CHAPITRE 1 : APPROCHE EN MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DES ONDES DE TÊTE
1.4. M ÉTHODOLOGIE DE CALCUL SOUS FORME DE RAYONS DE LA PROPAGATION DE L ’ ONDE DE TÊTE
1.4.1. Présentation de la théorie des rayons
Les théories de rayons ont été développées initialement dans le domaine de l’optique afin de répondre au problème de la propagation des ondes d’une manière simple et conforme à une observation physique courante : la lumière se propage sous forme de rayons. Cette théorie est appelée l’Optique Géométrique (OG). Dans le cadre de cette théorie, à l’ordre 0 [3], le champ émis par une source monochromatique S de pulsation
et exprimé au point d’observation O r( ) se propage le long du rayon SO r( ), représenté sur la Figure 1.16.
Figure 1.16 : Schéma d’un rayon SO r émis par une source ( ) S.
En théorie des rayons, le rayon SO r( ) de la Figure 1.16 représentant le champ émis par la source S présente deux caractéristiques :
- Ce champ peut être vu localement comme une onde plane pondérée par un facteur d’amplitude. Le champ de l’onde prend donc la forme suivante :
exp(
A r i tT r où T r( ) est une fonction de phase d’expression
( ) ( ( ))
T r c O r r avec c O r( ( )) la vitesse de propagation de l’onde au point O r( ) et r la longueur du rayon.
- Le rayon SO r
forme un tube de rayons (représenté en 2D par SP r Q r
) dont les dimensions géométriques dépendent de la nature de l’onde et de la source. L’énergie contenue dans le tube de rayons se conserve au cours de la propagation de l’onde : pour respecter cette condition, le facteur d’amplitude A r
assure la conservation du flux de puissance au travers de la surface P r Q r
du tube de rayons. Si l’on considère le rayon SO r
et le rayon SO r
dr
correspondant au champ de l’onde respectivement aux points d’observations O r
et O r
dr
, le flux de puissance au travers de P r Q r
et de P r
dr Q r
dr
est constant,donc pour une propagation en 2D
2/ /
A r dr A r r r dr
. Cette expression
permet de déduire l’évolution de l’amplitude associée au tube de rayons le long de sa propagation.
Un autre principe essentiel aux théories des rayons est le principe de localisation, que nous présentons pour le cas d’une onde plane réfléchie sur une surface et observée au point O. Cet exemple est présenté sur la Figure 1.17.
Figure 1.17 : Réflexion spéculaire d’un rayon incident en rayon réfléchi selon la théorie des rayons.
Le rayon incident de l’onde plane, représenté en noir sur la Figure 1.17, se réfléchit en un point P de la surface à l’angle d’incidence . Ce point P est alors vu comme une source secondaire générant un rayon réfléchi en rouge se propageant au même angle jusqu’au point d’observation O. Dans le cadre d’une théorie de rayons, le phénomène responsable du champ spéculaire réfléchi par une surface en un point d’observation est donc localisé dans une zone restreinte de la surface réfléchissante et qui correspond au point de réflexion P de l’onde sur la surface : ce phénomène est le principe de localisation de la théorie des rayons [25]. Ceci n’est plus vrai si le point d’observation se situe au voisinage ou sur une caustique, pour lequel l’Optique Géométrique n’est plus valide.
Le principe de localisation de l’Optique Géométrique constitue un avantage certain dans la modélisation de la propagation d’une onde : le champ spéculaire porté par un rayon réfléchi n’étant dépendant que d’un point de la surface canonique responsable de ce champ, la modélisation de ce dernier ne nécessite pas l’étude de toute la surface. Si la surface est complexe, il est alors possible de la remplacer localement par une surface de géométrie canonique, dont le traitement analytique est possible.
Appliqué précédemment au cas de la réflexion sur une surface, le principe de localisation peut être généralisé pour décrire la propagation d’une onde dans un milieu complexe. En effet, ce principe simplifie un problème complexe de propagation en un ensemble de phénomènes simples : la propagation d’une onde est ainsi la résultante d’une succession de rayons, que nous appellerons parcours de l’onde, qui constitue une succession de réflexions ou de réfractions à des interfaces traitées localement. Le traitement d’un problème de propagation en théorie des rayons se fait donc en trois phases :
- détermination du parcours de l’onde,
- calcul des points sources secondaires sur chaque interface générant chaque rayon du parcours,
- calcul du champ le long de chaque rayon par conservation de l’énergie.
La détermination du parcours de l’onde, qui constitue la première étape de la modélisation, se fait grâce à un critère physique fondamental : le principe de Fermat [25]. Ce principe impose que le parcours de l’onde doit être d’une longueur totale stationnaire, c’est-à-dire qu’il minimise le temps de vol. Dans le cas d’une réflexion d’une onde sur une surface, le parcours de l’onde doit minimiser le temps de vol tout en passant par un point de la surface sur laquelle s’effectue la réflexion.
Soit T le parcours de l’onde réfléchie sur la surface donné sur la Figure 1.17. Pour un cas d’application optique, on définit, dans un milieu de propagation d’indice optique
/
nc v avec c la vitesse de la lumière dans le vide et v la vitesse de la lumière dans le milieu de propagation, le chemin optique L T
par l’intégrale curviligne sur un élément infinitésimal ds appartenant au parcours T :
TL T
nds (1.1)Le parcours T est le parcours de l’onde si et seulement si la variation
L T
de
L T pour une variation P s( ) du point de réflexion P sur la surface réfléchissante est nul. Soit t la tangente au rayon réfléchi du parcours T émis au point P, le parcours T est donc le parcours de l’onde si :
.
( )
0T
L T nt d P s
(1.2)La théorie de l’Optique Géométrique a été étendue au cas des ondes pour les milieux fluides, donnant la théorie de l’Acoustique Géométrique (AG) [26], et dans les milieux élastiques, donnant la théorie de l’Elastodynamique Géométrique (EG) [27]. La théorie des pinceaux [22] utilisée dans le logiciel CIVA pour la simulation des ondes ultrasonores, est dérivée de l’EG. Cependant l’AG et l’EG présentent des limitations qui sont résumées sur la Figure 1.18.
Figure 1.18 : Champ calculé par l’AG pour l’interaction d’une onde plane avec un corps régulier.
Une onde plane incidente (à gauche sur la Figure 1.18) rencontre un objet présentant une surface courbe, et l’on souhaite connaitre l’expression du champ ultrasonore à droite de l’objet. La géométrie de l’objet induit la création d’une zone d’ombre (représentée en grisé) délimitée par une frontière ombre/lumière. Or l’AG et l’EG prévoient un champ nul dans les zones d’ombre, discontinu sur les frontières d’ombre et ne permet donc pas de calculer les phénomènes de diffraction d’ondes ayant lieu dans une telle zone [25]. En effet, contrairement aux prédictions de l’AG et de l’EG, le champ exact n’est pas nul dans la zone d’ombre et n’est pas discontinu à la frontière ombre/lumière : ces théories ne sont donc pas suffisantes pour notre cas d’étude, car comme nous l’avons vu dans la section
précédente, le mécanisme de propagation de l’onde de tête sur les surfaces irrégulières implique des diffractions dans l’ombre de la pièce.