Intégration du modèle SOV en champ lointain

{ ( / , )}, n i i n n u P t u P t TF F P P TF F P P TF F P P               ^(4.3)

avec F P / P( _{i i1}, ) le spectre fréquentiel du modèle d’amplitude appliqué au bloc i. L’expression (4.3) montre que le champ de déplacement sur le capteur sera calculé dans le domaine temporel en effectuant la convolution des réponses impulsionnelles des modèles d’amplitude appliqués à chaque bloc composant le trajet, ainsi que du signal temporel de l’onde émise.

Il aurait bien sûr été possible d’effectuer le calcul de l’expression (4.3) autrement : on peut obtenir le signal temporel de l’onde reçue en P_n en multipliant tout d’abord tous les spectres des modèles d’amplitude dans le domaine fréquentiel, puis en effectuant une seule Transformée de Fourier Inverse afin de se replacer dans le domaine temporel. Cependant, nous avons préféré choisir pour le moment l’approche décrite dans la formule (4.3), et ce pour deux raisons :

- La convolution successive des réponses impulsionnelles associées à chaque bloc

composant le trajet présente l’avantage d’une interprétation physique plus simple : chaque interaction de l’onde avec la surface de la pièce est clairement identifiée et séparée, ce qui facilite le développement et le débogage du modèle complet.

- Le modèle SOV en champ lointain du bloc rampant nécessite certains ajustements

qui ne sont possibles que dans le domaine temporel.

Cette approche est temporaire et devra être améliorée, car elle n’optimise pas le temps de calcul du modèle : en effet, des blocs similaires utilisant le même modèle rayon pourraient être traités de manière groupée.

Nous allons maintenant étudier les ajustements nécessaires à l’intégration du modèle SOV dans CIVA.

4.1.3. Intégration du modèle SOV en champ lointain

Le modèle SOV en champ lointain a été présenté dans la section 3.2.2. Nous avons cependant observé par la suite que ce modèle intégrait deux contributions au champ issues de l’onde plane incidente sur le cylindre : la réflexion sur la surface du cylindre et la propagation rampante le long du cylindre (Figure 3.9). Dans le cadre de la modélisation de l’onde de tête sur un demi-cylindre, seul un rayon rampant dominant contribue effectivement au champ reçu (voir section 3.1.3), et on souhaite supprimer la contribution de la réflexion, qui ne concerne pas la modélisation de la propagation de l’onde de tête.

Conformément au principe d’intégration des modèles rayon, donné dans la section précédente, la réponse impulsionnelle associée à un bloc rampant est issue de la Transformée de Fourier Inverse du modèle SOV champ lointain. En suivant les notations de la section 3.2.2, la réponse impulsionnelle ( )

( , )

SOV r

rampant, dans la direction d’observation , s’obtient en modifiant la formule (3.18). Celle-ci est amputée de la partie volumique de la propagation du champ (qui sera traitée par le bloc volumique voisin du bloc rampant), afin de ne prendre en compte que l’effet de diffraction sur le cylindre représenté par un bloc rampant (Figure 4.2b), soit :

( ) 1 ( ) ( , ) { ( , )}, SOV SOV r r u t  TF u   _(4.4) avec : ( ) 0 0 ( , ) cos . SOV r n n L n u   u ^ A k a n  



On étudie maintenant la réponse impulsionnelle du modèle SOV champ lointain, calculée à l’aide de l’expression (4.4) dans un cas d’application. Soit un cylindre de rayon

10

a mm (Figure 3.8) et un paquet d’ondes longitudinales incidentes de fréquence centrale 5MHz (Figure 4.1). Pour une direction d’observation  40,5, correspondant à l’inspection de la pièce décrite sur la Figure 4.10 avec a10mm, et dans un milieu de

propagation de type inoxydable ( 1

5650 L V  ms^ , 1 3060 T V  ms^ ), l’application de

l’expression (4.4) donne la réponse impulsionnelle du champ longitudinal représentée en

Figure 4.3.

Figure 4.3 : Réponse impulsionnelle en ondes L du modèle SOV à 5MHz pour un cylindre de rayon a10mm dans de l’acier inoxydable.

Comme le montre la Figure 4.3, la réponse impulsionnelle issue de l’expression (4.4) comporte deux discontinuités, une aux temps négatifs (avec t₂  1,1s), l’autre aux temps positifs (avec t₁1, 3 s ). Ces discontinuités sont issues de la réflexion de l’onde incidente sur le cylindre et de la diffraction sous forme de rayon rampant le long du cylindre. Il faut maintenant déterminer laquelle des deux discontinuités correspond au rayon rampant.

L’instant t0 de la réponse impulsionnelle de la Figure 4.3 correspond au temps de vol théorique d’une onde qui suivrait le trajet de référence (représenté en bleu sur la

Figure 4.4) passant par le centre C du cylindre diffractant.

Figure 4.4 : Schéma du trajet des ondes émises par l’interaction de l’onde plane incidente uinc avec un cylindre vide dans un milieu solide.

Pour une direction d’observation  donnée en champ lointain, la Figure 4.4 représente le trajet du rayon réfléchi (en rouge), du rayon rampant (en vert), et le trajet de référence

0

t  (en bleu). Le point de réflexion R du rayon réfléchi ainsi que les points d’attachement et de détachement P₁ et P₂ du rayon rampant sont indiqués. La Figure 4.4 montre que le trajet de l’onde réfléchie sur le cylindre (en rouge) est plus court que le trajet de référence t0 (en bleu) d’une longueur 2 sin( / 2)a  : la discontinuité associée

dans la réponse impulsionnelle est donc située au temps négatif

2 sin( / 2) /a  V_L 1, 2s

   , pour a10mm, 1

5650 .

L

V  m s^ et  40,5. Le temps de vol de cette onde correspond donc au temps t₂  1,1s de la première discontinuité observée sur la Figure 4.3. Au contraire, le trajet du rayon rampant (en vert) est allongé par rapport au trajet de référence t0 d’une longueur a : la discontinuité issue de cette onde sur la réponse impulsionnelle sera donc au temps positif a V/ _L 1, 3s, pour a10mm,

1

5650 .

L

V  m s^ et  40,5. Ce retard correspond au temps t₁1, 3 s mesuré sur la deuxième discontinuité de la Figure 4.3.

En conclusion, le seul signal se situant dans les temps positifs de la réponse impulsionnelle du modèle SOV asymptotique (expression (4.4)) est celui du rayon rampant. Afin de ne garder que la contribution rampante lors de l’utilisation de ce modèle dans CIVA, seule la partie de la réponse impulsionnelle correspondant aux temps positifs sera utilisée lors de l’étape de convolution (expression (4.3)). Cependant, pour des angles d’observations très faibles ou des rayons trop petits, les temps t₁ et t₂ peuvent être inférieurs à la largeur des réponses impulsionnelles associées aux deux ondes de la Figure

4.4 : dans ce cas, les deux signaux issus du modèle SOV se recouvriront en partie, et ne

pourront pas être séparés en ne gardant que les temps positifs de la réponse impulsionnelle.