CHAPITRE 3 : DÉVELOPPEMENT DE MODÈLES RAYON POUR LE CALCUL EN AMPLITUDE
3.2. M ODÈLE ÉLASTIQUE DE DIFFRACTION SUR CYLINDRE
3.2.3. Étude comparative par simulation de la méthode SOV et des modèles rayon d’amplitude
Deux modèles rayon, permettant de calculer le champ reçu au point d’observation Q, ont été définis dans les deux sections précédentes. Nous allons maintenant appliquer ces modèles au calcul du champ de l’onde L à une distance r du cylindre, et pour plusieurs angles d’observation. Les résultats obtenus seront comparés à ceux du modèle SOV exact (3.17) de la section 3.2.1 afin de déterminer le modèle rayon le plus adapté pour la simulation de l’onde de tête sur une irrégularité cylindrique en milieu solide. Toutes les simulations sont effectuées sous Matlab.
a) Application du modèle SOV en champ lointain
La formule de ce modèle est l’expression (3.18), évaluée ci-après dans une configuration de validation étudiée dans [63], pour k aL 10, k aT 20, r 100a (champ lointain), et des angles d’observation compris entre 0 (direction de l’onde incidente) et (direction de retro-propagation). On obtient l’amplitude du champ de déplacement radial diffracté par le cylindre ur, représenté sur la Figure 3.10.
Figure 3.10 : Amplitude normalisée 1/2
0
( ) /
r r
u u r / a u du champ radial ur diffracté par le cylindre dans la configuration donnée par [63]. La courbe noire est calculée par le modèle SOV
exact (reproduite à partir de [63]), la courbe en bleue est donnée par le modèle SOV en champ lointain.
Comme constaté sur la Figure 3.10, le modèle SOV en champ lointain (courbe bleue) reproduit fidèlement le champ radial ur calculé par le modèle SOV exact (courbe noire).
Cette dernière courbe, ici reproduite à partir de [63], a par ailleurs été obtenue pour validation en appliquant (3.17).
La simulation est effectuée dans une seconde configuration représentative des cas d’inspection TOFD, soit : k aL 55, 6, k aT 103 (paramètres dans l’acier inoxydable) pour une fréquence f 5MHz de l’onde plane incidente, a10mm et r70mm. Les résultats sont donnés sur la Figure 3.11.
Figure 3.11 : Amplitude normalisée 1/2
0
( / ) /
r r
u u r a u du champ radial diffracté ur par le cylindre pour k aL 55, 6 et k aT 103. La courbe noire est calculée par le modèle SOV exact,
la courbe en bleue est donnée par le modèle SOV en champ lointain.
Pour une configuration TOFD réaliste, le modèle SOV en champ lointain reste proche du modèle SOV exact en ce qui concerne le champ radial ur diffracté, avec une erreur relative moyenne de l’ordre de 25%. Plus particulièrement, l’approximation en champ lointain donne de très bons résultats aux faibles angles d’observation ( 45 ) généralement rencontrés en inspection TOFD (erreur relative moyenne de 12% entre 0 et 45) .
b) Application du modèle asymptotique du rayon rampant
La première étape de la modélisation est le calcul des pôles L l
de l’équation (3.21). On effectue ce calcul de deux manières différentes :
Par l’expression (3.25), qui fournit une approximation asymptotique des pôles L l
. Par une résolution numérique de l’équation transcendantale (3.21), à l’aide de la méthode de Newton. Cette méthode permet, en connaissant une valeur approchée d’un pôle de l’équation, de trouver la vraie valeur du pôle pour une précision fixée
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Angle d'observation theta (°)
A m p lit u d e n o rm a lis é e
à l’avance. Pour cela, on utilise la valeur approchée de chaque pôle L l
donnée par
l’expression (3.25), et on exécute de manière itérative le schéma suivant :
1 ' (( ) ) ( ) ( ) , (( ) ) L L L l k l k l k L l k (3.26) avec ' ( ) ( ) /
. L’itération s’achève lorsque (lL)k1(lL)k pour
5
10
.
Les valeurs approchées et numériques des pôles sont représentées dans le plan complexe en Figure 3.12, pour k aL 10 et k aT 20.
Figure 3.12 : Valeurs approchée (en rouge) et numérique (en bleu) des pôles
lL dans le plan complexe, pour k aL 10 et k aT 20. L’ordre de chaque pôle représenté est indiqué. La Figure 3.12 montre que les valeurs approchées (en rouge) et numériques (bleu) des pôles diffèrent. Ainsi l’expression asymptotique (3.23) induit une erreur relative de l’ordre de 8% sur la partie réelle des pôles Ll
, et de l’ordre de 5% sur leur partie imaginaire. Cette partie imaginaire est reliée au facteur d’atténuation exponentiel dans le modèle asymptotique du rayon rampant (3.22), et l’erreur sera donc répercutée sur l’évaluation de l’amplitude portée par le rayon rampant. Pour la suite du calcul, les valeurs
numériques des pôles L
l
sont donc utilisées.
La seconde étape est le calcul de l’amplitude portée par le rayon rampant à l’aide de la formule (3.22), et par le rayon spéculaire réfléchi avec la formule (3.19). L’application de la formule (3.22) nécessite de connaître la valeur des résidus *
L l
A : ces derniers sont évalués numériquement en intégrant le paramètre A sur un cercle autour de chaque pôle
L l
. Pour les valeurs de kL, kT , a et r de la Figure 3.10 puis de la Figure 3.11, les résultats sur le champ du rayon spéculaire, du rayon rampant, et du champ total diffracté, sont indiqués en Figure 3.13. Dans ces deux configurations, seuls les modes
11 12 13 14 15 16 17 0 2 4 6 8 10 12
Partie réelle de gamma
l P a rt ie i m a g in a ir e d e g a m m a l l=1 l=2 l=3 l=4 l=5
contribuent significativement au champ du rayon rampant (pour une précision relative
du champ de 4
1.10 ).
a) b)
c)
Figure 3.13 : Amplitudes normalisées des contributions au champ lointain diffracté par le cylindre, simulées par les modèles rayon : Contribution spéculaire
1/2 0
( / ) /
géo géo
r r
u u r a u (en rouge), contribution du rayon rampant
1/2 0
( / ) /
rpt rpt
r r
u u r a u (en vert), champ total diffracté (somme des contributions
spéculaire et rampante) 1/2
0
( / ) /
tot géo rpt
r r r
u u u r a u (en bleu). En sus : modèle
SOV exact (en noir)
a) Paramètres kL, kT , a et r de la Figure 3.10.
b) Figure reproduite de [63] pour les paramètres de la Figure 3.10. Ligne continue : modèle SOV exact ; Ligne pointillée : champ total diffracté tot
r u . c) Paramètres kL, kT , a et r de la Figure 3.11. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Angle d'observation theta (°)
A m p lit u d e n o rm a lis é e
Les courbes rouge et verte de la Figure 3.13 représentent respectivement le champ réfléchi sur le cylindre, et le champ diffracté par le rayon rampant (Figure 3.9). Elles indiquent notamment que la contribution au champ du rayon rampant est plus grande que celle de la réflexion sur le cylindre, pour 40 sur la Figure 3.13a, et 65 sur la
Figure 3.13b, c’est-à-dire pour de petits angles ; ces proportions s’inversent pour de
grands angles. On observe par ailleurs que le champ réfléchi s’annule pour 0 : en effet, cet angle correspond, en champ lointain, à la zone d’ombre formée par le cylindre. Or la réflexion spéculaire sur la surface du cylindre ne se produit pas dans cette zone.
Enfin les courbes du modèle SOV exact (en noir) et du champ total diffracté calculé à l’aide de la méthode asymptotique (en bleu) correspondent pour les grands angles d’observation ( 90 ), mais divergent d’autant plus que l’angle d’observation s’approche de la limite ombre/lumière ( 0 ) : dans la mesure où le champ réfléchi est très faible dans cette direction, l’erreur effectuée résulte du calcul du champ du rayon rampant par le modèle asymptotique. Ce résultat est prévisible, compte-tenu d’une limitation des modèles rayon rampants utilisés dans ce chapitre : ces modèles ne fonctionnent pas sur et près des limites entre la zone d’ombre et la zone insonifiée. Afin de calculer le champ correctement près de cette limite, il serait nécessaire d’utiliser des modèles uniformes [25,29,64].
a) Choix du meilleur modèle
En considérant la spécificité de l’inspection TOFD, qui utilise deux capteurs en tandem, le champ reçu n’est pas le résultat d’une retro-propagation comme dans le cas d’une inspection de type pulse-echo. En conséquence, les angles d’observation utilisés pour modéliser la propagation de l’onde de tête le long d’un rayon rampant seront faibles (
/ 2
). Dans ce domaine d’angles, l’erreur effectuée sur l’évaluation du champ diffracté par le rayon rampant à l’aide du modèle asymptotique est importante (c’est-à-dire de l’ordre de 100%), et ne permet pas une modélisation suffisamment précise de l’amplitude de l’onde de tête.
Le modèle SOV « en champ lointain » est quant à lui très précis, y compris pour les faibles angles d’observation (Figure 3.10 et Figure 3.11). Ce modèle est donc retenu pour la modélisation de l’onde de tête diffractée sur une irrégularité cylindrique. Il reste un problème cependant : ce modèle ne permet pas de séparer a priori la contribution de la réflexion sur le cylindre et la contribution du rayon rampant. Or, comme le montrait la
Figure 3.6, la configuration d’une irrégularité de surface type demi-cylindre diffère du cas
du cylindre complet, au sens où certains trajets rayons ne peuvent exister. Dans le cas du demi-cylindre, la réflexion spéculaire sur la surface du cylindre ne peut pas avoir lieu, et seul le trajet du rayon rampant est possible. Pour pouvoir adapter le modèle SOV à la géométrie demi-cylindre, il faudra donc séparer les deux contributions : nous montrerons comme l’effectuer au cours de l’intégration du modèle SOV en champ lointain dans le logiciel CIVA au chapitre 4.
La modélisation le long d’un rayon rampant de la diffraction de l’onde de tête sur une irrégularité de surface cylindrique est maintenant effectuée pour un milieu solide. Dans
la partie suivante, nous allons maintenant l’extension de ce modèle au cas d’un affouillement.