Il est désormais temps de décrire plus avant, le cadre sous-jacent des frontières se mouvant ... C'est dans la dynamique des uides que nous trouverons les équations qui vont gouverner les phénomènes physiques du milieu où évoluent nos interfaces.
En mécanique des uides, on distingue diérents types d'écoulements à frontières libres : vagues et ondes : externes au sens où l'air est au-dessus d'un liquide beaucoup plus
dense (dont la Figure 1.1 est un exemple typique) ou internes au sens où les interfaces séparent des milieux diérents, au sein même du domaine uide ;
jets : la même distinction que ci-dessus peut s'appliquer, relativement à leur environne-ment ;
lms minces : ils sont à considérer dans les processus d'enduction ou de séchage sur diérents substrats ;
gouttes et bulles : elles sont très utilisées en chimie ; ce sont les interfaces qui nous concernent le plus, dans le cadre de cette thèse.
Pour formuler mathématiquement les équations gouvernant les écoulements considérés, nous allons tout d'abord préciser les hypothèses physiques retenues. On suppose, comme évo-qué précédemment que les écoulements mettent en jeu deux uides immiscibles visqueux et newtoniens (i.e. le tenseur des contraintes dépend linéairement des taux de déformation). De plus, les deux uides seront considérés incompressibles et isothermes. Ainsi, la densité (ou masse volumique) ne dépend ni de la pression, ni de la température. Qui plus est, comme la viscosité est aussi indépendante de la température, l'équation de l'énergie se retrouve dé-couplée des autres lois de conservation (de la masse et de la quantité de mouvement) : on ne considérera donc pas cette équation dans la suite. Par ailleurs, les uides sont supposés homogènes, si bien que viscosité et densité sont constantes dans chaque espèce.
Les applications physiques que l'on va traiter suggèrent d'adopter un modèle d'interface ponc-tuelle, par suite, les caractéristiques des deux uides exhibent un saut à l'interface. Nous prenons en compte la tension de surface entre les deux uides qui jouera un rôle prépondérant dans les dynamiques étudiées. Par contre, on négligera les transferts de masse à l'interface, ce qui lui confère un caractère imperméable. Dans un premier temps, nous supposerons que la présence de surfactant n'induit pas de variation de la tension de surface ; en conséquence, le coecient de tension de surface sera considéré comme étant constant.
Ensuite, nous allons supposer que l'on étudie l'écoulement dans un domaine borné Ω = Ω1∪Ω2 dansR2 (ouR3). Par souci de simplicité, la présentation est faite en 2D (cf. Figure 5.1) ; l'extension en 3D suit la même philosophie. En notant, ∂Ωi, le bord du domaine Ωi
contenant le uidei, l'interfaceΓest caractérisée par :Γ =∂Ω1 ∩ ∂Ω2.
Fig. 5.1 Le domaineΩ = Ω1∪Ω2 où évoluent les deux uides, séparés par l'interface Γ. Des diverses hypothèses physiques énoncées à l'instant, il résulte que chaque uidei={1,2} est gouverné par les équations de Navier-Stokes, associées aux écoulements incompressibles :
ρi ∂ui ∂t +ui.∇ui − ∇.(2ηiDui) +∇pi =F ∀(t,x)∈R+×Ωi, (5.1)
5.1 Présentation du modèle 101 ∇.ui = 0 ∀(t,x)∈R+×Ωi, (5.2) oùui est le champ de vitesse,pi la pression,ρila densité,ηi la viscosité relativement au uide i,F une force volumique (que l'on détaillera dans la suite) et Du= (∇u+∇Tu)/2. A cela, il faut ajouter les conditions aux limites sur l'interfaceΓ (on note[a] =a2−a1, le saut de la quantitéaau travers deΓ) :
[u] = 0 (5.3)
[−pI+ 2ηDu].n=σκn (5.4) où les scalaires σ et κ représentent respectivement le coecient de tension de surface et la courbure de l'interface. Le vecteurn donne la normale à l'interface. Ces conditions traduisent la continuité de la vitesse à l'interface (5.3) ainsi que l'équilibre entre le saut des contraintes normales et la tension de surface (5.4).
Il est ensuite possible de dériver une formulation Level Set qui intègre les conditions aux limites sur Γ et donne une équation de Navier-Stokes globale sur le domaine Ω. Une telle dérivation est présentée par Chang, Hou, Merriman et Osher dans [23] ; elle a aussi été utilisée dans l'article fondateur de Sussman, Smereka et Osher [169]. C'est cette approche que nous adoptons dans cette thèse, à savoir :
ρ ∂u ∂t +u.∇u − ∇.(2ηDu) +∇p=F+σκδ(φ)n ∀(t,x)∈R+×Ω, (5.5) ∇.u= 0 ∀(t,x)∈R+×Ω, (5.6) ∂φ ∂t +u.∇φ= 0 ∀(t,x)∈R +×Ω, (5.7)
oùuest le champ de vitesse déni surΩ, tout comme la pressionp, la densitéρ et la viscosité η. La fonction Level Set est, par exemple, telle que :
φ >0 dans le uide 2 = 0 sur l'interface <0 dans le uide 1 (5.8) Il s'agit d'un modèle monouide à densité et viscosité variables, données respectivement par : ρ(φ) = ρ1+ (ρ2−ρ1)H(φ) (5.9) η(φ) = η1+ (η2−η1)H(φ) (5.10) La tension de surface apparaît comme une force volumique singulière, localisée sur l'interface, grâce à la fonction de Dirac déjà présentée avec les outils Level Set, tout comme la normale à l'interface. Il convient aussi de noter qu'un tel traitement, du terme de tension de surface, est très proche des travaux de Chandrasekhar [22], Peskin [119], Brackbill et al. [17] ainsi que d'Unverdi et Tryggvason [183]. Cette approche a été maintes fois utilisée par la suite, dans diérentes méthodes de suivi d'interface (par exemple dans [129, 149] pour les méthodes VOF et [167, 157] en Level Set, pour ne citer que quelques travaux).
Nous décrirons plus avant le contexte physique dans la troisième partie mais notons d'ores et déjà que, pour nos applications, les forces volumiques autres que la tension de surface contenues dansF(e.g. l'accélération de la pesanteur) sont négligeables devant les eets capil-laires. Si bien que dans la suite, nous ne mentionnerons plus ce terme dans les équations de la quantité de mouvement. De plus, les termes d'inertie n'auront souvent qu'une faible inuence sur l'écoulement. En conséquence, les deux modèles qui émailleront la suite de ce manuscrit
seront :
le modèle de Navier-Stokes instationnaire : ρ ∂u ∂t +u.∇u − ∇.(2ηDu) +∇p=σκδ(φ)n ∀(t,x)∈R+×Ω, (5.11) le modèle de Stokes instationnaire :
ρ∂u
∂t − ∇.(2ηDu) +∇p=σκδ(φ)n ∀(t,x)∈R
+×Ω. (5.12)
Nous utiliserons tour à tour ces équations, ainsi que leurs versions stationnaires, au gré des applications abordées.
Remarque 5.1 : Prise en compte d'obstacles
Nous aurons parfois besoin de simuler des obstacles solides au sein de nos écoulements. Pour cela nous utiliserons une méthode de pénalisation telle que présentée dans les travaux d'Angot et al. [9]. Cette approche sera détaillée au chapitre 9.