, 111, 112]. L’objectif est de pallier les erreurs de troncature de domaine spectral dans le calcul de l’int´egrale finie. Cependant, en absence de donn´ees compl´ementaires sur l’indice de r´efraction `a la temp´erature souhait´ee, la valeur de n8
est difficile `a estimer pr´ecis´ement, et peut introduire une source d’erreur suppl´ementaire.
ηpωq n8 π2P »8
0
ω1· κpω1q
pω12 ω2qdω1 (2.10)
Pour minimiser ces incertitudes, nous avons pr´ef´er´e utiliser une autre formulation des relations de KK, appel´ees relations de KK soustractives (SKK). Cette m´ethode est plus pr´ecise, puisqu’elle offre la possibilit´e de s’affranchir du choix de la constante n8. Nous
avons choisi de l’utiliser pour calculer l’indice du HgCdTe dans la totalit´e du domaine spectral qui nous int´eresse (au-dessus et en-dessous du gap). La m´ethode d’utilisation de ces ´equations, ainsi que les r´esultats obtenus, sont d´etaill´es dans les paragraphes suivants.
2.3.2 Pr´esentation des relations simplement soustractives de Kramers-Kr¨onig (SSKK)
L’utilisation des relations SKK permet de r´eduire l’erreur due au calcul de l’int´egrale sur un domaine spectral fini, `a condition d’avoir au minimum un point de r´ef´erence, c’est-`a-dire, de connaˆıtre l’indice au minimum `a une longueur d’onde donn´ee. Elles sont donc un moyen efficace de calcul de l’indice de r´efraction.
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
Nous avons utilis´e deux types des relations SKK: Les relations simplement soustrac-tives de KK (SSKK), propos´ees par Bachrach et Brown [113], et les relations doublement soustractives de KK (DSKK), qui sont un cas particulier des relations multiplement sous-tractives de KK, propos´ees par Palmer et al. [114]. La m´ethode DSKK est plus pr´ecise que la m´ethode SSKK, mais requiert plus d’information a priori. En effet, SSKK utilise un seul point de r´ef´erence de l’indice de r´efraction, qui peut ˆetre situ´e en-dessous de l’´energie de gap, c’est-`a-dire l`a o`u les mesures sont le plus souvent accessibles, car le mat´eriau n’est pas encore totalement absorbant. La m´ethode DSKK n´ecessite, quant `a elle, deux points de r´ef´erence, l’un en-dessous du gap et l’autre au-dessus, pour minimiser l’erreur. Par cons´equent, le choix de la m´ethode d´epend des informations spectrales con-nues a priori sur l’indice recherch´e.
L’´equation (2.11) repr´esente une des deux relations SSKK, o`u ηpω1q est un point de r´ef´erence mesur´e, repr´esentant la partie r´eelle de l’indice connue a priori au nombre d’onde σ1 (ω1 2πcσ1). ηpωq ηpω1q 2pω2 ω21q π P »8 0 ω1· κpω1q pω12 ω2qpω12 ω2 1qdω1 (2.11) Un des avantages des int´egrales SSKK est la convergence rapide compar´ee `a celle des relations KK conventionnelles. On peut remarquer dans les ´equations (2.9,2.11) que la convergence est proportionnelle `a ω11 pour KK et ω13 pour SSKK. Ainsi, les
relations SSKK convergent strictement plus rapidement que les int´egrales KK. De plus, comme pr´ecis´e plus haut, l’utilisation d’un point de r´ef´erence dans SSKK permet de fixer la constante repr´esent´ee par n8, qui reste g´en´eralement vague dans l’utilisation des relations KK. Le point de r´ef´erence ηpω1q est mesur´e ind´ependamment, et appartient au domaine spectral de calcul.
Le choix du nombre d’onde σ1 (et donc ω1) influe directement sur le profil de l’erreur. En effet, il est pr´ef´erable de choisir ω1 au centre du domaine spectral d’int´egration, car cela permet de minimiser l’erreur par des effets de sym´etrie [115]. Dans notre cas, le choix de ω1 s’est fait en fonction des mesures disponibles, tout en essayant de se rapprocher au maximum du centre de l’intervalle spectral d’int´egration.
2.3.3 Pr´esentation des relations doublement soustractives de Kramers-Kr¨onig (DSKK)
La pr´ecision de la m´ethode SSKK peut ˆetre am´elior´ee en utilisant une des relations dou-blement soustractives de Kramers-Kr¨onig (DSKK). Celle-ci est explicit´ee par l’´equation (2.12), et est similaire `a la formule des relations multiplement soustractives de KK pro-pos´ees par Palmer et al. [114]. Cette m´ethode utilise deux informations spectrales a priori repr´esent´ees par les points de r´ef´erence ηpω1q et ηpω2q. ω1 et ω2 sont choisis de fa¸con sym´etrique de part et d’autre du centre de l’intervalle spectral, toujours dans le but de minimiser l’erreur [115].
Chapitre 2. ´Etude des propri´et´es optiques du HgCdTe
On peut voir sur l’´equation (2.12) que la convergence est n´ecessairement plus rapide dans la m´ethode DSKK (en 1{ω15) par rapport `a la m´ethode SSKK (en 1{ω13) .
ηpωq pω2 ω22q pω2 1 ω2 2qηpω1q pω2 ω12q pω2 2 ω2 1qηpω2q