Position du problème

La méthode proposée s’applique à un sol support infini dans les directions horizontales et supposé être multicouche élastique. Chaque couche est caractérisée par son module de Young E et son coefficient de Poisson

v

_.

Figure 3.1 : Représentation d’une plaque chargée sur différente couche de sol

Le problème posé consiste à déterminer :

 Les sollicitations introduites dans la plaque

 La réaction du sol

 Le tassement du sol

3.2.1.1. Modélisation du radier par éléments finis

Le radier est assimilé à une plaque supposée homogène isotrope. Nous allons considérer cette plaque comme étant une plaque mince de faible épaisseur par rapport aux autres dimensions. Ce qui nous permet d’adapter le modèle discret de Kirchhoff.

45 | P a g e Dans le cas de ce modèle seules les déformations dues à la flexion sont prises en compte, les déformations de cisaillement sont négligées. La plaque supposée élastique linéaire et la combinaison des équations d’équilibre et des lois de comportement conduisent à l’équation de Sophie Germain Lagrange ci-dessous.

4 4 4 d’autre que la première dérivée partielle de la flèche (approximation de Kirchhoff).

Ce modèle est caractérisé par sa simplicité et sa convergence sûre et rapide.

3.2.1.2. Formulation

Le problème que nous nous proposons de traiter comporte deux paramètres : Le déplacement vertical de la plaque

La réaction du sol

L’équation de Sophie Germain-Lagrange permet de relier ces deux inconnues, ensuite une deuxième relation sera obtenue en écrivant l’égalité entre le déplacement vertical de la plaque et le tassement du sol.

L’introduction d’une discrétisation en éléments finis pour le radier permet d’assimiler d’une manière matricielle, simple le problème à résoudre.

3.2.1.3. Principe général de la méthode

La méthode proposée consiste ainsi à établir un couplage en trois approches : Une formulation en élément finis pour la plaque.

Une discrétisation adaptée au maillage pour la pression d’interaction.

L’application des formules pour le calcul des déformations du sol support.

46 | P a g e Le principe de la méthode consiste à discrétiser la plaque en éléments finis rectangulaire. Si l’on admet que la réaction du sol est uniformément répartie autour de chaque nœud, on peut exprimer les tassements aux nœuds en fonction de la réaction du sol à l’aide d’une ‘’matrice d’influence’’ dont le calcul peut être conduit sur la base des caractéristiques de chaque couche. La formulation finale du problème s’obtient ensuite en écrivant l’égalité en chaque nœud entre le tassement du sol et le déplacement vertical de la plaque.

3.2.1.4. Modélisation de la plaque

La plaque est discrétisée en élément finis à l’aide d’un maillage régulier dont le ‘’pas’’ peut varier dans les deux directions. Les éléments utilisés sont des éléments quadrilatères. Chaque élément de la plaque est caractérisé par son module de Young, son épaisseur ainsi que son coefficient de Poisson. Le chargement extérieur appliqué à la plaque est introduit à l’aide de charges réparties verticales (associées à chaque élément) et de charges ponctuelles associées à chaque nœud du maillage.

Soit ‘’n’’ le nombre total des nœuds du maillage.

A l’aide de ce maillage, l’équation d’équilibre de la plaque se traduit à l’aide d’un système linéaire :

Kd F (2) K : Matrice de rigidité globale de la plaque

F : Vecteur chargement équivalent pour la plaque

d : Inconnue statique –vecteur déplacement équivalent pour la plaque, constitué par le déplacement et les rotations en chaque nœud.

En examinant les efforts équilibrant la plaque, on peut décomposer le vecteur chargement de la plaque en deux parties :

1- Un vecteur relatif aux efforts extérieurs

F

^ext

47 | P a g e 3.2.2. Méthodologie d’établissement du modèle numérique

Pour réaliser une étude par éléments finis, il faut que les objectifs de l’étude soient biens définis.

Le cadre de l’étude, c’est-à-dire le temps et les moyens disponibles, doit être compatible avec les objectifs et la précision cherchée. Supposons toutes ces conditions remplies, l’étude proprement dite est organisée de façon logique selon les étapes suivantes.

3.2.2.1. Analyse du problème

Cette analyse doit fixer les paramètres du calcul et conduire à la réalisation du maillage.

Cette phase basée sur l’expérience personnelle acquise dépend de nombreuses considérations. La difficulté essentielle est de trouver un bon compromis entre les paramètres propres au problème et ceux relatifs à l’environnement de travail. L’analyse du problème nous conduit à préciser un certain nombre d’hypothèse, et à effectuer des choix qui conditionnent les résultats.

3.2.2.2. Choix du modèle

En calcul des structures, les plus classiques sont de type : poutre, élasticité plane, axisymétrique, coque mince ou épaisse, tridimensionnel . . . A ces modèles mathématiques correspondent des familles d’éléments finis.

3.2.2.3. Choix du type d’éléments

Il est fonction de la précision voulue, de la nature du problème, mais aussi du temps disponible.

Dans notre cas, nous avons choisi un des éléments quadrilatères mieux adaptés dans les familles disponibles.

3.2.2.4. Choix du maillage

Il dépend essentiellement de la géométrie, des sollicitations extérieures, des conditions aux limites à imposer, mais aussi des informations recherchées : locales ou globales, sans oublier bien entendu le type d’outils dont on dispose pour réaliser ce maillage.

3.2.2.5. Hypothèse de comportement

Quel modèle retenir pour représenter le comportement du matériau ? Le calcul est-il linéaire ? Doit-on modéliser l’amortissement ? Si le matériau est hétérogène ou

48 | P a g e composite, peut-on utiliser une méthode d’homogénéisation ? Peut-on traduire l’incompressibilité du milieu ?

3.2.2.6. Création et vérification des données

Cette étape dépend du logiciel utilisé. La syntaxe appliquée pour définir le jeu de donnée est présentée dans le mode d’emploi du bloc fonctionnel correspondant.

En sortie, un fichier est créé, qui contient toutes les informations nécessaires à l’exécution des calculs. Les vérifications relatives au jeu de données se font généralement graphiquement, grâce à un module informatique appelé pré-processeur.

Différents contrôles peuvent être utilisés pour valider le jeu de données : Vérification de la géométrie de la pièce et du maillage,

Vérification de la prise en compte des sollicitations et des conditions cinématiques (liaisons) imposées à la structure ;

Vérification des propriétés mécaniques utilisées.

3.2.2.7. Discrétisation géométrique

Cette opération consiste à procéder à un découpage du domaine continu en sous domaine : recouvrement ni trou entre les deux éléments ayant une frontière commune. Lorsque la frontière du domaine est complexe, une erreur de discrétisation géométrique est inévitable. Cette erreur doit être estimée, et éventuellement réduite en modifiant la forme ou en diminuant la taille des éléments concernés sur chaque élément. Aussi avons-nous choisi de définir une approximation de la fonction solution.

49 | P a g e Figure 3.2 : Exemple de discrétisation rectangulaire d’une plaque

3.2.3. Approximation nodale

La méthode des éléments finis est basée sur la construction systématique d’une approximation du champ des variables par sous domaine. Cette approximation est construite sur des valeurs approchées du champ aux nœuds de l’élément considéré et est dénommée représentation nodale de l’approximation ou plus simplement approximation nodale.

3.2.3.1. Définition de l’approximation nodale

L’approximation par élément finis est une approximation nodale par sous domaines ne faisant intervenir que les variables nodales du domaine élémentaire

e.

t la matrice ligne des fonctions d’interpolation de l’élément,

variables nodales relatives aux nœuds d’interpolation de l’élément.

3.2.3.2. Construction d’une approximation nodale linéaire

Dans ce cas, la fonction d’interpolation définissant le champ de déplacement dans l’élément sera construit à l’aide du triangle de Pascal et qui est une solution approchée de l’équation de Lagrange d’ordre 3.

50 | P a g e Figure 3.3 : triangle de Pascal

Le champ de déplacement sera approché par l’expression suivante :

3

Sous la forme matricielle nous avons :

1

51 | P a g e Où

3 3 3 3

1 ² ² ² ²

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t x y x y xy x x y xy y x y xy t

3.2.4. Matrice de rigidité élémentaire de la plaque 3.2.4.1. Choix de l’élément du radier

Pour le calcul du radier nous allons utiliser les éléments rectangulaires à 4 nœuds tels que le montre la figure ci-dessous :

Figure : 3.4 Représentation de l’élément rectangulaire à quatre nœuds Comme composantes en chaque nœud de l’élément on a :

Le déplacement vertical

w

La rotation _x

La rotation _y

52 | P a g e Nous pouvons donc écrire le vecteur déplacement en un nœud i sous la forme suivante : composantes des déplacements nodaux de l’élément :

d_e d d d d1, 2, 3, 4 (8)

De façon analogue nous pouvons calculer les rotations nodales par rapport à l’axe y par :

_{y i} wⁱ (10) x

Pour déterminer les paramètres inconnus _i nous allons substituer dans l’équation (7) les coordonnées des points nodaux x_i et y_i, (9) et (10).

Donc nous pouvons écrire :

53 | P a g e

La forme explicite de la matrice G appelée matrice nodale est :

2 2 3 2 2 3 3 3

54 | P a g e Si nous considérons comme origine des coordonnées le nœud 1, la matrice nodale G devient :

55 | P a g e 3.2.4.2. Fonctions d’interpolation

L’approximation de l’équation de Sophie Germain-Lagrange peut se mettre sous la forme suivante :

( , ) ^{t t} 1 _e ^t _e (13)

w x y G d N d

Ainsi la matrice des fonctions d’interpolation encore appelées fonctions de forme peut être exprimée sous la forme :

1

2 1

3 4

(14)

t t

N

N N G

N N

Les composantes n_i de la matrice des fonctions de forme se présentent comme suit :

56 | P a g e

3.2.5. Matrice de rigidité élémentaire de la plaque

Les variations de courbure et de torsion d’une plaque peuvent s’exprimer par les relations ci-après :

57 | P a g e

étant le gauchissement de la plaque

Désignons η=

58 | P a g e

En reportant (12) dans l’expression (18), on obtient :

1 _{e e} (20)

RG d Hd

Où

H RG

1

H : est la matrice des déformations

La matrice de rigidité élémentaire K_esera donnée par la formule suivante :

e

D : représente la matrice des constantes élastiques

Notons que dans le cas des plaques orthotropes, D a comme expression :

1

Pour le cas spécifique d’une plaque élastique isotrope

3

59 | P a g e En reportant les expressions (19) et (23) dans (21) et en intégrant le produit R DR^t

sur la surface de l’élément rectangulaire nous obtenons la matrice de rigidité élémentaireK_e.

b chaque terme de cette matrice est donné par les expressions ci-après :

60 | P a g e

Le vecteur des forces extérieures aux nœuds de l’élément est donné par l’expression suivante :

61 | P a g e CHAPITRE 4 : DIMENSIONNEMENT DU RADIER

Ce chapitre va nous permettre de simuler et de dimensionner le radier. La simulation qui nous donnera la cartographie des contraintes, des déplacements et des déformations sera réalisée avec le logiciel d’éléments finis ANSYS 14.5 et le dimensionnement avec le logiciel d’éléments finis CYPE 2015.

SECTION 1 : DESCRIPTION DU BATIMENT ET METHODOLOGIE 4.1. Description et modèle géométrique de la structure étudiée

Le bâtiment objet de la présente étude, situé dans l’enceinte du ministère des Finances, est de type R+5. L’ouvrage est à l’usage de bureaux. La structure adoptée est de type ossaturée dont les éléments porteurs horizontaux sont des nervures et des poutres de diverses sections ; et les éléments porteurs verticaux sont des poteaux de sections variées telles que : 60x60, 55x55, 50x50, 45x45, 40x50, 40x40.

Figure 4.1 : Représentation graphique de la structure à étudier sur cype.

4.1.1. Combinaison de charge de la superstructure

La modélisation de la structure sur le logiciel cype va nous permettre de dimensionner chaque élément de la structure ossaturée mais aussi de faire une descente de charge et connaitre les valeurs des charges nodales et linéaires en tête de la fondation.

62 | P a g e

 Actions prises en compte

-Charges permanentes = poids propre des ouvrages (G) ; -Charges variables = charges d’exploitation (Q) ;

 Charges permanentes

-Béton armé………..25 KN/m³ -Béton non armé……….23 KN/m³ -Mortier………..………..18 KN/m³ -Agglos de 15 cm pleins………..18 KN/m³ -Agglos de 15 cm creux………14 KN/m³ -Carreaux………0,3 KN/m² -Etanchéité multicouche……….0,3 KN/m²

 Charges d’exploitation

-Plancher courant ……….3,5 KN/m² -Plancher inaccessible……… 1,5 KN/m²

4.1.2. Plan de fondation de la structure

Le plan de fondation de la structure du siège des archives du Ministère de l’Economie et des Finances est constitué du radier général réalisé sur toute la surface de l’emprise du bâtiment.

La réalisation du radier général sur cette surface est due au fait que la portance du sol est faible (Voir plan d’implantation du radier général en annexe 5), le calcul de la descente de charges a révélé d’importantes charges en tête de fondations (aux pieds des poteaux) et le calcul de fondations de type semelles isolées a abouti à des semelles de grandes dimensions, se chevauchant les unes les autres, de telle sorte que la surface totale des semelles isolées calculées dépasse la moitié de l’emprise du bâtiment au sol. Ainsi le choix a été porté sur la réalisation du radier nervuré. Là encore

63 | P a g e radier mais aussi de réduire les sections d’armatures.

4.2. La capacité portante du sol de fondation

La capacité portante du sol _sol 1 bar à 2 m de profondeur.

Cette valeur est tirée du tableau des contraintes admissibles indicatives donné par les études géotechniques réalisées par le Laboratoire d’Essais et de Recherches en Génie Civil (LERGC) courant Février 2015.

4.3 Modèle du radier étudié

Pour l’étude du radier, il est nécessaire d’effectuer une modélisation graphique. Cette modélisation dans le logiciel ANSYS consiste à prédimensionner, c’est-à-dire donner au radier les trois dimensions qui lui confèrent sa forme. Les dimensions du radier sont :

la longueur L = 59,6m, la largeur l = 30m et l’épaisseur h = 0,80m.

4.3.1. Définition du radier et introduction des caractéristiques du sol dans le logiciel

La définition consiste à intégrer les dimensions du radier dans le logiciel. Après avoir entré et appliqué les dimensions du radier avec les axes des poteaux, le dessin de la surface du radier en deux dimensions s’affiche comme ci-dessous à titre

d’exemple.

64 | P a g e Figure 4.2 : Représentation des deux grandes dimensions du radier

Une fois que la longueur et la largeur du radier sont définies ainsi que sa forme, nous faisons une extrusion en choisissant l’épaisseur (profondeur) du radier comme indiqué à la figure suivante :

Figure 4.3 : Choix de l’épaisseur de radier

La génération de cette extrusion permet d’obtenir le radier-dalle. Nous avons de même inséré les points d’appuis des poteaux sur le radier pour ainsi y appliquer les charges nodales et linéaires.

65 | P a g e Figure 4.4 : Représentation du radier

Le radier est supporté par le sol, celui-ci étant élastique, nous allons donc entrer l’élasticité du sol. Il suffit de choisir le « support élastique » et, dans les détails, de sélectionner la géométrie (face en contact avec le sol) et de mettre la valeur de l’élasticité du sol dans la case réservé pour « raideur de la fondation ».

66 | P a g e Figure 4.5 : Coefficient d’élasticité du sol

4.3.2 Chargement du radier

Le chargement de la plaque consiste à appliquer les différentes charges ponctuelles et linéaires venant de la superstructure respectivement aux nœuds et sur le linéaire du radier.

4.3.3. Charges nodales

Pour les charges ponctuelles, nous choisissons l’élément force, nous sélectionnons les points d’appuis des poteaux et nous appliquons les charges aux pieds de poteaux obtenues par la descente des charges réalisée dans CYPECAD. Les points d’application sont marqués rouges. La flèche indique la direction et le sens des charges ponctuelles. Celles-ci sont désignées par « force » dans le logiciel ANSYS.

67 | P a g e Figure 4.6 : Application des charges ponctuelles

4.3.4. Charge linéaire

Les charges du voile des cages d’ascenseurs seront représentées en charges linéaires uniformes. Ce type de chargement est effectué sur tout le linéaire de la portion considérée pour sa définition.

Ainsi nous entrons la valeur de la charge linéaire et nous l’appliquons sur les lignes représentant l’ancrage des cages d’ascenseurs sur le radier.

Dans ANSYS, la charge linéaire est désignée par « pression de ligne »

Figure 4.7 : Application des charges linéaires

68 | P a g e 4.3.5. Charge surfacique

La surface du radier a été remblayée jusqu’à la cote +0.60 m avec du sable de poids volumique 18.5 kN/m³ ; ce qui fait une hauteur de 1.80 m. Une charge surfacique permanente a donc été évaluée par l’opération :

18.5 x 1.8 33.3 kN m /

2

Dans ANSYS, une charge surfacique est désignée par « pression »

Figure 4.8 : Application de charge surfacique

4.3.6. Représentation des charges sur le radier

ANSYS affiche une représentation graphique de la structure statique en montrant les charges et les conditions aux limites (support ou appuis) qu’il référencie automatiquement par des lettres (A, B, C, ….) comme indiqué ci-dessous.

69 | P a g e Figure 4.9 : Définition du support et application des différentes charges

Ces différentes charges vont générer dans la plaque des états de contrainte, de déplacement et de déformation dans le radier qui seront étudiés par la méthode des éléments finis.

4.4. Discrétisation du radier dans ANSYS 4.4.1. Choix de l’élément

Dans le cas de notre étude, l’élément choisi est rectangulaire (ou quadrangulaire). Cet élément sera utilisé pour effectuer le maillage sur tout le volume de notre radier à étudier.

Pour la réalisation du maillage nous avons imposé au logiciel d’utiliser un élément quadrangulaire dont la taille est de 80 cm (0.80 m)

70 | P a g e

Figure 4.10 : Tableaux des options de maillage

Dans ces tableaux trois options de paramétrage de génération du maillage sont nécessaires.

 Le corps que l’on veut discrétiser qui est choisi dans l’option

« géométrie ».

 L’élément de maillage, dans notre cas rectangle ou quadrangle ou quadrilatère qui est choisi dans l’option « type de maillage de face libre ».

 La taille des éléments. Dans notre cas, 80 cm

4.4.2. Maillage du radier

La discrétisation du radier consiste à faire un découpement de notre radier en de petits éléments. Ainsi une fois que les paramètres précédemment cités sont mis à jour, nous avons la discrétisation du radier qui s’opère comme au schéma ci-dessous.

71 | P a g e Figure 4.11 : Représentation du maillage du radier

72 | P a g e SECTION 2 : ANALYSE DES RESULTATS

4.5 Analyse des résultats

Après avoir défini la géométrie du radier, appliqué les charges et discrétisé le domaine, nous procédons à la résolution en cliquant sur le

bouton et le logiciel procède au calcul et fournit les différentes cartographies.

4.5.1. Cartographie de l’état des contraintes

La cartographie des contraintes permet d’obtenir une répartition surfacique des valeurs des contraintes par zone. Chaque couleur sur le radier représente une valeur de la contrainte indiquée dans la légende à gauche.

Ainsi pour les charges appliquées sur le radier nous observons une variation de contrainte de :

 -0.324MPa à 0.338MPa pour les contraintes par rapport à l’axe XX

 -0.426MPa à 0.443MPa pour les contraintes par rapport à l’axe YY

 -0.131MPa à 0.136MPa pour les contraintes par rapport au plan XY

La figure en dessous illustre respectivement cette répartition des valeurs des contraintes par zone.

Figure 4.12 : Cartographie de l’état de contrainte par rapport à l’axe XX

73 | P a g e Figure 4.13 : Cartographie de l’état de contrainte par rapport à l’axe YY

Figure 4.14 : Cartographie de l’état de contrainte par rapport au plan XY

4.5.2. Réaction du sol

La réaction du sol est une réponse en termes de son effort pour supporter l’action qui lui est appliquée. Lorsqu’en tout point de la surface chargée, la réaction est positive, alors le sol est résistant et il n’y a donc pas de rupture. Dans ANSYS, il s’agit de la « force de réaction » du sol support élastique.

74 | P a g e Figure 4.15 : Réaction du sol

Comme le montre la figure 4.15, cette réaction est normale à la plaque et ses composantes horizontales sont nulles. La figure suivante montre les détails sur la force de réaction :

Figure 4.16 : Détails de ‘’Force de réaction’’

4.5.3. L’état de déplacement vertical de la plaque

Le déplacement vertical permet de connaitre la flèche maximale dans la plaque et de la comparer à la flèche admissible des matériaux. Pour notre étude le maximum pour le déplacement vertical est d’une valeur de 0.000736 m.

75 | P a g e Figure 4.17 : Cartographie du déplacement de la plaque

Sur cette figure 4.17 on observe le comportement du déplacement vertical du radier pour un maximum en valeur absolue de 0.000736 m et d’un minimum en valeur absolue de 0.0000327 m.

Le déplacement est en tout point négatif, donc il n’y a pas eu de soulèvement.

4.6 Ferraillage du radier 4.6.1. Armatures de renfort

Le dimensionnement du radier ici consiste à déterminer la section d’acier dans le radier.

Pour reprendre les efforts de traction dans le radier nous avons, par le logiciel CYPE, dimensionné le radier. Ainsi nous pouvons voir la répartition des sections d’acier dans les directions X et Y des nappes inférieures et supérieures. Chaque couleur représente respectivement un diamètre d’acier haute adhérence (HA) comme l’indique la figure :

76 | P a g e Figure 4.18 : Vues des armatures

Figure 4.19 : Ferraillage direction x de la nappe inférieure.

77 | P a g e Lorsque nous effectuons un zoom dans le coin inférieur droit de la figure précédente, nous pouvons voir clairement la nomenclature d’armatures dans cette zone.

Figure 4.20 : Détails de la figure 4.19

Figure 4.21 : Ferraillage direction y de la nappe inférieure.

78 | P a g e Figure 4.22 : Ferraillage direction x de la nappe supérieure.

Figure 4.23 : Ferraillage direction y de la nappe supérieure.

Dans le document MODELISATION NUMERIQUE D’UN RADIER PAR ELEMENTS FINIS : (Page 55-0)