4.2.1
Rappel d’électromagnétisme
La théorie physique intervenant dans l’étude de la dynamo est la magnétohydrodynamique qui régit l’interaction entre un champ magnétique et le champ de vitesse d’un fluide conducteur. La partie électromagnétique est constituée des équations de Maxwell :
~
∇ · ~E = ρ/ε , ∇ · ~~ B = 0 , (4.1)
~
∇ × ~E = −∂tB ,~ ∇ × ~~ B = µ ~J + µε∂tE .~
On voit que ce système comporte 10 inconnues qui sont les 3 composantes de chacun des champs ~
E, ~B et ~J et le champ de densité ρ mais seulement 8 équations (2 scalaires et 2 vectorielles).
Pour fermer le système, on a besoin d’au moins deux équations supplémentaires, caractéristiques du milieu dans lequel évoluent les champs électromagnétiques. Le plus simple est d’utiliser la loi d’Ohm qui stipule que le courant est proportionnel au champ électrique dans le référentiel du milieu en mouvement :
~
J = σ( ~E + ~u × ~B) , (4.2)
où ~u est la vitesse du milieu conducteur et ( ~E + ~u × ~B) est le champ magnétique dans le
référentiel en mouvement. Cette loi est valable pour des champs magnétiques pas trop grands et de fréquence pas trop élevée (Pétrélis, 2002). En effet, si l’intensité du champ magnétique est trop grande, ce dernier peut modifier la trajectoire des électrons et donc cet effet devra être pris en compte dans l’expression du courant (effet Hall).
On peut aussi noter que la loi d’Ohm est valable pour un conducteur où seules les espèces chargées sont en mouvement (cas d’un solide). Dans le cas d’un plasma (un gaz porté à très haute température), les électrons ont été arrachés du noyau (qui est devenu un ion) et donc l’hypothèse précédente est vérifiée. Il existe cependant des milieux où les molécules n’ont pas été complètement ionisées et où la loi d’Ohm n’est plus valide. Nous avons étudié cet effet dans la section 8.3 et à part à cet endroit nous supposerons que le courant dans un fluide conducteur obéit à l’équation (4.2).
Si la vitesse caractéristique du milieu est très inférieure à celle de la lumière c, il est possible de simplifier les équations précédentes en faisant disparaître les ondes électromagnétiques ; en effet, si U, L et T sont des échelles typiques de vitesse, longueur et temps du système et que U ∼ L/T c alors le dernier terme du membre de droite de la troisième équation de Maxwell
peut être négligé car il est d’ordre U2/c2 par rapport aux autres. Si on combine alors les deux
dernières équations de maxwell et l’équation d’Ohm (4.2) on aboutit à l’équation d’induction qui représente l’effet du champ de vitesse sur le champ magnétique :
∂tB = ~~ ∇ × (~u × ~B) − ~∇ × (η ~∇ × ~B) , (4.3)
avec η = (σµ)−1, la diffusivité magnétique. Si cette dernière est constante, le dernier terme se
réduit à η4 ~B.
Si on suppose en sus le champ de vitesse incompressible, on peut encore simplifier l’équation d’induction pour arriver à l’expression suivante qui est analogue à l’équation de la vorticité pour
4.2. POSITION DU PROBLÈME 49
un fluide incompressible :
∂tB = ~~ B · ~∇~u − ~u · ~∇ ~B + η4 ~B . (4.4)
Pour un fluide infiniment conducteur (η = 0), le champ ~B évolue comme le déplacement entre
deux éléments fluides infiniment proches (théorème d’Alfvén) : le champ magnétique est pure- ment transporté par le champ de vitesse et étiré par ses gradients.
On peut aussi voir cette équation en termes de potentiel vecteur ~B = ~∇× ~A, soit en intégrant
l’équation pour ~B :
∂tA = ~u × ~~ ∇ × ~A + η4 ~B + ~∇F , (4.5)
où F est un champ scalaire dû à la liberté sur la condition de jauge.
4.2.2
Rappel de mécanique des fluides
La partie « fluide » est l’équation de Navier-Stokes à laquelle on doit rajouter la force de Laplace (souvent appelée force de Lorentz dans les pays anglo-saxons) qui prend en compte l’effet d’un champ magnétique sur l’écoulement du fluide :
ρ(∂t~u + ~u · ~∇~u) = −~∇p + ~J × ~B + ~F + µ4~u , (4.6)
où p est la pression au sein du fluide, ~F sont les forces par unité de volume autres que la force
de Laplace exercées sur le fluide et µ est la viscosité cinématique. Il y a plusieurs formulations équivalentes de cette équation, notamment on peut utiliser la troisième équation de Maxwell pour formuler le courant à l’aide du champ magnétique. En utilisant l’analyse vectorielle, on montre alors que les termes d’inertie et de Laplace peuvent être modifiés de façon à faire intervenir un terme de gradient que l’on peut absorber dans la pression :
∂t~u + ~ω × ~u = − 1 ρ∇(p −~ u2 2 − B2 2 ) + ~ B · ~∇ ~B ρµ0 + ~F + ν4~u , (4.7)
où ω = ~∇ × ~u est la vorticité et ν est la viscosité dynamique. En prenant le rotationnel de cette
équation, on obtient l’équation d’évolution de la vorticité : ∂t~ω + ~u · ~ω = ~ω · ~∇~u + ~∇ ×
~ B · ~∇ ~B
ρµ0
+ ~∇ × ~F + ν4~ω . (4.8)
Le premier terme du membre de droite représente l’étirement de la vorticité par les gradients de vitesse. En deux dimensions (2D), ce terme est absent, ce qui simplifie grandement l’équation de la vorticité en 2D :
∂t~ω + ~u · ~ω = − 1 ρµ0
( ~B · ~∇)∇2A + ~∇ × ~F + ν4~ω , (4.9)
où A est le potentiel vecteur du champ magnétique vérifiant ~B = ~∇ × (A~ez). Cette équation
4.2.3
Le problème de la dynamo
Les équations de base posées dans le chapitre précédent sont des équations aux dérivées partielles. Pour que le problème soit bien posé, il faut donc se donner des conditions aux limites et une condition initiale. Dans la plupart des cas, on considère un champ de vitesse incompressible borné sur un domaine V, nul à l’extérieur de celui-ci et vérifiant ~u · ~n = 0 sur le bord du domaine (~n est le vecteur unitaire normal à la frontière). Pour le champ magnétique, plusieurs prescriptions peuvent être utilisées (extérieur conducteur, isolant ou de conductivité quelconque). La plupart du temps, l’extérieur est supposé isolant : toutes les composantes du champ magnétique sont continues à la frontière et, à l’extérieur, le champ magnétique vérifie :
~
∇ × ~B = 0 et | ~B |−→ 0 quand | ~r |−→ ∞ . (4.10)
Pour la condition initiale, on posera ~B0(~x) = ~B(~x, 0). On dira alors qu’il y a effet dynamo si
(Gilbert, 2002) :
1. L’énergie magnétique est finie :
M(t) = 2µ1 0 Z V | ~B | 2 dV < ∞
2. Si ~u = ~0, M(t) → 0 quand t → ∞ pour toutes valeurs de η et de ~B0
3. Pour au moins un couple (η, ~B0), M(t) ne tend pas vers 0 quand t → ∞
D’autre part, il y a deux manières d’aborder le problème de la dynamo : on peut considérer l’équation (4.3) de façon cinématique en supposant que l’on a un champ de vitesse donné et que le champ magnétique ne rétroagit pas sur ce dernier. Le point de vue dynamique consiste, quant à lui, à étudier l’équation d’induction en parallèle avec l’équation de Navier-Stokes en incluant la force de Laplace.
Si l’on part d’une situation dans laquelle un germe de champ magnétique est amplifié par effet dynamo, on peut, dans un premier temps, considérer que l’évolution se fait de façon cinématique (sans modification du champ de vitesse) et que la force de Lorentz croît mais reste assez faible pour ne pouvoir affecter de façon sensible l’équation de Navier-Stokes. La question est de savoir quand l’influence de cette force ne peut plus être négligée. Une première intuition est de dire que ce sera le cas quand l’énergie magnétique sera arrivée à un niveau comparable à celui de l’énergie cinétique de départ, phénomène appelé équipartition de l’énergie. Nous ne discuterons pas pour l’instant la validité de ce critère et nous supposerons qu’il existe une gamme de paramètres dans laquelle la rétroaction du champ magnétique peut être négligée.