2.2 Etude de propri´et´es g´eom´etriques et m´ecaniques ´
2.2.1 Pr´esence de l’os spongieux
Nous avons ´evoqu´e dans le premier chapitre que les chercheurs calculent les propri´et´es des sections droites sur la partie ≪dense ≫ de la section en n´egligeant l’os spongieux
[Kal00], [Cor05], [Cha06]... D’ailleurs, Kallieris et al. [Kal00] ont prouv´e avec des essais
de compression sur des ´echantillons de cˆotes avec et sans spongieux que la pr´esence de ce dernier est non significative. Nous avons test´e cette affirmation en effectuant deux calculs identiques sur la sixi`eme cˆote issue du mod`ele HUMOS2 : l’un avec une section pleine (avec l’os spongieux et l’autre avec une section creuse (sans l’os spongieux). La sixi`eme cˆote est choisie arbitrairement. Les deux mod`eles sont soumis `a deux types de chargement :
– Flexion trois points,
– Compression ant´ero-post´erieure.
2.2.1.1 Flexion trois points Conditions aux limites :
La sixi`eme cˆote issue du mod`ele HUMOS2 est soumise `a un essai de flexion trois points de sorte que :
– La charge est appliqu´ee dans un plan d´efini par les extr´emit´es de la cˆote et le point d’application de la force. Ce plan sera consid´er´e comme ´etant le plan de la cˆote. – La cˆote est positionn´ee de sorte que l’angle entre la tangente `a la partie post´erieure
et la verticale soit positif (sens trigonom´etrique), pour ´eviter une rotation n´egative lors du chargement. (Figure 2.1).
Figure2.1 –Repr´esentation de la cˆote 6 issue de HUMOS2 avec les conditions aux limites pour la flexion trois points.
Nous avons ´egalement impos´e des conditions aux limites suppl´ementaires pour limiter les d´eformations en dehors du plan form´e par les extr´emit´es et la force appliqu´ee. L’int´erˆet de ces limitations est essentiellement de pouvoir contrˆoler exp´erimentalement la r´eponse de la cˆote durant les essais qui seront d´etaill´es dans le chapitre suivant. Ces conditions aux limites sont appliqu´ees `a un nœud rigidement li´e `a la section correspondante :
– A l’extr´emit´e post´erieure, tous les degr´es de libert´e sont bloqu´es sauf la rotation autour de l’axe perpendiculaire au plan de la cˆote. A l’extr´emit´e ant´erieure, tous les
degr´es de libert´e sont bloqu´es sauf la rotation autour de l’axe perpendiculaire au plan de la cˆote et la translation horizontale suivant la direction des deux appuis, – Une vitesse constante de 0,1 mm/s est appliqu´ee `a l’impacteur.
0 1 2 3 4
0
50
100
150
200
250
300
Flèche (mm) Réaction (N)Avec Spongieux
Sans Spongieux
Figure 2.2 – Courbe Force-D´eplacement de la cˆote 6 HUMOS2 en flexion trois points
Simulations et r´esultats :
Les deux courbes de la figure 2.2 repr´esentent la relation Force-D´eplacement pour les mod`eles avec et sans os spongieux. En ordonn´ee, la force est la somme des r´eactions verticales calcul´ees au niveau des deux appuis. On remarque d’apr`es ces courbes que le comportement du mod`ele num´erique de la cˆote est quasiment identique avec ou sans repr´esentation de l’os spongieux. La pr´esence du spongieux semble augmenter l´eg`erement la raideur de la cˆote. Dans la zone `a comportement ´elastique la raideur est de 92,7 N/mm pour le mod`ele avec spongieux et 96,9 N/mm pour le mod`ele sans spongieux. Cette va-riation relative de 2,8 % est consid´er´ee n´egligeable. La vava-riation de la force atteint 6 % `a 4mm de d´eplacement (d´eformation plastique). D’autre part, la contrainte maximale
d’´elasticit´e est atteinte environ pour la mˆeme fl`eche de 2 mm.
Ces r´esultats montrent que la pr´esence de l’os spongieux a une influence non signifi-cative sur la r´eponse de la cˆote. Donc, la simplification du mod`ele de cˆote en consid´erant une section creuse o`u uniquement l’os cortical est pris en compte est acceptable.
2.2.1.2 Compression ant´ero-post´erieure Conditions aux limites :
Nous appliquons les mˆemes conditions aux limites que pour l’essai en flexion trois points. Le chargement est effectu´e `a vitesse constante de 0,1 mm/s et est, dans ce cas, appliqu´e horizontalement sur l’extr´emit´e ant´erieure dans la direction ant´ero-post´erieure (Figure
2.3(a)). (a) 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 50 60 Déplacement antéro−postérieur (mm) Réaction postérieure (N) Avec Spongieux Sans Spongieux (b)
Figure 2.3 – Repr´esentation de la cˆote 6 HUMOS2 avec les conditions aux limites pour
un chargement ant´ero-post´erieur (a) et courbes Force-D´eplacement (b) correspondantes.
Simulations et r´esultats :
Avec ces simulations, on retrouve les mˆemes r´esultats qu’avec la flexion trois points : comportement identique avec ou sans spongieux dans la zone ´elastique et la raideur de la
cˆote `a section pleine augmente apr`es le passage en d´eformation plastique. La figure2.3(b) pr´esente les courbes Force-d´eplacement pour ce type de chargement. La force ´etant la r´eaction post´erieure suivant la direction du chargement (axe X) et le d´eplacement ´etant le d´eplacement suivant X de l’extr´emit´e ant´erieure.
La raideur calcul´ee sur la partie lin´eaire donne des valeurs de 3,23 N/mm et 3,14 N/mm pour les mod`eles avec et sans spongieux respectivement. Cette diff´erence de 2,79 % est consid´er´ee n´egligeable. La diff´erence devient plus importante dans la zone de d´eformation plastique. La pente plastique est de 0,04 N/mm pour le mod`ele creux, tr`es faible devant celle du mod`ele plein : 0,22 N/mm. Ceci est dˆu aux propri´et´es purement ´elastiques de l’os spongieux utilis´ees dans HUMOS2. En effet, lorsque l’os cortical atteint la phase parfaitement plastique, la pr´esence de l’os spongieux aux propri´et´es ´elastiques continue `a apporter une certaine rigidit´e au mod`ele. Cependant, en comparant la valeur de la force `a 35 mm de d´eplacement ant´ero-post´erieure la diff´erence est uniquement de 7,7 %.