Positionnement de notre problème de transport de fret

Notre problème de conception de réseau de service pour le transport de fret est clai-rement un problème de conception de réseau de service. Cependant, il comporte quelques spécicités supplémentaires. La première spécicité concerne la gestion des véhicules. Pour permettre une planication régulière, le plan de transport calculé sur une période doit pouvoir être répété de période en période. Pour ce faire, il faut qu'au début de chaque pé-riode les véhicules soient répartis de façon analogue. C'est-à-dire qu'on retrouve le même nombre de véhicules du même type dans chaque terminal au début et à la n de la période de planication, i.e. le début de la période suivante. Ce n'est pas nécessairement le même véhicule qui doit être au même endroit, les véhicules pouvant alterner d'une période à la suivante. Dans le cadre de notre application, le temps avant lequel un véhicule retrouve sa route initiale est borné par un nombre N de périodes. En pratique les véhicules cyclent rarement sur plus de 3 à 4 périodes. [Chou et al., 2003] donnent un exemple de rotation des véhicules pour le transport maritime, et [Yan et al., 2005] pour le transport aérien. Cela se produit rarement pour le transport routier. En particulier, le problème comporte explicitement une dimension temporelle. Cette gestion supplémentaire des véhicules dénit le problème de conception de réseau avec gestion de ressources service network design with asset management [Andersen et al., 2009b,Pedersen et al., 2007,Andersen et al., 2009a]. Notre problème s'inscrit dans ce cadre.

La seconde contrainte spécique sur les véhicules est que ceux-ci doivent être utilisés de façon équitable : à la n d'une saison aucun véhicule ne doit être ni sous- ni sur-exploité. La longueur du chemin opéré par le véhicule v pendant une période est bornée inférieurement parQuotaM in_v et supérieurement parQuotaM ax_v. Dans la littérature sur les problèmes de tournées de véhicules, cette contrainte est appelée la contrainte de temps ou de distance [Laporte, 1992].

La structure de coût est classique, un coût variable linéaire avec le ux de produits et un coût xe d'ouverture de service. La spécicité réside dans le fait que l'on cherche à maximiser un prot, et non à seulement minimiser le coût. Une recette est engrangée par le transporteur pour chaque unité de fret transportée jusqu'à sa destination. Ainsi, le transporteur doit faire un arbitrage entre coûts de transport et recettes pour maximiser son prot, il doit donc satisfaire les demandes les plus "rentables" pour lui, et rejeter partiellement ou totalement certaines demandes. Il y a donc là une décision supplémentaire à prendre. Cette caractéristique, de satisfaire ou non une demande, est connue comme

price collecting ou orienteering tour problem, elle a été intégrée par [Feillet et al., 2005] et [Archetti et al., 2008] dans diérents problèmes de tournées de véhicules.

Etude comparée de diérentes

formulations

Sommaire

4.1 Quatre formulations du problème . . . 72 4.1.1 Formulation arc-arc . . . 72 4.1.2 Formulation cycle-arc . . . 74 4.1.3 Formulation arc-chemin . . . 76 4.1.4 Formulation cycle-chemin . . . 78 4.2 Comparaison théorique des formulations . . . 79 4.2.1 Taille des formulations . . . 79 4.2.2 Comparaison théorique des formulations . . . 80 4.3 Comparaison expérimentale des modèles . . . 82 4.3.1 Instances . . . 82 4.3.2 Résultats sur nos instances . . . 83

Le but de ce chapitre est de présenter et de comparer quatre formulations en pro-gramme linéaire en nombre entiers mixte (MIP) du problème de conception de réseau de service avec gestion de otte. Cette étude comparative est similaire à celle de [Andersen et al., 2009b]. Nous nous focalisons sur quatre formulations, qui combinent les diérentes représentations des variables de conception du réseau et des variables de ot. Les variables de décision concernant la conception du réseau portent soit sur les arcs de ce réseau soit sur des chemins potentiels pour les véhicules. Dans [Andersen et al., 2009b] ces chemins sont des cycles sur une période, pour nous ce sont des chemins de longueur une période, morceaux d'un cycle sur plusieurs périodes. Les variables de ot sont soit des variables arcs, soit des variables chemins. Nous comparons expérimentalement ces modèles, ce qui nous permet de valider mais aussi de nuancer les résultats de [Andersen et al., 2009b] quant à la qualité de la formulation à base de morceaux de cycles. De plus, nous proposons une preuve mathématique qui valide le fait que la relaxation linéaire des formulations fon-dées sur les cycles donnent une meilleure borne que la relaxation linéaire des formulations correspondantes fondées sur des variables arcs.

Ce chapitre constitue une de nos contributions majeures sur les problèmes de conception de réseau de service avec gestion de otte. Les résultats concernant la comparaison des modèles arc-arc et cycle-arc sont intégralement publiés [Schrenk et al., 2010] dans le chapitre d'un n° spécial d'articles invités en l'honneur de Catherine Roucairol.

4.1 Quatre formulations du problème

Dans cette section on présente quatre formulations diérentes de notre problème de transport. Ce sont les formulations de conception de réseau de service avec gestion de otte proposées par [Andersen et al., 2009b] et adaptées à notre problème. Pour ces formulations, les variables de conception du réseau (ot de véhicules) sont représentées soit sur les arcs du réseau espace-temps, soit sur des chemins (ou plus exactement sur des morceaux de cycle) de ce réseau. Les variables de ot de marchandises sont dénies soit sur les arcs du réseau, ce qui permet notamment d'intégrer facilement le transbordement, soit sur des chemins de ce réseau. Les quatre formulations ainsi obtenues sont arc-arc, cycle-arc, arc-chemin, cycle-chemin.

Les successeurs et prédécesseurs d'un n÷ud dépendent du type de véhicule considéré. Dans le réseau espace-temps G = (N, A) correspondant au véhicule v, étant donné un n÷ud i ∈ V, on note δ⁺_v(i) = {j ∈ N : (ij) ∈ A} et δ⁻_v(i) = {j ∈ N : (ji) ∈ A} respectivement, l'ensemble de ses successeurs et de ses prédécesseurs. On note également

b^k_ijv =min{u_ijv, w^k}, le minimum entre la capacité du véhiculev pour l'arc de service(ij) et la quantité totale de la demande k.