La dernière étape pour obtenir une bonne estimation de la partie linéaire de la ré- ponse impulsionnelle linéaire consiste à retirer l’influence de la salle, ainsi que les effets de bords dus aux découpes dans le domaine temporel. En effet, la transformée de Fourier d’une fonction “porte” étant un sinus cardinal, une découpe trop abrupte dans le domaine temporel aurait pour conséquence de convoluer la réponse en fréquence dans le domaine fréquentiel par ce sinus cardinal.
Un exemple de l’estimation du noyau de Hammerstein d’ordre 1 dans le domaine tem- porel, i.e la réponse impulsionnelle de la partie linéaire, avant et après le post-traitement, est visible sur la Figure I.2.7. Cet exemple est le même que le précédent, dont l’estimation est visible sur la Figure I.2.6. La ligne noire pointillée représente l’origine où est atten- due la réponse impulsionnelle, i.e t = 0. Remarquons que celle-ci a été périodisée pour tenir compte du caractère cyclique de l’algorithme FFT. On constate que le décalage est de 200 échantillons entre le pic de la réponse impulsionnelle et la position t = 0. Or, la distance entre le micro et l’enceinte est de 1.4 m, soit 197 échantillons pour une fréquence d’échantillonnage de 48 kHz et une vitesse du son de 340 m s−1. Les deux valeurs sont donc cohérentes. De même, le décalage temporel entre la réponse impulsionnelle et la première réflexion du sol est de 593 échantillons pour une valeur attendue d’environ 598 échantillons. On choisit de conserver les réponses impulsionnelles avec une longueur de 1024 échan- tillons (en rouge sur la Figure I.2.7). Cette valeur permet, pour toutes les combinaisons des angles θ1 et θ2, de conserver la réponse impulsionnelle et de retirer la première réflexion venant du sol.
L’interprétation de la réponse impulsionnelle brute permet une découpe en trois par- ties. Avant le pic principal, on trouve des oscillations très régulières. La réponse d’un haut-parleur étant causale, il ne devrait pas y avoir de signal avant le pic d’arrivée. Ces oscillations sont interprétées comme un artefact dû à une reconstruction imparfaite. En effet, le produit de convolution est en théorie à support temporel infini, mais dans la pra- tique on est limité par la taille de nos signaux temporels. Notre déconvolution numérique est donc à support temporel fini, ce qui engendre ces oscillations, souvent appelées “effets de bords”. Également, on note un décalage en phase de l’ampli audio. Or, notre méthode d’estimation est basée sur une hypothèse d’un sinus exponentiel parfait en entrée, ce qui n’est pas le cas dans la pratique puisque le signal d’entrée utilisé est celui sortant de l’ampli. Cette imperfection du signal d’entrée peut aussi engendrer une partie de ces oscillations. Notons que l’utilisation du noyau analytique de Novak donne les mêmes oscillations.
Après le pic principal, se trouve la suite de la réponse impulsionnelle. On estime que cette partie est composée d’environ 70 échantillons, avant l’apparition d’un signal ayant une forme différente.
En effet, après la réponse impulsionnelle, on distingue un signal composé de basses fréquences et de très hautes fréquences. On aperçoit une large oscillation qui s’étale sur environ 300 échantillons, ponctuée de petites oscillations, dont la période moyenne est de 5 échantillons. Cela correspond à des fréquences respectives d’environ 160 Hz et 9600 Hz, qui font partis des fréquences excitées. Or, un haut-parleur est un système causal, qui suit les relations de Kramer-Koening. Celles-ci affirment que la réponse impulsionnelle d’un tel système est celle à minimum de phase, c’est-à-dire la plus compacte possible dans le domaine temporel. Comme un haut-parleur est un système amorti et asservi, ses
1.432 1.434 1.436 1.438 1.44 1.442 Samples ×105 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Amplitude
×10-7Estimated IR before post-processing
0 200 400 600 800 1000 1200 Sample -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Amplitude
×10-7 Estimated IR after post-processing
Figure I.2.7 –Estimation de la réponse impulsionnelle avant, puis après le post-traitement. Sur la figure de gauche, la ligne pointillée noire repré- sente la position attendue du noyau d’Hammerstein d’ordre 1. Le déca- lage correspond au temps de propagation du son entre le haut-parleur et l’enceinte. Les lignes rouges représentent l’intervalle de découpe retenu. On peut clairement voir la première réflexion venant du sol un peu après l’intervalle.
composantes haute-fréquences n’ont aucune raison d’être décalées temporellement dans la réponse impulsionnelle. En effet, un haut-parleur ne peut pas continuer de résonner longtemps après avoir été excité en haute-fréquence, à cause des suspensions. En revanche, la structure en aluminium visible sur la Figure I.2.2 a tendance à résonner en haute- fréquence, ce qui se traduit par un étalement de ses composantes en haute-fréquence. En conséquence, les oscillations rapides sont attribuées à la structure. En revanche, les composantes basse-fréquences sont bien attribuées au haut-parleur, car elle ont besoin d’une plus longue période temporelle pour se manifester.
Cela nous amène à l’extraction suivante de la réponse impulsionnelle. On commence par repérer la position du pic principal dans Matlab. On choisit ensuite de garder 20 échan- tillons en amont, et 100 échantillons en aval du pic. Ces deux parties seront pondérées par des demi-fenêtres de Hanning de mêmes longueurs respectives (20 et 100 échantillons). Cela nous permet d’éviter l’effet de convolution par un sinus cardinal dans le domaine fréquentiel, dont les seconds lobes créent des artefacts lors de l’estimation. De cette ma- nière, la longueur effective de la réponse impulsionnelle est de 120 échantillons, ce qui représente une longueur d’onde de fréquence 400 Hz. En pratique, il faut plutôt considérer une fréquence de 500 Hz au minimum due à l’atténuation des fenêtres de Hanning. Cette valeur est cohérente avec l’analyse du système de Hammerstein jusqu’à l’ordre 5 et un sinus glissant dont la fréquence de départ est f1 =100 Hz (voir Sect. 2.2.3).
Nos mesures seront précises en haute-fréquence et mais pas valides en dessous de 500 Hz. Cependant, le rayonnement en basse-fréquence est relativement bien connu (mo- nopolaire) et facilement calculable avec précision par un modèle éléments finis. On se contentera donc de valider le modèle éléments finis avec les mesures dans le domaine de validité de celles-ci, puis nous garderons le modèle éléments finis en tant que référence pour les basses fréquences.