Le champ diffracté dans le domaine temporel

Objectif : on veut montrer que, pour une arête finie (sur l’axe z entre les points z₁ et z2) avec un angle d’ouverture de θw, la partie du champ acoustique diffractée par cette

arête, émise par une source S et reçue au point R s’écrit : pdiff(t) = − ν 4π Z z2 z1 q  t − m(z) + l(z) c _{β(R, z, S)} m(z)l(z)dz (III.2.21) où β(R, z, S) est la même fonction que celle définie par les Eqs. (III.2.18) et (III.2.19) mais pour laquelle η est une fonction de z plutôt que de τ . Ce changement de variable est basé sur l’expression cτ = m(z) + l(z), avec m et l les distances de la Figure III.2.6.

Soit :

η = cosh−1(z − zS)(z − zR) − m(z)l(z) rSrR

(III.2.22) Ce changement de variable peut sembler arbitraire, mais n’est pas innocent. L’hypo- thèse sous-jacente est que le paramètre τ représente le temps de propagation de l’onde sonore pour parcourir le trajet m(z) + l(z). La preuve que l’Eq. (III.2.21) est juste validera a posteriori cette hypothèse.

Remarque 1 : cela veut dire qu’il n’y a pas de bijection entre les variables d’intégration τ et z car, à un temps τ , correspondent deux trajets possibles (voir Figure III.2.6). C’est la raison pour laquelle l’intégrale de l’Eq. (III.2.24) est bilatérale, alors que l’intégrale de l’Eq. (III.2.25) est unilatérale.

Remarque 2 : pour plus de clarté, on indique dans la notation de β la dépendance aux positions R et S. Ce n’est pas noté explicitement par Biot, mais c’est bien le cas dans son expression. Notons que β peut aussi se mettre sous une forme qui ne fait intervenir que des angles. En effet, à l’aide des relations trigonométriques, on peut montrer que η s’écrit [140] :

η = cosh−11 + sin(α(z)) sin(γ(z))

cos(α(z)) cos(γ(z)) (III.2.23) avec α l’angle sous lequel le point z est éclairé par S et γ l’angle vers lequel il émet dans la direction du point R. Ces angles sont représentés sur la Figure III.2.6. Conformément aux Eqs. (III.2.18) et (III.2.19), β(R, z, S) est donc une fonction qui ne dépend pas des distances m(z) et l(z).

Figure III.2.6 – Paramètres géométriques utilisés dans les formules III.2.21 et suivantes. L’arête est sur l’axe Oz. Gauche : Les quantités m et l sont les distances relatives au trajet partant d’un point R vers une source S, en passant par un point z de l’arête. Droite : On représente dans les plans PR et PS deux trajets (repérés par les indices u et l, pour

up et low) ainsi que leurs paramètres géométriques relatifs. Ces deux contributions ont la particularité d’avoir le même temps de parcours τ , ce qui veut dire qu’il n’y a pas de bijection entre les deux variables d’intégration τ et z. Cela explique pourquoi l’intégrale de l’Eq. (III.2.24) est bilatérale alors que l’intégrale de l’Eq. (III.2.25) et unilatérale. Le point A représente le point pour lequel le trajet est unique et minimum, appelé l’apex. Ce point appartient nécessairement à l’axe Oz, mais peut ne pas appartenir à l’arête, selon la position de R et S, si celle-ci est finie. Cette décomposition des trajets possibles en terme de temps de propagation identiques de part et d’autre du point A est nécessaire à l’obtention de l’équation III.2.25, voir [140] pour plus d’informations. D’après [140] (modifié) et [139].

Principe : on prend pour hypothèse que l’expression du champ diffracté peut s’inter- préter selon le principe de Huygens-Fresnel, c’est-à-dire exprimable comme un ensemble de sources secondaires positionnées sur l’arête, et ayant une certaine directivité. On propose alors la formule : pdiff(t) = Z ∞ −∞ q  t −m(z) + l(z) c _{D[α(z), γ(z), θ} S, θR] m(z)l(z) dz (III.2.24) que l’on interprète de la manière suivante :

— Soit un point de l’arête repéré par son abscisse z. Les distances respectives de la source S au point z et du point z au receveur R sont notées m(z) et l(z) et sont telles que m(z) = q r2 S+ (z − zS)2 et l(z) = q r2 R+ (z − zR)2 : cf Figure III.2.6.

— q est le modèle de source. Conformément au principe de Huygens, il sera identique à celui de la source S et retardé du temps de propagation relatif au point z de l’arête considérée (soit la distance m + l divisée par la vitesse c du son). Par exemple, q sera une distribution de Dirac dans le cas d’une réponse impulsionnelle.

— La division par le produit de m et l représente l’atténuation en champ libre d’un champ acoustique d’une source ponctuelle.

— D est la directivité d’une source secondaire sur l’arête. Cette directivité dépend de l’angle α sous laquelle l’arête est éclairée ainsi que de l’angle γ vers lequel elle émet. On devrait donc parler en toute rigueur de directivité généralisée, mais on utilisera simplement directivité dans la suite du manuscrit. Cette directivité dépend également de la proximité angulaire des sources aux plans qui forment l’arête. Elle dépend donc également des angles θR, θSet du wedge index ν =

π θw

. Cette directivité D, tout comme η, peut être exprimée en fonction de la position z ou du paramètre temporel τ de manière indifférente, au moyen du changement de variable précédent. L’idée est maintenant de transformer l’intégrale de l’Eq. (III.2.24), dont la variable d’intégration z se trouve dans le domaine spatial, en une intégrale dont la variable d’in- tégration τ est dans le domaine temporel. On pourra ainsi l’identifier à un produit de convolution entre la source S exactement représentée par q et une réponse impulsionnelle, qui sera celle de la diffraction par l’arête.

Ce calcul est donné par Svensson dans [140]. Une étape importante de ce calcul passe par le rassemblement deux à deux des sources secondaires dont les temps de parcours τ sont identiques. En effet, comme illustré dans la Figure III.2.6, il existe deux points de part et d’autre de l’apex ayant un trajet de longueur égale. La contribution de l’arête à un temps τ comporte nécessairement la somme de ces deux contributions. Le calcul aboutit à l’Eq. (III.2.24) : pdiff(t) = Z ∞ τ0 q(t − τ0) cH(τ − τ0) rSrRsin(η(τ )) D(τ )dτ = Z ∞ −∞q(t − τ0 )hdiff(τ )dτ (III.2.25) Cette équation est bien une convolution dans le domaine temporel d’une source q avec une réponse impulsionnelle, qui ne peut être que le champ diffracté par l’arête, c’est à dire l’exacte définition de hdiff de la formule de Biot III.2.17.

Finalement, on trouve la directivité D par identification : D[α(z), γ(z), θS, θR] = − ν 4πβ[α(z), γ(z), θS, θR] = − ν 4πβ(R, z, S) (III.2.26) avec β l’expression donnée par les formules III.2.18 et III.2.19 et ν le wedge index

Hypothèse de l’arête finie : puisque l’identification est juste pour une arête infi- nie, et que l’intégrale fait maintenant explicitement intervenir le point courant de l’arête, Svensson fait l’hypothèse que cette formule est valable pour n’importes quelles bornes d’intégrations, en particulier pour des bornes finies, induisant des arêtes finies. On obtient bien dans ce cas l’expression III.2.21.

Cette hypothèse n’est pas triviale. Deux remarques à son propos peuvent être faites : — La solution est présentée dans le domaine temporel, avec la variable temporelle z qui permet de parcourir l’arête. Si le projeté orthogonal de la source est contenu dans l’arête finie, le principe de causalité implique que cette formule est vraie au moins jusqu’à ce que la variable parcourant l’arête atteigne une extrémité de celle-ci. Dans ce cas, les premiers instants ne souffrent d’aucune (hypothétique) approximation. Ils sont d’autant plus étendus dans le temps que l’arête est grande et que le projeté de la source se situe en son centre.

— Une arête isolée finie est un objet théorique qui n’a pas de sens physique. En effet, puisque celle-ci est finie, les faces de l’arête se rejoignent nécessairement pour fermer l’objet rigide dont l’arête est une composante. Par exemple, si on considère que l’arête se termine par un plan (comme par exemple dans la Figure III.2.1), cela engendre nécessairement deux arêtes semi-infinies supplémentaires. Le cas d’une arête finie implique forcément de la diffraction d’ordre multiple. Cette remarque est aussi valide si l’arête se termine par une forme courbe. Cela va alors forcer les ondes rampantes à s’échapper de la surface.

Dans la pratique, la formule s’accorde remarquablement bien avec l’expérience, ou d’autres calculs, même lorsque l’apex de la source n’est pas sur l’arête. Cela laisse penser que cette hypothèse est valide. Il n’y a, à notre connaissance, pas de meilleur argument pour conforter cette hypothèse.