Présentation générale

3.1.1 Représentation des véhicules

Le largage aéroporté peut sembler en théorie symétrique, mais, comme indiqué au paragraphe1.3.4, les dynamiques prises en compte peuvent conduire à des mouve-ments en dehors du plan de symétrie. Chaque solide indéformable est donc modélisé avec six degrés de liberté : trois translations et trois rotations. La modélisation du largage porte sur deux phases. Dans la première, le porteur et le lanceur sont solidaires l'un de l'autre et suivent exactement le même mouvement. Ils forment un système dit hybride qui est représenté, d'un point de vue dynamique, comme un unique solide indéformable. Dans la seconde phase, le porteur et le lanceur ne suivent plus le même mouvement. Ils sont représentés, d'un point de vue dynamique, comme deux solides indéformables diérents. Des interactions entre les mouvements de ces deux solides doivent toutefois être prises en compte.

Le mouvement de chaque solide est traité aux moyens de quatre repères :  Le repère terrestre, donc la verticale est dirigée vers le bas

Repère terrestre > Repère cinématique Repère terrestre > Repère engin Repère engin > Repère cinématique

Figure 3.2  Principe du modèle et sortie obtenue  Le repère engin

 Les repères cinématique et aérodynamique, dont les axes principaux sont confon-dus avec le vecteur vitesse

Comme représenté dans la gure 3.1, le repère cinématique est obtenu depuis le repère terrestre avec l'azimut aérodynamique ξa et la pente aérodynamique γa. Il peut également être obtenu à partir du repère engin avec l'incidence α, le dérapage

beta et le gite aérodynamique µa. Le repère aérodynamique est également obtenu à partir du repère engin avec l'incidence α et le dérapage β, mais sans la rotation correspondant au gite aérodynamique. Finalement, le repère engin est obtenu à partir du repère terrestre avec l'azimut ψ, l'assiette θ et le roulis ϕ.

Le mouvement du système hybride et du porteur est le résultat de l'action d'un contrôleur d'incidence, de dérapage, de gite aérodynamique et de poussée moteur. Plutôt que d'implémenter un contrôleur particulier, ce sont les performances de la commande des variables contrôlées en boucle fermée qui sont directement modélisées. Le modèle résultant est appelé modèle pseudo-six degrés de liberté (pseudo-6ddl). Le lanceur est en revanche représenté de manière classique, avec six degrés de liberté. La fenêtre temporelle utilisée est centrée sur l'instant de largage et sa durée est limitée, de l'ordre de la seconde. La sortie du modèle est composée des valeurs au cours du temps et pour chaque solide indéformable :

 des accélérations et des accélérations angulaires  des vitesses et des vitesses angulaires

 des positions et des angles

La gure 3.2 représente les solides considérés avant et après largage ainsi que les sorties obtenues.

Temps Début Larga ge Fin Turbulences Force d'accroche Ejection Interactions

Poids+Aéro+Propulsion+Contrôle du système hybride

Poids+Aéro+Propulsion+Contrôle du porteur Poids+Aéro du lanceur

Figure 3.3  Chronographe schématique des dynamiques prises en compte

3.1.2 Trajectoire et largage

Le système hybride est commandé pour suivre une trajectoire qui est ensuite pour-suivie par le porteur seul après le largage. Les variables du système hybride seront indicées h, et celles du porteur seront indicées p. La trajectoire concerne toutefois ces deux solides et aucun indice n'est utilisé ici. Les trajectoires sont dénies par la régulation de trois variables :

 L'amplitude de la vitesse, régulée pour rester égale à Vc  L'azimut aérodynamique χa, régulé pour rester nul

 La pente γa, régulée pour rester nulle dans le cas d'un largage palier, ou la variation de pente, régulée pour rester constante dans le cas d'une ressource

Pour les largages en palier, la pente est régulée pour rester nulle. Le largage est initié après 1.1s pour une simulation durant en tout 1.5s. Pour les largages en ressource, la variation de pente est choisie constante et égale à ˙γc

a = (a^c_z/V^c) où ac

z = n^c× g

est l'accélération verticale dans le repère cinématique avec ncle facteur de charge de consigne et g = 9.81m/s2 l'accélération de la pesanteur. Le repère cinématique est le repère obtenu après une rotation χa autour de l'axe z et une rotation γa autour du nouvel axe y. Une pente γlargage

a est d'abord choisie pour l'instant de largage. La pente initiale est ensuite dénie égale à γ0

a = γa^largage − 0.5 ˙γc

a. Le largage est déclenché lorsque γa ≥ γlargage

a , soit environ 0.5s après le début de la simulation. La simulation se termine 0.5s après l'instant de largage et dure donc environ 1s en tout.

La gure3.3représente les diérents aspects du largage pris en compte au cours du temps. Dans une première partie de la simulation, entre le début de la simulation et l'instant du largage, le système hybride vole de manière classique. Le mouvement du système hybride dépendrait, pour un vol en atmosphère calme, de son poids, de son aérodynamique, de son moyen de propulsion et de son contrôleur. Des turbulences atmosphériques ont en plus été prises en compte durant toute la simulation. La phase

de vol du système hybride permet ainsi de prendre en compte les conséquences des turbulences sur les conditions de largage.

A l'instant du largage, le porteur et le lanceur commencent à se séparer. Le modèle du porteur est obtenu à partir de celui du système hybride en modiant les coecients aérodynamiques, la masse, ainsi que le centre de gravité. Le porteur étant modélisé comme le système hybride, son vol dépendrait également, en atmosphère calme, de son poids, de son aérodynamique, de son moyen de propulsion, et de son contrôleur. Le vol du lanceur dépendrait quant à lui uniquement, en atmosphère calme, de son poids et de son aérodynamique. Le largage étant considéré sur une courte fenêtre temporelle, le porteur et le lanceur restent à proximité l'un de l'autre, et il est considéré qu'ils subissent les mêmes turbulences atmosphériques. Celles-ci sont donc calculées pour le porteur, puis elles sont appliquées au lanceur après projection dans le repère adéquat.

La séparation peut ne pas être instantanée. Le modèle suppose que le lanceur est attaché au porteur en deux points distincts, par exemple à l'aide de deux crochets, et que l'un des crochets peut s'ouvrir avant l'autre. C'est la "force d'accroche" indiquée dans la gure 3.3. Une fois le porteur et le lanceur séparés, une force d'éjection est prise en compte. Finalement, des interactions aérodynamiques sont également modélisées tant que le lanceur est proche du porteur.

3.1.3 Théorèmes fondamentaux de la dynamique

Le TFD n'est appliqué qu'aux forces du système hybride et du porteur, et non à leurs moments, car l'évolution de leurs angles est estimée à l'aide d'un modèle pseudo-6ddl. L'application du TFD aux forces du système hrybride permet d'écrire :

(mp+ ml)⃗a⁰_h(Gh) = ¹ 2^ρSV

2

h_C⃗f orces

h + (mp+ ml)⃗g + ⃗Fmoteurs (3.1) et son application aux forces du porteur permet d'écrire :

m_p⃗a⁰_p(G_p) = ¹ 2^ρSV

2

p( ⃗C_p^{f orces}+ ∆ ⃗C_p^{f orces})

+m_p⃗g + ⃗F_moteurs+ ⃗F_l/p− ⃗Feject (3.2) La surface de référence S est la même pour le système hybride et pour le porteur.

mp correspond à la masse du porteur seul, et ml à la masse du lanceur. L'évolution du mouvement du porteur et du système hybride est notamment caractérisée par les accélérations ⃗a0

h(G_h) et ⃗a0

p(G_p)de leur centre de gravité dans le repère terrestre ainsi que par l'amplitude Vh et Vp de leur vitesse air. ⃗Cf orces

h et ⃗Cf orces

p représentent les coecients aérodynamiques et ρ la densité de l'air à l'altitude courante. Après le largage, des intéractions ∆ ⃗C_{f orces}^p , une force d'accorche ⃗Fl/p, et une force d'éjection

⃗

elle agit en réaction sur le porteur. Les forces ne sont initialement pas exprimées dans les mêmes repères. Par exemple, tandis que ⃗Cf orces

h et ⃗Cf orces

p sont initialement exprimés dans le repère aérodynamique, ⃗g est initialement exprimé dans le repère terrestre. Les calculs du mouvement du système hybride et du porteur sont réalisés dans le repère terrestre en projetant l'ensemble des forces dans ce repère.

L'application du TFD aux forces et moments du lanceur conduit aux deux équations suivantes : ml⃗a⁰_l(Gl) = ¹ 2^ρSlV 2 l ( ⃗C_l^{f orces}+ ∆ ⃗C_l^{f orces}) + ml⃗g + ⃗F_p/l+ ⃗Feject− ml⃗_Ω0 l ∧ ⃗V0 l (Gl) (3.3) Il⃗˙Ω0

l = M^⃗deport+ ⃗Maero+ ⃗M_p/l+ ⃗Meject− ⃗Ω0

l ∧ Il_Ω⃗0

l (3.4)

où ⃗Ω0

l est le vecteur rotation du lanceur dans le repère terrestre et ⃗V0

l (Gl)le vecteur vitesse de son centre de gravité dans le repère terrestre. La force d'accroche agissant sur le porteur est telle que ⃗Fp/l=− ⃗Fl/p. La matrice Ilreprésente la matrice d'iner-tie du lanceur et ⃗Ω0

l son vecteur de rotation dans le repère terrestre. Les vecteur

⃗

M_deport, ⃗M_aero, ⃗M_p/l, et ⃗M_ejectreprésentent respectivement les moments induits par une masse déportée qui pourrait par exemple représenter le système d'attache, les forces aérodynamiques, la force d'accroche, et les forces d'éjection. L'ensemble des forces sont appliquées dans le repère engin du lanceur, ce qui permet d'obtenir ⃗al et surtout ⃗Ω0

l. Il est en eet classique de représenter les rotations dans le repère engin lorsqu'elles sont calculées avec le TFD appliqué aux moments. C'est la raison de la présence des termes ml⃗_Ωl∧ ⃗V0

l (G_l) et ⃗Ωl∧ Il_Ω⃗0

l.

Ces équations diérentielles et celles correspondant au modèle de Dryden sont in-tégrées avec un pas de temps xe d'une valeur de 0.0025s. Ce pas de temps, re-lativement faible et conduisant donc à des calculs assez longs, permet de suivre le mouvement des véhicules de manière susamment précise. La distance parcourue en un pas de temps n'est pas négligeble puisqu'elle est égale à environ 1% de l'en-vergure pour le système en vraie grandeur, et à environ 4% de l'enl'en-vergure pour le modèle réduit. Le suivi du largage est toutefois considéré comme précis pour deux raisons. Premièrement, le suivi du largage nécessite repose avant tout sur la position relative des centres de gravité du porteur et du lanceur. Or, la distance parcourue en un pas de temps est due avant tout à la vitesse totale qui est importante mais relativement constante. La vitesse relative entre le porteur et le lanceur étant bien plus faible que leur vitesse totale, leur position relative peut être suivie de manière précise. Deuxièmement, le pas de temps est également susament faible pour éva-luer précisément l'évolution des angles. La plus grande variation observée entre deux pas de temps est d'environ 0.01° pour l'incidence du porteur, d'environ 0.7° pour l'assiette du lanceur, et d'environ 0.3° pour son azimut. Plus généralement, un pas de temps de 0.0025s correspondant à une fréquence d'échantillonnage de 400Hz, le théorème de Shanon permet d'armer qu'il est possible d'étudier n'importe quelle dynamique à moins de 200Hz.

3.1.4 Caractéristiques des engins

Les coecients aérodynamiques du porteur, du système hybride et du lanceur ré-sultent des travaux décrits en section 1.1.3. Étant donné que le mouvement du système hybride et du porteur est modélisé en pseudo-6ddl, seuls les coecients de forces sont utilisés. En eet, le calcul de l'attitude pour un modèle pseudo-6ddl ne nécessite pas les coecients de moment et la localisation du foyer aérodynamique. Les coecients de forces ⃗Cf orces

h du système hybride et ⃗Cf orces

p du porteur sont tels que :

⃗

C_p^{f orces} = C^⃗_p^{f orces}(αp, βp) (3.5)

⃗

C_h^{f orces} = C^⃗_p^{f orces}(α_h, β_h) + ⃗C_correction^{f orces} (α_h, β_h) (3.6)

où αp et βp sont respectivement l'incidence et le dérapage du porteur, et αh et βh ceux du système hybride. La présence du lanceur sous le porteur dans le cas du système hybride est ainsi prise en compte à l'aide d'un terme correctif ⃗Cf orces

correction.

⃗

Cp^{f orces} est obtenu par extrapolation de tables, tandis que les coecients de forces

⃗

C_correction^{f orces} ont été approchés par :

⃗

C_correction^{f orces} (α_h, β_h) = C_correction  α¹_h

βh 

 _(3.7)

Où Ccorrection est une matrice de dimension 3 × 3. Les coecients aérodynamiques ⃗Cf orces

l et le centre de poussée cpoussee

l du lanceur sont tous deux exprimés en fonction de l'incidence totale αlentre l'axe du lanceur et le vecteur vitesse. Le lanceur est considéré comme axialement symétrique, et l'eort aérodynamique est toujours compris dans le plan déni par l'axe du lanceur et le vecteur vitesse. La portance est nulle lorsque l'axe du lanceur est confondu avec le vecteur vitesse.

L'inertie du système hybride et du porteur n'est pas nécessaire du fait du contrôleur pseudo-6ddl. La masse à vide du porteur est donnée égale à 71.8kg, et la masse pour des réservoirs de fuel pleins est donnée égale à 107kg. Il a été choisi de considérer un vol avec les réservoirs remplis à 80%, c'est à dire avec un porteur de 99.96kg. L'évolution de la masse due à la consommation de fuel est connue, mais elle est négligée du fait de la courte fenêtre de temps considérée.

La masse du lanceur a été estimée égale à 10kg. Il s'agit d'une masse relativement faible correspondant à la logique du pire cas. Les mouvements d'un lanceur de masse plus faible sont en eet a priori plus importants. La masse du système hybride est la somme des masses du porteur et du lanceur. La matrice d'inertie du lanceur a été

estimée égale à : I_l=  ^0.050 3.5^{0 0}0 0 0 3.5   _(3.8)

Les valeurs sont exprimées en kg.m2. Elles ont été choisies cohérentes avec un lanceur de 10kg, de 2m de long et dont le calibre est de 20cm.

Finalement, les données nécessaires à la simulation des propulseurs ont été extraites de leurs ches techniques. L'amplitude de la force de poussée des moteurs est de la forme :

Fpoussee = ηpF_poussee^max (z, M a) (3.9) où ηp ∈ [0; 1] est le niveau d'utilisation du moteur, et où Fmax

poussee est la poussée maximum que le moteur est capable de fournir à une altitude z et à un mach Ma donnés. Fmax

poussee est extrapolé à partir de tables fonction de z et de Ma. Le vecteur poussée ⃗Fpoussee peut avoir une composante verticale et donc former un angle non nul avec l'axe principal du porteur. Cet angle est un paramètre du modèle.