Dans cette section nous étudions la complexité due aux contraintes spéciques de ges-tion de véhicules du problème de concepges-tion de réseau de service pour le transport de fret. Ces contraintes sont d'une part la rotation des véhicules sur un nombre limité de périodes, et d'autre part l'équilibrage des charges entre véhicules. Ces deux problèmes s'in-terprètent comme des problèmes combinatoires de décomposition de graphe. Dans la suite, nous établissons cette interprétation et analysons la complexité de ces problèmes.
2.2.1 Rotation de véhicules : un problème de décomposition de graphe
Une caractéristique de nombreux problèmes de transport est le "cyclage" des véhicules par rapport à un terminal d'origine. Ce cyclage est souhaité par les transporteurs pour des raisons de maintenance des véhicules. Ainsi, le transporteur veut que chaque véhicule repasse régulièrement par son terminal d'origine. Plus précisément, le temps entre deux passages d'un véhicule à son terminal d'origine doit être limité par un nombre de périodes, noté N. Dans le cas de planication de transport régulier, le transporteur fait sa plani-cation sur une seule période. Cette planiplani-cation est alors répétée sur une succession de périodes à l'identique, avec éventuellement des échanges de véhicules mais en aucun cas des changements de type de véhicule. Dans ces conditions, peut-on garantir que la taille des cycles naux des véhicules est bornée parN?Plutôt que de regarder le graphe des morceaux de cycle dans le réseau espace-temps on regarde ces morceaux de cycles dans le réseau physique sous-jacent (cf gure 2.9(a) et gure 2.9(b)) A C D B 1 2 3 4 5 6 T
(a) Réseau de transport espace-temps.
A
C
D B
(b) Graphe des arcs de trans-port dans le réseau physique.
Figure 2.9 Cycle dans le réseau espace-temps et dans le réseau physique. On se place dans le graphe réduit (graphe du réseau physique, gure 2.9(b)). On sup-pose que chaque composante fortement connexe de ce graphe forme un graphe eulérien. Chacune de ces composantes comporte un parcours. Le graphe est donc bien décomposable en parcours (circuits). Dans ce graphe, un circuit d'au plus N arcs correspond au cyclage d'un véhicule sur un nombre de période inférieur à N. On veut que tous les véhicules cyclent en au plus N périodes. Cela revient à demander, une décomposition du graphe en circuits, de sorte que chaque circuit soit de longueur inférieure à N. On veut donc trouver une partition A = A1 ∪A2∪ · · · ∪Ap des arcs A du graphe tel que maxi=1···p|Ai| ≤ N.
Pour s'en assurer, il sut que min A=A1∪A2∪···∪Ap partition en circuits max i=1···p|Ai| ≤N
Mais la détermination de ce nombre est-elle un problème facile ? Est-il possible de garantir cette inégalité avec des contraintes linéaires ?
De façon plus formelle, nous voulons connaître la complexité du problème suivant : Problème Décomposition en circuits :
Instance : Ggraphe orienté eulérien,N un entier.
Question : Existe-t-il une partition des arcs deG en circuits de longueur au plusN? Exemple : Dans le cas particulier où N = 4, on souhaite savoir si le graphe G est arc-décomposable en les graphes représentés gure 2.10.
Figure 2.10 Les cycles simples d'au plus 4 arcs
Dans la littérature, certains problèmes de décomposition de graphe ont déjà été étudiés dans le cas de graphes non orientés. Le problème très général de décomposition d'un graphe
Gen sous-graphes isomorphes à un grapheH donné estN P-complet, dès lors queH a plus de 3 arêtes [Dor et Tarsi, 1997]. On note ce problème, H-Décomposition. Ce résultat a été conjecturé par Holyer dans [Holyer, 1981], qui l'a d'abord démontré dans le cas particulier de la décomposition en sous-graphes isomorphes à Kn, avec nentier n≥3.
Théorème 2.2.1 (d'Holyer). Etant donné un entier n≥3, le problème de décomposition (partition des arêtes) d'un grapheG en sous-graphes isomorphes àKn est N P-complet. Corollaire. Le problème de décomposition (partition des arêtes) d'un graphe en cycles
Cn de longueurn est un problèmeN P-complet.
Le problème de décomposition en cycles resteN P-complet si le graphe est eulérien. Il faut voir si ce problème resteN P-complet dans le cas orienté.
Nous armons que la preuve du théorème d'Holyer [Holyer, 1981] peut être étendue au cas orienté. En quelques mots, la preuve du théorème d'Holyer [Holyer, 1981] est une réduction à partir de 3-SAT. Le premier graphe construit correspond à un pavage du plan par des
triangles, et on peut orienter le premier triangle dans le sens direct et orienter toutes les copies de ce triangle de la même façon. Dans un deuxième temps diérentes copies de ces graphes sont recollées entre-elles. Ces recollages respectent l'orientation donnée. On peut donc étendre trivialement la preuve du théorème d'Holyer au cas orienté.
Ainsi le problème de partition des arcs d'un graphe en circuits de longueur donnée est N P-complet. La réduction montre alors également que le problème Décomposition en circuits est N P-complet.
Dans le casn= 3, laN P-complétude du problème de décomposition des arêtes (arcs) d'un (di)graphe en cycles (circuit) de longueur3(triangles) est une conséquence du résultat plus ancien de la N P-complétude du problème de exact-cover with 3-sets [Karp, 1972].
2.2.2 De la complexité de l'équilibrage des charges entre véhicules
Supposons que toutes les liaisons de transport à opérer sont déjà choisies. Elles sont les arcs d'un graphe. Il faut alors assigner des véhicules à ces liaisons, chaque véhicules opérant un certain nombre de liaisons, pour former un chemin dans le graphe. Equilibrer la charge entre les véhicules peut se reformuler sous la forme d'un problème de graphe consistant à partitionner l'ensemble des arcs en un ensemble de chemins arcs disjoints vériant des contraintes de longueur (minimum et maximum).
Plus formellement, cela revient à décomposer un graphe en chemins de longueurs bornées entreaetb. C'est le problème suivant.
Problème (a, b)-Décomposition :
Instance : G= (V, E) graphe orienté pondéré (chaque e∈E a un poidsce),a, b∈N. Question : Existe-t-il une décomposition des arêtes de G en chemins Ci tels que ∀i, a≤
P
e∈Cice≤b?
Dans le cas général, la complexité de ce problème reste encore un problème ouvert, aussi bien dans le cas orienté que dans le ca non orienté. Certains cas particuliers ont été démontrés polynomiaux ou N P-complet dans [Teypaz et Rapine, 2008]. Ceux-ci sont précisés dans la proposition 2.2.1. La preuve et plus de références sur le sujet sont données dans le rapport de recherche [Teypaz et Rapine, 2008] et la thèse [Teypaz, 2008].
Proposition 2.2.1. Le problème (a, b)-Décomposition est un problème polynomial (de la classe P) dans les cas suivants [Teypaz et Rapine, 2008] :
a≤2 etb≥a;
a≥3 et le graphe est un arbre ou est eulérien. Ce problème est N P-complet dans les cas suivants :
a=b= 3 même dans le cas d'un graphe biparti ; a≥3 etb > a (conjecture).
Le dernier point de ce théorème n'est pas encore démontré. La complexité du problème (a, b)-Décomposition lorsque a ≥ 3 et b > a, est encore un problème ouvert. [Teypaz et Rapine, 2008] ont conjecturé que ce problème était N P-complet.
Synthèse
Dans cette première partie, nous avons étudié quelques problèmes combinatoires sous-jacents aux deux problèmes industriels.
Nous avons d'abord analysé des modèles de ot dans les réseaux de distribution. Ces modèles permettent notamment de caractériser le paradoxe de transport, et de modéliser un problème pratique de repositionnement de véhicules.
Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés à la complexité de problèmes combinatoires. Le premier problème est autour du coût xe. Même dans le cas d'un coût xe identique sur tous les arcs d'un réseau, le problème de transport est déjà un problème dicile. L'une des contributions théoriques majeures de cette thèse, a été de montrer que ce problème reste dicile, même lorsque une partie de la combinatoire sous-jacente est connue.
Les deux autres problèmes soulevés sont des problèmes de partition des arcs d'un graphe. Là encore, nous avons démontré leurN P-complétude dans la plupart des cas.
Conception de réseau de service pour
le transport de fret
Dans cette partie nous présentons le travail de recherche réalisé sur un problème de conception d'un réseau de service avec gestion de otte. Ce problème modélise un pro-blème industriel de transport de fret.
Les caractéristiques de ce problème sont détaillées dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, nous présentons diérentes formulations MIP du problème et les comparons analytique-ment et expérianalytique-mentaleanalytique-ment sur de petites instances. Finalleanalytique-ment, dans le chapitre 5, nous ébauchons un algorithme à base de génération de colonnes capable de résoudre le problème pour de plus grandes instances. Nous évaluons la qualité de cette algorithme selon dié-rentes approximations. Pour faciliter la lecture, l'ensemble des notations et paramètres du problèmes sont récapitulés dans l'annexe A.
Le chapitre 4 de cette troisième partie, qui présente une étude comparative de diérentes formulations a fait l'objet d'une publication en tant que chapitre d'ouvrage en collaboration avec Teodor Gabriel Crainic [Schrenk et al., 2010].