Polynômes modulaires avec les fonctions thêta

5.3.2 Polynômes modulaires avec les fonctions thêta

Dans cette section, nous allons introduire des polynômes modulaires pour tout entier D sans facteur carré en utilisant les thêta constantes. Les invariants que nous utiliserons sont les tirés en arrière des générateurs pour le groupe Γ₂(2, 4) définis dans la section 3.13 : ˜b_i = φ^∗b_i pour i = 1, 2, 3, qui sont des fonctions modulaires pour le groupe ˜Γ(2, 4) qui est défini dans l’équation (5.7). Rappelons que nous avons le théorème 5.2.8. Nous notons dans cette section ˜Γ = SL₂(O_K ⊕ ∂_K⁻¹) et nous ne considérons que des nombres premiers ` = ββ différents de 2.

Pour i = 1, 2, 3, β ∈ O_K⁺ et γ ∈ ˜Γ ∪ ˜Γσ, on pose : ˜ b_i,β : H2 1 −→ C z 7−→ ˜b_i(_β¹z) ^et ˜ b^γ_i,β : H2 1 −→ C z 7−→ ˜b_i(_β¹γ · z).

Lemme 5.3.11. Le sous-groupe ˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β) de ˜Γ(2, 4) est d’indice ` + 1.

Démonstration. Soit γ ∈ ˜Γ/˜Γ⁰(β). Il suffit de prouver qu’il existe un élément

γ⁰∈ ˜Γ⁰(β) tel que γ⁰γ ∈ ˜Γ(2, 4).

Regardons γ⁰ tel que γ⁰γ ≡ 0 mod 4, c’est-à-dire tel que γ⁰ ≡ γ⁻¹ mod 4, et tel que γ⁰ ≡ (∗ 0

∗ ∗) mod `. Par le théorème des restes Chinois, ces conditions modulo 4 et ` donnent une matrice γ⁰⁰ qui doit satisfaire des conditions modulo 4` et par le lemme 5.3.7, γ⁰⁰ peut être relevé en une matrice dans ˜Γ.

Pour une matrice γ ∈ ˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β), on aimerait pouvoir écrire ˜ b^γ_i,β(z) = ˜b_i 1 β^{γ · z}  = ˜b_i  γ_β· 1 β^z  = ˜b_i 1 β^z  = ˜b_i,β(z)

pour pouvoir conclure que les fonctions ˜b_i,βpour i = 1, 2, 3 sont modulaires pour le groupe ˜Γ(2, 4)∩ ˜Γ⁰(β). Cependant, la troisième égalité n’est vraie que si la matrice

γ_β est dans ˜Γ(2, 4). Un simple calcul montre que c’est toujours le cas lorsque

D ≡ 1 mod 4. Lorsque D ≡ 2, 3 mod 4, ceci n’arrive que si β est de la forme a + bω avec b pair. Si D ≡ 2 mod 4, c’est équivalent à demander que ` ≡ 1 mod 4

et sinon si D ≡ 3 mod 4, ` doit nécessairement vérifier ` ≡ 1 mod 4. En particulier, dans ce dernier cas, 0, 1 ou 2 polynômes modulaires avec une structure sur ˜Γ(2, 4) peuvent exister pour un nombre premier qui se décompose en facteurs totalement positifs donné, en fonction de l’unité fondamentale . Ainsi :

Proposition 5.3.12. Les fonctions ˜b_i,β pour i = 1, 2, 3 sont des fonctions modu-laires pour ˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β) lorsque

— D ≡ 1 mod 4 ;

— D ≡ 2 mod 4 et β = a + bω avec b pair, ou, de manière équivalente, ` ≡ 1 mod 4 ;

— D ≡ 3 mod 4 et β = a + bω avec b pair ; ceci implique que ` ≡ 1 mod 4.

Proposition 5.3.13. Soit ` un nombre premier. Écrivons ` = ββ avec β ∈ O_K⁺

D ≡ 1 mod 4, alors les polynômes Φ_β(X, ˜b1, ˜b2, ˜b₃) = ^Y γ∈C_β (X−˜b^γ_1,β) et Ψ_k,β(X, ˜b₁, ˜b2, ˜b₃) = ^X γ∈C_β ˜ b^γ_k,β^{Φβ(X, ˜b}1, ˜b₂, ˜b₃) X − ˜b^γ_1,β

pour k = 1, 2 sont dans Q(˜b1, ˜b2, ˜b₃)[X]. Si D ≡ 2, 3 mod 4 et β = a + bω avec b

pair, alors Φ_β(X, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) = ^Y γ∈Cβ (X − ˜b^γ_1,β)(X − ˜b^γσ_1,β), et Ψ_k,β(X, ˜b1, ˜b₂, ˜b₃) = ^X γ∈C_β ˜ b^γ_k,β^{Φβ(X, ˜b}1, ˜b2, ˜b₃) X − ˜b^γ_1,β ⁺ X γ∈C_β ˜ b^γσ_k,β^{Φβ(X, ˜b}1, ˜b2, ˜b₃) X − ˜b^γσ_1,β

pour k = 1, 2 sont dans Q(˜b1, ˜b2, ˜b₃)[X].

Démonstration. La preuve est comme celle de la proposition 5.3.3. La différence

entre les cas D ≡ 1 mod 4 et D ≡ 2, 3 mod 4 réside dans les équations (5.2) et (5.3) : dans le premier cas, par la proposition 5.2.6, l’application H²₁/˜Γ(2, 4) → H₂/Γ₂ est injective tandis que dans le second, c’est l’application H²₁/(˜Γ(2, 4) ∪ ˜

Γ(2, 4)σ) → H₂/Γ2 qui l’est. Les coefficients des séries de Fourier des ˜b_i sont dans Q parce que c’est le cas des séries de Fourier des thêta constantes de Hilbert (voir [54]).

Définition 5.3.14. Les polynômes Φ_β(X, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) et Ψ_k,β(X, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) pour

k = 2, 3 définis dans la proposition 5.3.13 sont appelés les β-polynômes modulaires pour K.

Notons qu’il existe trois polynômes pour que à ˜b₁, ˜b₂ et ˜b₃ donnés, on puisse obtenir les valeurs ˜b^γ_1,β, ˜b^γ_2,β et ˜b^γ_3,β pour tout γ ∈ C_β, alors que nous n’avions que deux polynômes avec les invariants de Gundlach. Néanmoins :

Remarque 5.3.15. Lorsque D = 2, l’équation (5.8) dit que l’on doit considérer

seulement ˜b₂ et ˜b₃ car ˜b₁ est déterminé par ˜b₂ et ˜b₃.

Contrairement aux polynômes modulaires avec les invariants de Gundlach, les polynômes définis avec les ˜b_i dépendent du choix de β. Notons tout de même que lorsque deux paires (β, β) et (β⁰, β⁰) d’éléments totalement positifs dont le produit vaut ` et qui diffèrent d’un facteur pair de , où  est une unité fondamentale qui peut être de norme −1 ou 1, alors β⁰ = 2nβ = ^_{0 }ⁿ −n⁰



β. Ainsi pour tout z ∈ H₁², si on calcule ˜b_i,β(z), pour i = 1, 2, 3, à partir des ˜b_i(z) et des β-polynômes modulaires, alors on a que ˜b_i,β0(z) = ˜b_i^⁻ⁿ 0

0 n  1 βz^ et en sachant comment la matrice^⁻ⁿ 0 0 n 

agit sur les ˜b_i,β, on peut calculer les ˜b_i,β0 à partir des ˜b_i,β. Dans ce cas-là, il est inutile de calculer les β⁰-polynômes modulaires.

Exemple 5.3.16. Lorsque D = 2, 5 ou 13, l’unité fondamentale a norme −1.

— Si D = 2, on a que (˜b_1,2, ˜b_2,2, ˜b_3,2) = (˜b1, ˜b3, ˜b₂) ;

— Si D = 5, on a que (˜b_1,2, ˜b_2,2, ˜b_3,2) = (˜b3, ˜b1, ˜b₂) ;

— Si D = 13, on a que (˜b_1,2, ˜b_2,2, ˜b_3,2) = (˜b2, ˜b3, ˜b₁).

Lorsque la norme de  est 1, alors si ` = ββ, on a aussi que ` = β⁰β0, où β⁰ = β. La multiplication par  ne provient pas de l’action d’une matrice et l’argument précédent ne tient pas.

5.3. POLYNÔMES MODULAIRES ET MULTIPLICATION RÉELLE 157 Exemple 5.3.17. Lorsque D = 55, l’unité fondamentale  = 89 + 12^√55 a norme 1 et pour ` = 5, on peut choisir β = 15 + 2√

55 et β⁰ = β = 2655 + 358√ 55.

Comme 2 et 358 sont pairs, on peut définir deux triplets de polynômes modulaires “non équivalents” (par les propositions 5.3.12 et 5.3.13) .

Théorème 5.3.18. Si ˜b_i,β est une fonction modulaire pour ˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β), alors

le corps des fonctions modulaires de Hilbert invariantes par ˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β) est C_Γ˜0(β)= C(˜bi,β, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) pour i = 1, 2, 3. Ainsi, Φ_β(X, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) est le polynôme

minimal de ˜b_1,β sur C(˜b1, ˜b₂, ˜b₃).

Démonstration. La preuve est similaire à celle du théorème 5.3.8.

Comme Φ_β est un polynôme minimal, c’est l’unique polynôme unitaire et irréductible qui vérifie, pour tout z ∈ H²₁, Φ_β(˜b_1,β(z), ˜b₁(z), ˜b₂(z), ˜b₃(z)) = 0. Regardons ce qu’il se passe sur σ(z). La matrice M de l’équation (5.2) agit comme suit : (b^M₁ , bM

2 , bM

3 ) = (b₁, b₂, b₃) si D ≡ 2, 3 mod 4 et (b^M₁ , bM

2 , bM

3 ) =

(b3, b2, b1) si D ≡ 1 mod 4. Ainsi (˜b^σ₁, ˜b^σ₂, ˜b^σ₃) = (˜b1, ˜b2, ˜b₃) si D ≡ 2, 3 mod 4 et (˜b^σ₁, ˜b^σ₂, ˜b₃^σ) = (˜b₃, ˜b₂, ˜b₁) si D ≡ 1 mod 4. Le polynôme irréductible et unitaire Φ_β(˜bσ

1,β, ˜bσ

1, ˜bσ

2, ˜bσ

3) a les mêmes racines que Φ_β(˜b_1,β, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) et donc, par uni-cité, ces polynômes doivent être égaux. Ainsi par exemple, si D ≡ 1 mod 4 (l’autre cas étant similaire), Φ_β(˜b_3,β, ˜b₃, ˜b₂, ˜b₁) = Φ_β(˜b_1,β, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃) et il est possible d’ob-tenir la valeur ˜b_3,β(z) pour tout z ∈ H²₁ en utilisant le β-polynôme modulaire. On a alors que, toujours en agissant par σ,

˜

b_2,β(z) = Ψ_2,β(˜b_3,β(z), ˜b₃(z), ˜b₂(z), ˜b₁(z))/Φ⁰_β(˜b_3,β(z), ˜b₃(z), ˜b₂(z), ˜b₁(z)) et ˜

b_1,β(z) = Ψ_3,β(˜b_3,β(z), ˜b₃(z), ˜b₂(z), ˜b₁(z))/Φ⁰_β(˜b_3,β(z), ˜b₃(z), ˜b₂(z), ˜b₁(z)). On conclut qu’une fois que l’on possède les β-polynômes modulaires, il est inutile de calculer les β-polynômes modulaires.

On peut procéder de la même manière avec des matrices de γ ∈ ˜Γ/˜Γ(2, 4) qui ont des propriétés spéciales, comme dans le cas des p-polynômes modulaires (voir section 4.4). Si γ permute les ˜b_i et les ˜b_i,β, ceci implique qu’il existe des symé-tries dans les polynômes modulaires. En particulier, si γ satisfait (˜b^γ₁, ˜b^γ₂, ˜b^γ₃) = (˜b₁, ˜b₃, ˜b₂) et (˜b^γ_1,β, ˜b^γ_2,β, ˜b^γ_3,β) = (˜b_1,β, ˜b_3,β, ˜b_2,β), ceci signifie que

Φ_β(X, ˜b1, ˜b2, ˜b₃) = Φ_β(X, ˜b1, ˜b₃, ˜b₂) et par conséquent que

Ψ_2,β(X, ˜b₁, ˜b₃, ˜b₂) = Ψ_3,β(X, ˜b₁, ˜b₂, ˜b₃)

de telle sorte que l’on n’a besoin de calculer que les deux premiers β-polynômes modulaires, car le troisième peut être déduit du deuxième. Ceci arrive par exemple pour D = 6, ` = 73, β = 13 − 4√ 6 et pour D = 10, ` = 41, β = 9 − 2√ 10. De plus, si γ satisfait ˜b^γ_i = ı^αi˜_b i et ˜b^γ_i,β = ı^βi˜_b i,β, pour i = 1, 2, 3 et α_i, βi ∈ {0, 1, 2, 3}, alors les puissances des ˜b_i dans chacun des coefficients des polynômes modulaires vérifient des relations modulo 4. Comme l’on calcule ces polynômes par évaluation/interpolation (voir section 5.4), ceci peut être utilisé pour faire décroître le nombre d’évaluations.

L’existence de ces matrices dépendent de D et de β. Elles peuvent être re-cherchées dans une phase de précalcul. Nous donnerons des exemples de relations dans la section 5.5 (voir équation (5.12)).

Soit L_β le lieu des surfaces abéliennes principalement polarisées z modulo ˜

Γ(2, 4) ayant multiplication réelle par O_K pour lesquelles z, ou σ(z) dans le cas

D ≡ 2, 3 mod 4, est β-isogène à z⁰tel que φ(z⁰) est isogène à un produit de courbes elliptiques par la 2-isogénie φ(z⁰) → φ(z⁰)/2 et telle que θ₀(φ(z⁰)/2) = 0.

Théorème 5.3.19. Les dénominateurs des polynômes modulaires Φ_β et Ψ_k,β sont divisibles par un polynôme L_β dans Q[˜b1, ˜b2, ˜b₃] décrivant L_β.

Démonstration. Soit z ∈ L_β et soit c un coefficient de Φ_β. Alors il existe un

γ ∈ ˜Γ(2, 4)/(˜Γ(2, 4) ∩ ˜Γ⁰(β)) tel que ˜b^γ_1,β, ou ˜b^γσ_1,β si D ≡ 2, 3 mod 4, est infini. En effet, rappelons nous que b_i= ^θi

θ0(Ω/2) et que par la proposition 3.2.3, exactement une des thêta constantes s’annule en Ω si et seulement si Ω est isomorphe à un produit de courbes elliptiques. On conclut en utilisant les mêmes arguments que dans la preuve du théorème 5.3.9.

La raison pour laquelle nous avons introduit des polynômes modulaires avec les ˜b_i est pour obtenir des polynômes plus petits que ceux avec les invariants de Gundlach ou avec les tirés en arrière des invariants d’Igusa. Par le théorème 5.3.12, les β-polynômes modulaires ne sont pas définis pour tous les ` qui se décomposent en facteurs totalement positifs. Nous avons deux manières de gérer ce problème. La première consiste à trouver un sous-ensemble de ˜Γ(2, 4) pour lequel ˜

b_i,β est invariant (on est dans le cas D ≡ 2, 3 mod 4). Un groupe qui fait toujours l’affaire est le groupe ˜Γ⁰ défini comme ˜Γ(2, 4) dans le cas D ≡ 1 mod 4. Ce sous-groupe est d’indice 4 dans ˜Γ(2, 4) et on considère le quotient ˜Γ(2, 4)/(˜Γ⁰∩ ˜Γ⁰(β)), contenant 4(`+1) classes, pour définir nos polynômes. La seconde manière consiste à prendre d’autres invariants. En particulier, les tirés en arrière des invariants de Rosenhain ˜r_i = φ^∗r_i. Nous avons déjà dit qu’ils sont des générateurs pour le corps des fonctions modulaires de Hilbert invariantes par ˜Γ(2) (voir théorème 5.2.8) et ˜r_i,β, pour i = 1, 2, 3, est toujours invariant par ˜Γ(2) ∩ ˜Γ⁰(β). Tous les résultats de cette section peuvent être adaptés à ces invariants.