8 5 2 4 3 4 8 7 5
+
+40
+10
6 7
8
2 3 4 5
Figure 3.6 Marchandises transportées via les deux routes.
3.2 Complexité du problème
Le but de cette section est d'analyser la complexité du problème de conception de réseau de service avec gestion de otte pour le transport de fret. Nous démontrons que notre problème de transport de fret est très dicile. Cette section étant technique, nous conseillons au lecteur qui n'est pas familier avec la notion deN P-complétude de passer di-rectement à la lecture de la section suivante. Le problème de décision dont nous analysons la complexité est écrit ci-après de façon condensée avec un rappel des notations essentielles.
Problème Conception de réseau de transport avec gestion de flotte : Instance :
Un réseau physique comportantnterminaux, représenté par un graphe completG0= (N0, A0). Une fonction de distance euclidienned0 :A0 →R+.
La duréeDureeP de l'horizon de planication i.e de la période, et un nombre total de périodesN ombreP (égal au nombre de périodes constituant une saison).
Un ensemble de demandes origine-destination K, répétées sur chaque période, et pour chaque demande k ∈ K : son origine ok ∈ N0, sa destination dk ∈ N0, la quantitéwk à transporter et la recettePk engendrée par le transport d'une unité de marchandise.
Une otte de véhiculesV de diérents typesVtypeet pour tout typetype, un nombre |Vtype|de véhicules de ce type ; la capacité de ces véhicules,uv :A0→R+; leur vitesse moyenne vitesse(type) et un temps maximal de cyclage de N périodes. Le coût de transport (comportant la partie xe et partie variable) Coutv(i, j, w)qui représente le coût de transport dewunités de marchandises du terminaliau terminalj à bord du véhicule v.
But : Trouver un plan de transport (véhicules + marchandises), qui maximise le prot du transporteur, i.e. le revenu engendré par les demandes satisfaites moins les coûts de transport.
Question : Existe-t-il un plan de transport de prot au moins égal à P?
3.2.1 Un problème N P?
Avant tout, pour étudier la complexité du problème de Conception de réseau de transport avec gestion de flotte, il faut déterminer si ce problème appartient à la classe N P, classe des problèmes non déterministes polynomiaux.
Savoir si le problème est ou non dans N P, n'est pas si simple. Naïvement, le raisonne-ment est le suivant. Une solution du problème de conception de réseau de service contient un ensemble de plannings pour les véhicules. Pour s'assurer que ces plannings vérient bien les contraintes du problème, il est nécessaire de les parcourir. Il faut donc par-courir tous les services. Cette vérication, peut se faire en temps polynomial par rap-port à la taille de l'instance, uniquement si le nombre total de services est polynomiale-ment borné. Un exemple de borne sur le nombre de service opérés par un véhicule v est
DureeP∗vitesse(v)/min{d0(i0, j0)|(i0, j0)∈A0}. La conclusion serait alors que, dans le cas général, le problème étudié n'est pas dans la classe N P.
Cependant, il existe peut être une représentation compacte de la solution, qui permette de vérier en temps polynomial la faisabilité d'une solution. Un exemple de problème d'or-donnancement ayant une telle représentation compacte est donné dans [Brauner et al., 2007].
On ne sait donc pas si le problème étudié est ou nonN P.
3.2.2 Un problème au moins N P-dicile
Dans la suite nous allons démontrer que ce problème est plus dicile que tout problème de la classeN P. Pour ce faire nous allons faire une réduction du problème de Plus court chemin hamiltonien entre s et tvers notre problème.
Problème Plus court chemin hamiltonien entre s et t:
Instance :G= (V, E)graphe, s, t∈V deux sommets,d:E →R+une fonction distance, un nombre réel L.
But : Trouver le plus court chemin hamiltonien de sà t.
Question : Existe-t-il un chemin hamiltonien de sà t de longueur inférieure ou égale à
L?
Ce problème est équivalent au problème du voyageur de commerce, et est, de ce fait N P -dicile. Ce problème reste N P-dicile lorsque le graphe G est complet, et lorsque la fonction dvérie l'inégalité triangulaire.
Théorème 3.2.1. Le problème de décision correspondant à Conception de réseau de transport avec gestion de flotte est au moinsN P-complet.
entre set t
SoitG= (V, E) un graphe complet, V ={v1, v2, . . . , vn}, etd:E → R+ une fonction distance vériant l'inégalité triangulaire une instance du problème Plus court chemin hamiltonien entre s et t.
Nous construisons une instance du problème Conception de réseau de transport avec gestion de flotte de la façon suivante.
Le grapheG0 = (N0, A0) avec N0=V ∪ {v0}, etA0=E∪ {(v0, vi)|vi∈V} la fonction distanced0:A0→R+, identique àdsurE etd0(v0, vi) =P
e∈Ed(e) =D
pouri= 1, . . . , n.
La durée d'une périodeDureeP = 1, et on considère N ombreP = 2périodes. n demandes K = {k1, . . . , kn} répétées à chacune des deux périodes et pour tout
j= 1, . . . , n, okj =v0, dkj =vj, wkj = 1, Pkj =M très grand (M > n∗P e0∈E0Cout1(e0)).
Un seul type de véhiculetype= 1, et un seul véhicule de ce type |V1|= 1. la capacité du véhicule u1 :E→R+ fonction constante égale àn,
le coût de transport de q unités entre i et j : Cout1(i, j, q) = d((i, j)) pour tout (i, j)∈E,
la vitesse du véhiculevitesse(1) = 3∗D, un temps de cyclage de N = 1 période. Un nombre réelP =nM−(L+ 2D).
L'idée générale de cette instance est d'avoir un véhicule assez rapide pour être capable de partir de v0, de visiter au moins une fois tous les sommets et de revenir à v0, sans pour autant être retourné à v0 entre-temps, et tout cela en moins d'une unité de temps (=durée d'une période). On note que dans le cadre de cette preuve le temps n'est pas discrétisé, cette discrétisation ne faisant pas partie intégrante du problème dont on analyse la complexité. Le temps de cyclage N = 1 période assure que le véhicule retourne à v0 à la n de sa tournée. La preuve formelle suit.
Les gures 3.7 et 3.8 permettent de visualiser les graphes des diérentes instances.
d(v1, v3)
d(v1, v2) d(v2, v3) v3
v1 v2
Figure 3.7 GrapheG, instance de plus court chemin hamiltonien.
v0 d(v1, v2) v3 v1 v2 d(v1, v3) D D D d(v2, v3)
Figure 3.8 GrapheG0, instance de conception de réseau de transport avec
On remarque que toutes les demandes peuvent être satisfaites dans la période par un véhicule qui part du dépôt et qui retourne au dépôt (longueur plan de transport≤3∗D, et vitesse véhicule= 3∗D). On remarque également, que dans toute solution admissible, le véhicule passe au plus une fois par v0.
Le prix de toute commande étant supérieur à la longueur de n'importe quel cycle deG0 pas-sant parv0, toutes les demandes sont satisfaites dans une solution optimale qui maximise le prot. Donc toute solution optimale passe par tous les sommets. Le prot engendré par une telle solution estnM−(d(Π) + 2D)oùΠest le plan de transport restreint àG=G0− {v0}.
Montrons qu'il existe une solution de plus court chemin hamiltonien de lon-gueur inférieure ou égale à L si et seulement si il existe une solution de conception de réseau de transport avec gestion de flotte de prot supérieur ou égal à
P =nM−(L+ 2D).
Supposons qu'il existe une solution de plus court chemin hamiltonien Π de lon-gueur inférieure ou égale à L. Alors le cycle v0Πv0 est de longueur inférieure ou égale à
L+ 2D, son coût est donc également inférieur ou égal àL+ 2D. Par conséquent, il dénit un planning qui engendre un prot supérieur ou égal àP =nM−(L+ 2D).
Réciproquement, supposons qu'il existe une solution (un cycle) Γde conception de réseau de transport avec gestion de flotte, de prot supérieur àC=nM−(L+ 2D). Disons queΓ passe exactement une fois par v0 (obligé) et par un nombre t d'autres sommets. On a donctM−d(Γ)≥nM−(L+ 2D), doncd(Γ)≤L+ 2D. On peut supposer que Γpasse par v1, v2, . . . , vt et qu'il existe un chemin Πtel que Γ = (v0Πvtv0).
Le cycle Γ0 = (v0Πvtvt+1. . . vn−1vnv0) a un prot supérieur à Γ. Donc nM −d(Γ0) ≥
tM−d(Γ)≥nM−(L+ 2D), d'oùd(Γ0)≤d(Γ)≤L+ 2D.
Il reste à transformer Γ0 en un cycle hamiltonien sans augmenter sa longueur. Supposons que Γ0 passe plusieurs fois par le même sommet v, i.e. qu'il existe des cheminsΠ1,Π2,Π3 et des sommetsw1, . . . , w4 ∈V tels queΓ0 = (v0Π1w1vw2Π2w3vw4Π3v0).
Siw1 =w2, alors on remplacew1vw2parw1 dansΓ0. Siw1 6=w2, alors on remplacew1vw2 par w1w2 dans Γ0, cette transformation est représentée dans la gure 3.9. Dans les deux cas, grâce à l'inégalité triangulaire, on n'augmente pas la longueur du cycle.
Π3 v0 w4 w1 w3 w2 v Π1 Π3 Π2 v0 w4 w3 w2 Π1 Π2 v w1
Figure 3.9 Réduction du nombre d'occurrence d'un sommetv6=v0 dans la solution du problème de conception de réseau de transport avec gestion de flotte.
Ainsi, on peut transformerΓ0 en un cycle hamiltonien de longueur inférieure ou égale à
L+ 2D. En ôtantv0 de ce cycle cela dénit donc un chemin hamiltonien de Gde longueur inférieure ou égale à L.
Ceci prouve que problème de conception de réseau de transport avec gestion de flotte est au moins N P-complet.
3.2.3 Complexité théorique et pratique due aux contraintes spéciques
Dans la première partie de cette thèse, nous avons démontré que 3 diérents problèmes, sous-problèmes du problème industriel de conception de réseau de service avec gestion de otte, étaient dicile.Le premier problème concerne le problème de transport avec coût xe. Dès lors que le problème comporte une part de design avec coût xe associé, le problème devient dicile. Le second problème concerne la rotation des véhicules. Nous avons vu que ce problème pouvait se ramener à un problème de décomposition d'un graphe en circuits de longueur bornée et qu'il s'agissait d'un problème dicile. Cependant, en pratique la contrainte ne devrait pas poser trop de problèmes. En eet, le nombre de terminaux dans lesquels il y a initialement des véhicules majore la longueur des cycles. Ainsi, si les véhicules sont initialement positionnés dans deux terminaux, les cycles seront au plus de longueur deux. Il se peut aussi qu'on ne génère que des cycles de longueur 1, auquel cas la contrainte sur la longueur des cycles est automatiquement vériée. A priori pour des instances avec une période longue (une semaine ou plus) cette restriction ne devrait pas trop dégrader les solutions. Par contre, dans le cas du transport express où la période est de seulement 1 jour, n'autoriser que des cycles sur un jour interdit certaines destinations. En eet, certains trajets aller-retour ne peuvent pas être réalisés en une journée.
Le troisième problème s'attache à l'équilibrage des charges entre véhicules. Là encore, le problème se modélise comme un problème de décomposition de graphe, cette fois-ci il s'agit d'une décomposition en chaînes de longueur bornée. Bien qu'il s'agissent de pro-blème en théorie dicile, l'équilibrage des charges entre véhicules s'intègre directement dans les modèles. Dans une formulation chemin, on ne générera que les chemins vériant des contraintes de longueur (minimum et maximum). Ceci limite par ailleurs le nombre de chemin, c'est donc une contrainte appréciée pour ce type de formulations.