Évaluation rapide des thêta constantes

X n=1 r4(n)qⁿ

où r₄(1) = 8, r₄(2) = 24, r₄(3) = 24, . . . désigne le nombre de façons de représenter 1, 2, 3, . . . comme une somme de la forme m²₁+m²₂+m²₃+m²₄ avec m_i∈ Z. On peut montrer que θ(τ )⁴ est une forme modulaire sur Γ₀(4) de poids 2 et que l’espace vectoriel M₂(Γ₀(4)) des formes modulaires de poids 2 pour le groupe Γ₀(4) est de dimension deux, engendré par G₂(τ )−2G₂(2τ ) et G₂(τ )−4G₂(4τ ). Donc θ(τ )⁴est une combinaison linéaire de ces deux vecteurs. En comparant les deux premiers coefficients, on trouve θ(τ )⁴ = 8(G₂(τ ) − 4G₂(4τ )) et par suite on en déduit que

r4(n) = 8P

d|n d6≡0 mod 4

d (pour n > 0). En particulier, r4(n) ≥ 8 pour tout n, donc chaque entier positif peut être écrit comme somme de quatre carrés.

1.6 Calcul des polynômes modulaires

1.6.1 Évaluation rapide des thêta constantes

Nous reprenons le contenu de [19, Chapitres 3 et 4] et y renvoyons le lecteur intéressé à avoir plus de détails. Soient les fonctions de H₁ dans C suivantes :

k(τ ) = ^ϑ 2 2(τ ) ϑ²₀(τ ) ^et k⁰(τ ) = ϑ2 1(τ ) ϑ²₀(τ ). (1.30) Elles sont bien définies sur H₁car les trois premières thêta constantes ne s’annulent pas sur H₁. L’égalité de Jacobi (proposition 1.5.10) nous dit que k² + k⁰² = 1. On en déduit aussi que ces deux fonctions k et k⁰ ne s’annulent pas sur H₁ et ne prennent pas les valeurs −1 et 1. La fonction k⁰ est modulaire pour le groupe

Γ_k0 = ( a b c d ! ∈ Γ₁ : b ≡ 0 mod 2 et c ≡ 0 mod 4 )

qui est engendré par les matrices T², ST⁴S et T ST⁴ST . On connaît explicitement

un ensemble de représentants des classes de Γ1/Γk0 (voir [19, Lemme 2.4]) et un domaine fondamental F_k0 = ⁿτ ∈ H₁ : −1 ≤ <(τ ) < 1,  τ + ³₄ ≥ ¹₄,  τ + ¹₄ > ¹₄,   τ −¹₄ ≥ 1 4,  τ − ³₄ > ¹₄^o

pour l’action de Γ_k0/h±I₂i sur H₁. Remarquons que F₁ ⊆ F_k0. Pour tout x ∈ C\{−1, 0, 1}, il existe un unique τ ∈ Fk0 tel que k⁰(τ ) = x.

Il existe une équation définissant le j-invariant en fonction de k⁰ :

j(τ ) = 256^{(1 − k}

02(τ ) + k⁰⁴(τ ))³

k04(τ )(1 − k02(τ ))2 . (1.31) On pourrait réécrire cette égalité pour exprimer j en fonction de k seulement, en utilisant l’égalité de Jacobi.

1.6. CALCUL DES POLYNÔMES MODULAIRES 51 Soient a et b deux nombres réels positifs. On considère la suite (a_n, bn)_n∈N définie par a₀ = a, b₀= b et pour tout n ≥ 0 :

a_n+1= a_n+ b_n

2 ^et b_n+1=^pa_nb_n.

L’élément a_n+1 est la moyenne arithmétique de a_n et b_n tandis que b_n+1 est leur moyenne géométrique, c’est pourquoi cette suite est appelée moyenne

arithmético-géométrique (AGM).

Supposons que a₀ ≥ b₀. On montre facilement que a_n ≥ b_n pour tout n et qu’alors d’une part a_n+1− a_n = ^bn−an

2 ≤ 0, ce qui signifie que la suite (a_n) est décroissante, et d’autre part que b_n+1/b_n = ^qan

bn ≥ 1 et donc que la suite (b_n) est croissante. On a alors pour tout n que b₀ ≤ b_n ≤ a_n ≤ a₀, ce qui implique que les deux suites sont bornées et monotones, donc convergent. En considérant la suite c_n = a_n− b_n, on peut montrer que les suites (a_n) et (b_n) sont en réalité adjacentes. En effet, cn+1/cn= ⁽ √ an−^√bn)² 2(a_n− b_n) ⁼ √ an−^√bn 2(√ an+√ bn) ≤ ¹ 2^; d’où 0 ≤ c_n+1≤ 1 2cn≤ 1

2n+1c0 et la suite c_n tend vers 0.

Notons AGM(a, b) la limite commune des deux suites (a_n) et (b_n). Remarquons que AGM(a, b) = AGM(b, a) ce qui fait qu’on n’a rien perdu à supposer a₀ ≥ b₀.

Une autre propriété basique est que AGM(a, b) = a AGM(1,_a^b) si a 6= 0. On peut donc se restreindre à l’étude de la fonction M : R+ → R+, M (x) = AGM(1, x). Cette fonction est croissante et pour tout x ∈ R⁺, M (x) ∈ [1, x]. Les

suites a_n et b_n convergent quadratiquement si la limite est non nulle. Généralisons la suite AGM à des nombres complexes.

Définition 1.6.1. Soient a, b ∈ C. On dit que (a⁰, b⁰) est un itéré AGM de (a, b)

si :

a⁰ = a + b

2 ^et b⁰²= ab.

Notons que tout couple a deux itérés et que les itérés de (a, b) sont les mêmes que ceux de (b, a).

Définition 1.6.2. Soient a, b ∈ C. On dit que (an, bn)_n∈N est une suite AGM associée à (a, b) si a₀ = a, b₀ = b et si pour tout n ∈ N, le couple (an+1, b_n+1) est

un itéré AGM du couple (a_n, bn).

Contrairement au cadre réel, les suites AGM complexes ne sont pas déter-minées uniquement par les valeurs de départ mais aussi par le choix des racines carrés tout le long des itérations.

Définition 1.6.3. Si (a_n, b_n)_n∈N est une suite AGM et si m ≥ 1, on dit que b_m est le bon choix de racine parmi b_m et −b_m si

|a_m− b_m| ≤ |a_m+ b_m|

avec de plus =(^bm

am) > 0 lorsque l’inégalité ci-dessus est une égalité. Dans le cas

On remarque qu’une suite associée à deux réels strictement positifs ne contient que des bons choix de racines.

Si (a_n, b_n)_n∈N est une suite AGM, alors il existe A ∈ C tel que limn→∞a_n = lim_n→∞bn= A et tel que A 6= 0 si et seulement si le nombre de mauvais choix de la suite AGM est fini. Soit λ ∈ C^∗, alors (λa_n, λbn) est aussi une suite AGM et à chaque rang n, (λa_n, λb_n) est un bon choix si et seulement si (a_n, b_n) en est un. S’il existe un rang n tel que a_n= 0 ou b_n= 0, alors ∀m ≥ n, b_m= 0.

Définition 1.6.4. On définit une fonction M : C → C comme suit. Pour tout

z ∈ C\{−1, 0}, on prend M (z) comme étant la limite de la suite AGM associée à

(1, z) ne comportant que des bons choix de racine, et avec M (0) = M (−1) = 0.

Pour tous a, b ∈ C, on définit l’ensemble B1(a, b) comme étant l’ensemble de toutes

les limites des suites AGM associées à (a, b).

Notons que ∀a, b ∈ C, λ ∈ C^∗, B₁(λa, λb) = {λx, x ∈ B₁(a, b)}. Les deux propositions qui suivent sont des résultats fondamentaux qui vont nous permettre d’évaluer rapidement les thêta constantes.

Proposition 1.6.5. Pour tout τ ∈ H1, on a

B₁(ϑ²₀(τ ), ϑ²₁(τ )) = ( θ²₀(τ ) θ2 0(γ · τ ) ^{: γ ∈ Γk0} ) ∪ {0}.

Démonstration. Voir [19, Théorème 3.1].

Proposition 1.6.6. Pour tout τ ∈ F_k0, M (k⁰(τ )) = ¹

ϑ2 0(τ ). Démonstration. Voir [19, Proposition 3.2].

Ces deux derniers résultats ont été généralisés en dimension 2 (voir [19, Théo-rème 8.1] et la proposition 3.6.1). Le résultat qui suit permet de déduire un algo-rithme pour évaluer la fonction M à une précision donnée.

Proposition 1.6.7. Pour tout z ∈ C\{0, 1} ayant une partie réelle positive ou

nulle, si l’on note (a_n, b_n)_n∈N la suite AGM associée au calcul de M (z) et que l’on pose

B(N, z) = max (dlog₂| log₂|z||e, 1) + dlog₂(N + 2)e + 2,

alors a_B(N,z)est une approximation de M (z) avec une précision relative de N bits. Démonstration. Voir [19, Proposition 3.3].

On cherche un algorithme efficace qui permet d’évaluer les thêta constantes. L’algorithme naïf, qui consiste à utiliser les définitions de ces fonctions comme séries de Fourier est de complexité en O(M⁰(N )^q_{=(τ )}^N ), d’après [19, Pages 97-100], où M⁰(N ) est la complexité de la multiplication de deux entiers de N bits. Une autre méthode consiste à utiliser l’AGM. Nous décrivons l’idée générale de l’algorithme. Une description détaillée se trouve dans [19, Section 4.2]. L’idée est la suivante. Supposons que l’on connaisse la valeur k⁰(τ ) pour τ ∈ F₁. On a vu que M (k⁰(τ )) = _ϑ2¹

0(τ ) pour τ ∈ F_k0. Mais comme S · τ est aussi dans F_k0, on en déduit que M (k⁰(S · τ )) = ¹ ϑ2 0(S·τ ), ce qui se réécrit M (k(τ )) = ^ı τ ϑ2 0(τ ). D’où : τ = ı^{M (k} 0(τ )) M (k(τ ))^,

1.6. CALCUL DES POLYNÔMES MODULAIRES 53 sachant que la valeur de k(τ ) peut se déduire de celle de k⁰(τ ) en utilisant l’égalité de Jacobi avec le fait que <(k(τ )) > 0 (d’après [20, Proposition 7]).

Soit maintenant τ ∈ F₁ et soit la fonction

f_τ : z ∈ C^r+7−→ ıM (z) − τ M (^p1 − z2) ∈ C.

D’après ce qui précède, on a f_τ(k⁰(τ )) = 0. On peut donc penser que des itéra-tions de Newton sur la fonction f_τ vont nous permettre d’évaluer k⁰(τ ). C’est une fonction analytique car M l’est.

Proposition 1.6.8. Pour tout τ ∈ F_k0, on a dM dz ^(k 0(τ )) = ϑ⁰₀(τ ) ıπϑ0(τ )ϑ²₁(τ )ϑ⁴₂(τ ) ^et df_τ dz^(k 0(τ )) = −2 πτ ϑ²₁(τ )ϑ⁴₂(τ ). Démonstration. Voir [19, Propositions 4.2 et 4.3].

On peut alors montrer que l’on a :

Théorème 1.6.9. Il existe un algorithme permettant pour tous τ ∈ F₁ et N > 0 d’évaluer k⁰(τ ) avec une précision relative de N bits en temps O(M⁰(N ) log N ).

Démonstration. Voir [19, Théorème 4.3].

Par ce qui précède, on en déduit qu’on peut également évaluer k(τ ) avec la même complexité.

Nous avons vu avec l’équation (1.31) comment on peut exprimer le j-invariant en fonction de k⁰. Ainsi, la complexité d’évaluation de cet invariant est également en O(M⁰(N ) log N ), pour tout τ ∈ H₁ (c’est bien sur H₁ car tout τ donné est équivalent à un τ⁰ dans le domaine fondamental F₁, et les j-invariants de τ et τ⁰ sont les mêmes).

La fonction η de Dedekind est souvent utilisée pour construire des fonctions modulaires. On a

η(τ )¹²= k²(τ )k⁰²(τ )ϑ²₀(τ )