∂u ∂t +u.∇u − ∇.(2ηDu) +∇p=σκδ(φ)n ∀(t,x)∈R+×Ω, (5.11) le modèle de Stokes instationnaire :
ρ∂u
∂t − ∇.(2ηDu) +∇p=σκδ(φ)n ∀(t,x)∈R
+×Ω. (5.12)
Nous utiliserons tour à tour ces équations, ainsi que leurs versions stationnaires, au gré des applications abordées.
Remarque 5.1 : Prise en compte d'obstacles
Nous aurons parfois besoin de simuler des obstacles solides au sein de nos écoulements. Pour cela nous utiliserons une méthode de pénalisation telle que présentée dans les travaux d'Angot et al. [9]. Cette approche sera détaillée au chapitre 9.
5.2 Conditions aux limites
Sur la Figure 5.1, nous avions laissé entendre qu'une partie du bord ∂Ω du domaine Ω
était le siège d'injection et d'expulsion des uides qui transitent en son sein. Il convient donc de préciser les conditions aux limites sur∂Ω.
Pour cela, nous noterons ∂Ωinj les zones du bord en lesquelles du uide est injecté (il pourra s'agir d'un mélange des deux espèces considérées) et ∂Ωout, les zones par lesquelles s'échappe l'écoulement. De plus, on appelle ∂Ωwall les parties du bord constituées de parois solides. On dispose alors d'une partition globale de la frontière de notre domaine (cf. Figure 5.2) :
∂Ω =∂Ωinj∪∂Ωout∪∂Ωwall (5.13) La normale sortante à ∂Ω est notée nΩ et la tangente associée, τΩ. Nous opterons pour les conditions aux limites suivantes :
sur∂Ωinj : on suppose que u est connu ; par exemple, pour une injection monouide, on pourra imposer un prol de Poiseuille simple ;
sur∂Ωout : on simulera une sortie libre du uide via : ( ∂(u.nΩ)
∂nΩ = 0
5.2 Conditions aux limites 103
Fig. 5.2 Partitionnement du bord de Ωpour aecter diérentes conditions aux limites.
sur∂Ωwall : nous autoriserons le uide à glisser sur la paroi à l'aide d'une condition de type mixte Dirichlet-Robin, i.e.
(
u.τΩ=αus(η) +βLs(η)∂(u.τΩ)
∂nΩ
u.nΩ= 0 (5.15)
où les scalaires α et β sont aectés à 0 ou 1 suivant que l'on connaît la vitesse de glissement us ou la longueur de glissement Ls, qui dépendent a priori de la viscosité. Justions cette dernière condition. Il faut avoir à l'esprit que pour des écoulements bi-uides, il est parfois nécessaire de traiter le cas où une ligne de contact se déplace le long de la paroi solide. C'est là qu'apparaît alors la nécessité d'imposer une condition qui autorise le glissement à la paroi ; en eet, on lève ainsi la singularité, attachée à la ligne de contact et induite par une condition de non glissement. Il est eectivement bien connu que, si la vitesse s'annule à la paroi, alors la force nécessaire pour déplacer la ligne de contact est innie [39]. Dans les applications pratiques, us et/ou Ls sont données par les expériences physiques. En plus de (5.15), l'angle de contact entre la ligne de contact et le mur doit être imposé, de manière à avoir un problème bien posé ; enn, cet angle dépend de la vitesse de la ligne de contact [39]. Dans un contexte Level Set, l'angle peut être calculé grâce à la fonction φ. Le point clé, pour que le problème soit bien posé, est d'imposer la condition aux limites sur la vitesse dans Navier-Stokes et non pas sur φ dans l'équation de transport. La relation entre l'angle de contact et la vitesse de glissement est donnée par les expériences physiques et fait partie des paramètres de la simulation numérique.
Nous n'avons pas, dans cette thèse, mené une étude plus détaillée des modèles et des mé-thodes numériques pour gérer les lignes de contact. On pourra se référer, par exemple, aux récents travaux de Spelt [157] ou de Liu et al. [96] dans un contexte Level Set ainsi qu'à ceux de Qian et al. [124] dont Gerbeau et Lelièvre [53] en proposent une formulation ALE.
Attardons-nous maintenant, quelques instants, sur la condition de Robin à la paroi (α= 0et β = 1 dans (5.15)) :
u.τΩ=Ls(η)∂(u.τΩ)
∂nΩ
(5.16) et son adéquation avec le prol imposé sur∂Ωinj.
Fig. 5.3 Ecoulement de Poiseuille
Tout d'abord, rappellons qu'un écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles (voir Figure 5.3) présente un prol de vitesse de la forme :
u(y) =Vmax 1−4y 2 a2 ∀y∈h−a 2; a 2 i (5.17) Par ailleurs, le modèle que nous utilisons fait intervenir une condition de Robin qui traduit une vitesse de glissement à la paroi. Dans une conguration de type Poiseuille, on peut interpréter ce modèle comme un écoulement de Poiseuille tronqué à une distance Lsde la paroi (cf. Figure 5.3). En d'autres termes, on suppose que la physique complexe qui a lieu dans une couche pariétale d'épaisseur Ls peut être modélisée par une vitesse de glissement à une distance Ls
de la paroi. On appelle alors logiquement Ls la longueur de glissement (slip length). Si on combine le prol de Poiseuille et la condition de Robin, alors on dispose d'une relation entre la longueur de glissement et le diamètre a du canal ctif dans lequel ce prol s'annule au bord. Lorsque l'on réalise les simulations numériques, il est fréquent de connaître Ls ou sa proportionf par rapport àa: Ls =f a2. Un calcul élémentaire, utilisant la condition de Robin (5.16) sur une paroi horizontale :
∂u
∂y =α(η)u(y) avec α(η) = 1
Ls (5.18)
et le prol de vitesse (5.17), donne la relation suivante entre y0 eta, qui induit un prol de Poiseuille vériant la condition de Robin eny0 :
a= 2y0pf2+ 1 +f (5.19) aveca/2 > y0 > 0etf ∈]0,1[. Typiquement,f ∼1/100donc, par exemple, pour un canal de diamètre unitaire :y0 ∼1/2 et on aa∼1.01 . Ainsi, lors de nos simulations numériques, nous utiliserons comme condition d'entrée le prol de vitesse (5.17) avec leavériant (5.18) de manière à avoir un prol consistant avec la condition de Robin. Sur les Figures 5.5, on montre l'amélioration induite par une vitesse compatible. Il s'agit de la composante u(x, y)
d'un champ de vitesse u = (u, v) calculé sur une croix (cf. Figure 5.4) ; la vue est prise de prol, dans la direction de l'axe de sortie. Au travers de cet exemple simple, nous illustrons le fait qu'il faut naturellement tenir compte de la consistance des raccords entre les diérents types de conditions aux limites imposées sur ∂Ω. C'est un point dont nous avons constam-ment tenu compte dans ces travaux. Il en résulte une meilleure convergence des solveurs et des résultats d'une précision accrue.
5.2 Conditions aux limites 105
Fig. 5.4 géométrie et conditions aux limites pour une croix
vitesse quelconque vitesse compatible
Fig. 5.5 Eet de la compatibilité des vitesses d'injection, dans la conguration présentée Figure 5.4.