4.4 D´ etection automatique des clich´ es probl´ ematiques
4.4.1 Position des donn´ ees
Pour l’ajustement d’un gradient de d´eplacement, la position des taches d´edoubl´ees sur le clich´e est essentielle puisqu’elle agit sur :
– la stabilit´e des param`etres ajust´es,
– et l’influence individuelle de chaque tache sur l’ajustement.
Cela risque de donner des r´esultats aberrants. Avant chaque ajustement, la qualit´e des donn´ees d’entr´ee est test´ee afin d’´eviter ces risques. Deux tests sont d´evelopp´es en se basant sur :
– le conditionnement, – et la matrice chapeau.
Conditionnement Dans l’ajustement des param`etres d’une droite : si l’ensemble des points sont lo- calis´es dans une r´egion restreinte de l’espace, l’ajustement sera tr`es sensible `a ces donn´ees, et une petite variation de leurs valeurs induira une grande variation du r´esultat (figure 4.17). Ce cas peut ˆetre pr´evu par un crit`ere math´ematique, le conditionnement.
Figure 4.17 – Illustration d’ajustement d’une droite sur un ensemble de points mal conditionn´e.
Cet effet est mesurable `a l’aide d’un crit`ere de conditionnement κ d´efini comme suit [Cia06] : dans la r´esolution de syst`emes lin´eaires Ax = b, la sensibilit´e de la solution x par rapport `a la variation des donn´ees d’entr´ee A et b est mesur´ee par le conditionnement κ de la matrice A. Ce crit`ere traduit l’am- plification des erreurs de la solution par rapport aux erreurs sur les donn´ees d’entr´ee. Le conditionnement
d’une matrice normale se calcule par le rapport des valeurs propres maximale λmax et minimale λmin :
κ(A) = λmax λmin
≥ 1. (4.18)
Plus la valeur de κ augmente, plus le probl`eme sera mal conditionn´e. Le calcul de ce crit`ere (4.18) suppose la r´esolution d’un probl`eme de valeurs propres, coˆuteux en op´erations informatiques. Il est ´egalement possible de l’estimer par l’algorithme de Cholesky, qui sert `a inverser le syst`eme des moindres carr´es (4.15). C’est cette solution que nous avons adopt´ee, en utilisant la librairie math´ematique SLATEC [DMBS79].
Pour ajuster un gradient de d´eplacement, le syst`eme de moindres carr´es (4.15) est r´esolu de mani`ere it´erative. Sa matrice M (4.16) est construite `a partir des positions des couples de taches et des d´eriv´es du mod`eles f (4.17) par rapport au gradient de d´eplacement ∇ξ. Son conditionnement κ(M) d´epend de la r´epartition des satellites d´etect´es sur le clich´e Laue.
Dans l’exemple de la figure 4.18, les satellites d´etect´es se situent dans la zone d´elimit´ee par le contour bleu. Cette r´epartition conduit `a un probl`eme bien conditionn´e o`u κ(M) = 500. Pour simuler un probl`eme mal conditionn´e, comme il peut arriver sur ce genre de clich´es, nous avons retir´e les satellites du bas, pour ne conserver que ceux contenus dans la zone de contour vert. Le conditionnement s’´el`eve alors `a 1.4×104, traduisant un probl`eme moins bien conditionn´e. Un seul satellite ajout´e `a cet ensemble suffit pour am´eliorer le conditionnement, s’il se situe loin des autres. L’ajout du point indiqu´e par le contour rouge diminue la valeur du conditionnement jusqu’`a 2.5×103.
Dans la proc´edure adopt´ee (figure 4.5), nous v´erifions le conditionnement avant chaque ajustement du gradient. Une valeur de
κ > 104 (4.19)
indique une mauvaise distribution des taches sur le clich´e. L’ajustement ne sera donc pas r´ealis´e et le clich´e sera ´elimin´e de la s´erie d’images.
Points influents Nous venons de voir que l’ajout d’un point loin de l’ensemble de points qui forment un probl`eme mal conditionn´e am´eliore le conditionnement. Mais ce point sera tr`es influent sur l’ajustement des param`etres d’un mod`ele. Dans l’exemple de la figure 4.19, le point isol´e poss`ede sur l’ajustement de la droite une influence presque aussi importante que le reste des points.
Avec la m´ethode des moindres carr´es, l’influence de chaque point exp´erimental entrant dans l’ajuste- ment des param`etres d’un mod`ele peut ˆetre mesur´ee `a partir d’une matrice chapeau H, d´efinie comme suit :
H = ∇f.M−1.∇fT o`u 0 ≤ Hii≤ 1.
C’est une matrice carr´ee de dimension ´egale au nombre de donn´ees exp´erimentales et o`u la somme des ´
el´ements diagonaux est ´egale au nombre de param`etres `a ajuster. La valeur de Hii repr´esente l’influence
du i`eme point exp´erimental [Pri04] : plus la valeur est proche de 1 plus l’influence du point correspondant
augmente.
Le gradient est ajust´e sur les positions des taches repr´esent´ees par leurs coordonn´ees x et y sur la cam´era. Le r´esidu (3.18) est donc de taille 2, et la dimension de la matrice chapeau est 2A × 2A, o`u A
Taches principales Satellites détectés
Problème bien
conditionné Point influent
Problème bien conditionné Problème mal
conditionné
Figure 4.18 – Pour illustrer le conditionnement lors de l’ajustement d’un gradient de d´eplacement sur un clich´e Laue, trois r´egions sont d´efinies. Les r´egions bleue et verte conduisent respectivement `a un bon et mauvais conditionnement du probl`eme. Le dernier conditionnement s’am´eliore en ajoutant le point indiqu´e par le contour rouge.
repr´esente le nombre de couple de taches participant `a la minimisation. Elle s’´ecrit sous la forme suivante : H = H11xx H11xy · · · H11xy H11yy .. . . .. Hiixx Hiiyy . .. HAAxx HAAyy , o`u : – P Hxx ii + H yy
ii = 8 pour les 8 composantes du gradient de d´eplacement ajust´ees.
– Les valeurs de Hiixx et Hiiyy repr´esentent l’influence de l’abscisse et de l’ordonn´ee de la i`eme tache. Dans l’exemple de la figure 4.18, ajoutons la tache double indiqu´ee par le contour rouge `a l’ensemble des taches contenues dans le contour vert, et construisons la matrice de moindres carr´es M et la matrice chapeau H :
– κ(M) diminue et le probl`eme sera bien conditionn´e,
– le point ajout´e est un point influent dans la direction y (Hiiyy = 0.94) puisqu’il est isol´e dans cette direction de l’ensemble des points. La position de son satellite va guider l’ajustement du gradient : ◦ si l’estimation du satellite co¨ıncide avec le vrai satellite, l’ajustement du gradient sera r´eussi, ◦ si une tache parasite est d´etect´ee `a la place du satellite, l’estimation du gradient sera erron´ee. Apr`es une analyse sur plusieurs s´eries d’images, nous consid´erons un point comme influent si
Hiixx+ Hiiyy> 1.6. (4.20)
Il est trait´e de deux mani`eres selon l’application :
– Pour une ´etude statistique globale (cartographie large), un clich´e contenant un point influent sera ´elimin´e de l’´etude. Cela ne gˆene pas les statistiques grˆace au grand nombre de clich´es qui couvre toutes les orientations d’une mani`ere homog`ene.
– Pour une cartographie du gradient `a l’int´erieur du grain, et pour plusieurs grains adjacents (car- tographie serr´ee), les clich´es contenant un point influent ne seront pas syst´ematiquement ´elimin´es, pour ´eviter d’avoir des vides dans la cartographie. Ils seront examin´es afin de v´erifier la bonne estimation du satellite influent.