Paramètres importants

De nombreuses études ont été entreprises pour essayer de mettre en évidence les éléments favorables à l’obtention d’un effet dynamo. Même si aucune condition précise ne permet de dire, a priori, si un écoulement sera un bon ou un mauvais candidat à l’effet dynamo (sauf s’il est exclu par un théorème anti-dynamo), les études réalisées jusqu’à maintenant ont permis de mettre en évidence un certain nombre de caractéristiques importantes.

Les conditions aux limites

Le choix des conditions aux limites, évoqué au 4.2.3, semble très crucial pour le problème de la dynamo cinématique : suivant le caractère isolant ou conducteur du milieu extérieur, on peut avoir apparition d’effet dynamo ou non (Marié, 2003). Il a aussi été montré que l’ajout d’une couche de taille finie de conducteur au repos autour du domaine où la vitesse est différente de zéro a pour effet de baisser le seuil. Il a pu même être montré qu’il existait une valeur

optimale pour l’épaisseur de cette couche limite qui donnait un Rmcle plus bas possible (Kaiser

et Tilgner, 1996). Avalos-Zuniga et al. (2003) ont étudié numériquement les deux expériences de dynamo ayant fonctionné en rajoutant des couches de conductivité différentes autour de l’expérience. Dans le cas de Karlsruhe où la dynamo est stationnaire, ils ont trouvé que le seuil d’instabilité était abaissé quand la perméabilité magnétique ou la conductivité des murs augmentait. Pour le cas de Riga, où le champ magnétique est oscillant, il existe une valeur optimale pour ces paramètres afin de minimiser le seuil : il se trouve que ces valeurs sont celles du sodium liquide (fluide utilisé dans l’expérience). L’étude d’une couche extérieure de taille finie en mouvement de rotation et de translation (et non pas au repos) a été réalisée par Pétrélis (2002) sur l’écoulement de Ponomarenko.

L’hélicité cinétique

Une des quantités dont on discutera souvent par la suite est l’hélicité d’un écoulement (que l’on appellera hélicité par raccourci de langage). Elle est définie comme la valeur moyenne du produit de la vitesse et de la vorticité :

H = Z

VdV ~u · (~∇ × ~u) .

(4.24) En l’absence de champ magnétique, cette quantité est conservée par l’équation de Navier-Stokes

( ˙H = 0). Par contre, lorsqu’on prend en compte la force de Lorentz, cette conservation est brisée.

Le rôle de ce paramètre dans la création de champ magnétique a été proposé par Parker (1955) et son explication sera présentée au 5.2.2. Pour l’instant, on ne signalera que les papiers ayant montré l’importance de ce paramètre. Des simulations ont montré que les écoulements ayant une hélicité forte étaient aussi ceux dont le taux de croissance vis à vis de l’effet dynamo était le plus élevé. Par exemple, Hughes et al. (1996) ont considéré des écoulements bidimensionnels dépendant du temps (sinon la dynamo serait impossible par le théorème de Zel’dovich) :

~u(x, y, t) = (∂yΨ, −∂xΨ, w) , (4.25)

avec ∂zw = 0. En considérant plusieurs formes pour w, ils trouvent que le taux de croissance (avec un nombre d’onde optimisé) est maximum quand l’écoulement est choisi de façon à maximiser l’hélicité à énergie fixée. Ceci correspond à un écoulement vérifiant w = Ψ.

De façon similaire Kageyama et Sato (1999) ont cherché quelle était la forme d’un écoulement maximisant l’hélicité à énergie constante. En introduisant λ un multiplicateur de Lagrange associé à l’énergie, le problème de maximisation se réduit à la condition suivante :

~

∇ × ~u = λ~u , (4.26)

une condition de Beltrami sur le champ de vitesse. Un écoulement analytique ayant cette propriété est l’écoulement de Roberts (1972) dont le champ de vitesse s’écrit dans un référentiel cartésien :

~u = U (cos ky − cos kz, sin kz, sin y) . (4.27)

On vérifie facilement que ces écoulements ont la propriété de Beltrami avec λ = k. Ces auteurs ont donc étudié des écoulements de ce type perturbés de façon à rompre la condition de Beltrami et ont montré que le taux de croissance était quasiment toujours inférieur à celui du flot non

Chapitre 5

Induction dans l’écoulement de von

Kármán

L’expérience du groupe VKS (pour « von Kármán Sodium ») fonctionne, comme son nom l’indique, avec du sodium liquide. Ce métal est le choix naturel car c’est le plus conducteur mais malheureusement, celui-ci est aussi un des plus dangereux car il explose au contact de l’eau. Cela impose de travailler dans une enceinte en cuivre imperméable et empêche de réaliser des mesures optiques. Afin d’étudier l’écoulement et ces propriétés vis à vis de l’effet dynamo, des prototypes en eau ont donc été réalisés dont l’un de ceux-ci fonctionnant au CEA a été présenté dans le chapitre 2.4.2. Nous allons maintenant présenter les résultats que ce prototype en eau permet de mettre en évidence vis-à-vis de la génération de champ magnétique.

5.1

L’écoulement moyen de von Kármán

Comme signalé précédemment, les principales études réalisées au CEA ont consisté à déter- miner l’écoulement moyen de von Kármán. Celui-ci est mesuré grâce à la vélocimétrie laser par effet Doppler (voir la thèse de Louis Marié, 2003, pour les détails techniques) et la figure 5.1 montre un champ de vitesse moyen tel qu’il est mesuré dans l’eau. La figure de gauche montre

la composante azimutale (ou toroïdale) Uθ et celle de droite l’écoulement axiale Uz. Dans la

pratique, on ne détermine que ces deux composantes de l’écoulement et la troisième se déduit en utilisant la relation d’incompressibilité. Sur la figure 5.2, on a aussi tracé les profils de vitesse toroïdale et axiale en fonction de z pour différentes valeurs de r. Il faut remarquer que la vélocimétrie ne nous donne accès qu’au champ moyen et que les fluctuations de vitesse sont inaccessibles par cette méthode. Dans ce chapitre, nous ne considérerons donc que l’induction par le champ de vitesse moyen et nous reporterons l’étude de l’influence des fluctuations aux 2 chapitres suivants.