Fonctions thêta classiques

Soit (X_Ω = C^g/Λ_Ω, H = H_Ω) la variété abélienne principalement polarisée correspondant à Ω ∈ H_g. On a que Λ_Ω = Λ₁⊕ Λ₂ avec Λ₁ = ΩZ^g et Λ₂ = Z^g. Ceci induit la décomposition suivante C^g = V₁⊕ V₂ de C^g en deux espaces réels

V₁= ΩR^g et V₂ = R^g. La forme hermitienne H est symétrique sur V₂ car E l’est. Notons maintenant B l’extension C-bilinéaire de la forme symétrique H|V2× V₂. Cette extension B est également symétrique.

On a vu que =(Ω)⁻¹ est la matrice de la forme de Riemann H et donc on a

B(x, y) = tx(=(Ω))⁻¹y. On en déduit que

(H − B)(x, y) = ^tx=(Ω)⁻¹(y − y) = ^tx=(Ω)⁻¹(Ω − Ω)y₁ = −2ı^txy₁,

2.6. FONCTIONS THÊTA CLASSIQUES 79 À partir de cette forme bilinéaire B, on définit ce que l’on appelle le facteur

d’automorphie classique

a_Ω: (λ, z) ∈ (ΛΩ, C^g) 7−→ χ(λ) exp (π(H − B)(z, λ) + π

2(H − B)(λ, λ)) ∈ C^∗.

Les fonctions thêta associées au facteur d’automorphie classique sont appelées

fonctions thêta classiques. Une fonction thêta f avec un tel facteur d’automorphie

doit vérifier f (z + λ) = a_Ω(λ, z)f (z) pour λ ∈ Λ_Ω, ce qui donne pour m ∈ Z^g :

f (z + m) = f (z),

f (z + Ωm) = exp (−2ıπ^tzm − ıπ^tmΩm)f (z). ^(2.4)

Soit la fonction sur C^g× H_g suivante, appelée fonction thêta classique

θ(z, Ω) := ^X

n∈Zg

exp (ıπ^tnΩn + 2ıπ^tnz). (2.5)

C’est une fonction holomorphe sur C^g× H_g ([68, Proposition II.1.1]) et elle vérifie l’équation (2.4). On peut également montrer que toute fonction f vérifiant cette même équation est de la forme f (z) = cst · θ(z, Ω) ([68, Pages 121-122]).

Définition 2.6.1. Soit Ω ∈ Hg. Une fonction entière f sur C^g est Λ_Ω -quasi-périodique de poids ` si

f (z + m) = f (z),

f (z + Ωm) = exp (−2ıπ`<sup>t</sup>zm − ıπ`^tmΩm)f (z), pour tout m ∈ Z^g. Notons RΩ

` l’espace vectoriel de telles fonctions.

Pour a, b ∈ Q^g, on appelle fonction thêta classique de caractéristique (a, b) la fonction :

θ [^a_b] (z, Ω) = P

n∈Zgexp (ıπ^t(n + a)Ω(n + a) + 2ıπ^t(n + a)(z + b))

= exp (ıπ^taΩa + 2ıπ^ta(z + b))θ(z + Ωa + b, Ω). ^(2.6)

Remarquons que l’on a θ [0

0] = θ. La quasi-périodicité de θ [^a_b] est donnée par

θ [^a_b] (z + m, Ω) = exp (2ıπ^tam)θ [^a_b] (z, Ω);

θ [^a_b] (z + Ωm, Ω) = exp (−2ıπ^tbm) exp (−ıπ^tmΩm − 2ıπ^tmz) θ [^a_b] (z, Ω).

(2.7)

En outre, pour n, m ∈ Z^g, on a

θ^h_b+m^a+ni(z, Ω) = exp (2ıπ^tam)θ [^a_b] (z, Ω) (2.8) et

θ [^a_b] (−z, Ω) = θ^h−a_−bⁱ(z, Ω). (2.9) Proposition 2.6.2. Soit Ω ∈ Hg. On a comme bases de R^Ω_` les ensembles :

1. f_a(z) = θ^ha/`

0

i

(`z, `Ω), pour 0 ≤ a < ` ;

2. g_b(z) = θ^h<sub>b/`</sub><sup>0 i</sup>(`z,^Ω<sub>`</sub>), pour 0 ≤ b < ` ;

3. Si ` = k<sup>2</sup>, une troisième base est donnée par h<sub>a,b</sub>(z) = θ<sup>ha/k</sup><sub>b/k</sub><sup>i</sup>(`z, Ω), pour 0 ≤ a, b < k.

Ces bases sont reliées par g_b=^X

a

exp (2ıπ`^{−1 t}ab)fa et h_a,b= ^X

c≡a mod k

exp (2ıπk^{−1 t}cb)fc.

Démonstration. Voir [68, Proposition II.1.3].

D’autres bases sont explicitées dans [13, Proposition 3.1.6.]. Les changements de base sont fournis dans les pages qui suivent cette proposition.

Ainsi que nous l’avons vu dans la section 2.2, les fonctions thêta permettent d’obtenir un plongement de la variété abélienne vers un espace projectif. Soit Λ ⊆ Z^2g d’indice s. Considérons la forme réelle antisymétrique sur R^2g × R2g

définie par A(x, y) = ^tx₁y₂ − ty₁x₂ où x = (x₁, x₂) et y = (y₁, y₂). Le réseau

perpendiculaire à Λ est

Λ^⊥:= {x ∈ Q^2g : exp (2ıπA(x, a)) = 1, ∀a ∈ Λ}.

Soient a_i, bi ∈ Λ^⊥ pour 1 ≤ i ≤ s un ensemble de représentants du quotient Λ^⊥/Z^2g. Notons e_Ω l’identification de R^g × Rg avec C^g par (x, y) 7→ Ωx + y. L’ensemble des points de base B_Ω(Λ) du tore complexe C^g/eΩ(Λ) est l’ensemble des points de ce tore qui annulent toutes les fonctions thêta θai

bi  (z, Ω) : B_Ω(Λ) := {z ∈ C^g: θai bi  (z, Ω) = 0, 1 ≤ i ≤ s}/e_Ω(Λ). L’application holomorphe suivante est alors bien définie

φ_Λ: (C^g/e_Ω(Λ)) − B_Ω(Λ) −→ _Ps−1 z 7−→ (θa1 b1  (z, Ω), . . . , θas bs  (z, Ω)).

Théorème 2.6.3 (Lefschetz). Soit Λ ⊆ Z2g un réseau d’indice s et supposons que Λ ⊆ rΛ^⊥ pour un certain r ∈ N. Alors :

1. Si r ≥ 2, B_Ω(Λ) = ∅ ;

2. Si r ≥ 3, φ_Λest un plongement et son image est une sous-variété algébrique de P^s−1;

3. Un tore complexe C^g/Λ peut être plongé dans un espace projectif si et seulement si A(Λ) ⊆ ΩQ^g + Q^g pour une certaine matrice A complexe g × g et un certain Ω ∈ H_g.

Démonstration. Voir [68, Théorème II.1.3 et Corollaire page 134].

2.6.2 Équation fonctionnelle des fonctions thêta

Soient Ω₁ et Ω₂ dans H_g. Nous avons vu que les tores C^g/(Zg+ Ω_iZ^g) pour

i = 1, 2 sont isomorphes si et seulement s’il existe une matrice γ ∈ Sp_2g(Z) telle que γ · Ω₁= Ω₂. L’isomorphisme entre les tores est donné par :

C^g/(Ω1_Z^g+ Z^g) −→ _Cg/(Ω2_Z^g+ Z^g)

z 7−→ t(CΩ₁+ D)⁻¹z.

D’après [68, Proposition II.5.5], le groupe Sp_2g(Z) agit sur C^g par

2.6. FONCTIONS THÊTA CLASSIQUES 81 pour γ = _{C D}^{A B}

. Cette même proposition affirme que ce groupe agit également sur la caractéristique des fonctions thêta. Les trois actions de Sp_2g(Z) se retrouvent dans l’équation fonctionnelle sur les fonctions thêta qui suit.

Commençons par noter, pour une matrice M donnée, M₀ le vecteur colonne composé des éléments diagonaux de M .

Proposition 2.6.4 (Équation fonctionnelle). Soient γ = A B C D

∈ Γ_g, e⁰ =

1

2(^tAC)₀ et e⁰⁰ = ¹₂(^tDB)0. Alors pour tous vecteurs a, b dans Q^g, z dans C^g et Ω dans H_g, on a θ [^a_b] (γz, γΩ) = ζγ p det(CΩ + D) exp ıπ^tz(CΩ + D)⁻¹Cz
· θ^htγ (^a_b) +^e0 e⁰⁰ i (z, Ω) exp(−2ıπt(tAa + tCb + e⁰)e⁰⁰) · exp(−ıπtaA^tBa) exp(−ıπ^tbC^tDb) exp(−2ıπ^taB^tCb), où ζ_γ est une racine huitième de l’unité qui ne dépend que de γ.

Démonstration. Voir [48, Chapitre 5 Théorème 2] ou [13, Proposition 3.1.24].

Remarque 2.6.5. La racine huitième de l’unité et la racine carré ne dépendent

pas de la caractéristique. Comme dans la suite nous nous intéresserons qu’à des quotients de fonctions thêta, nous n’aurons pas besoin de connaître cette racine de l’unité ni la détermination de la racine carré.

Similairement au cas de la dimension 1, nous notons Γ_g le groupe Sp_2g(Z). Définissons les groupes suivants qui sont les groupes que nous manipulerons le plus : Γ_g(N ) := A B C D
∈ Γ_g : A ≡ D ≡ I_gmod N, B ≡ C ≡ 0 mod N , Γ_g(N, 2N ) :=^{n A B}_{C D}
∈ Γ_g(N ) : (^tAC)0 ≡ (^tDB)0≡ 0 mod 2N^o, Γ_g,0(N ) := A B C D
∈ Γ_g : C ≡ 0 mod N , et Γ⁰_g(N ) := A B C D
∈ Γ_g : B ≡ 0 mod N .

Pour ces deux derniers groupes, nous enlèverons l’indice g lorsque la dimension ambiante sera implicite.

Proposition 2.6.6. Le groupe Γ_g est engendré par la matrice J = ^{ 0 I}g

−Ig 0



et les ^g(g+1)₂ matrices de la forme

M_i,j = I_g m_i,j

0 Ig

!

,

où m_i,j désigne la matrice de taille g × g dont toutes les entrées sont nulles sauf les entrées (i, j) et (j, i) qui valent 1.

Démonstration. Voir [50, Pages 41-42].

Les générateurs de quelques sous-groupes de Γ_g sont donnés dans l’annexe 5 de [68, Chapitre II]. Terminons avec les définitions de formes et fonctions modulaires de Siegel.

Définition 2.6.7. Soit g ≥ 2 et soit Γ ⊆ Γg un sous-groupe d’indice fini. Une forme modulaire de poids k pour le groupe Γ est une fonction holomorphe f définie sur H_g telle que f (γ · Ω) = det (CΩ + D)^kf (Ω) pour tous γ = A B

C D

∈ Γ et Ω ∈ H_g.

Pour g = 1, on a vu qu’il faut une condition supplémentaire. Le principe de Koecher [50, Section 4] nous dit que cette condition est immédiatement vérifiée lorsque g ≥ 2. Par exemple, on a

Proposition 2.6.8. Soit N pair. Alors pour tous a₁, a₂, b₁, b₂∈ 1

NZ^g, la fonction θ [^a1 a2] (0, Ω) · θ^hb1 b2 i (0, Ω)

est modulaire de poids 1 pour le groupe Γ_g(N², 2N²).

Démonstration. Voir [68, Corollaire II.5.11].

Définition 2.6.9. Soit Γ un sous-groupe d’indice fini de Γ_g. Une fonction f :

H_g → C est une fonction modulaire de Siegel lorsqu’il existe deux formes

mo-dulaires de Siegel f₁ et f₂ de même poids et pour le même groupe Γ telles que f = ^f1

f2.

On peut prendre des quotients de fonctions comme dans la proposition précé-dente pour former des fonctions modulaires.

2.6.3 Thêta constantes en caractéristique ¹₂ et en dimension g On va étudier maintenant les fonctions thêta au point z = 0 en regardant ces fonctions comme des fonctions en Ω. Dans ce cas là, on parle de thêta constantes. De plus, on se place en caractéristique ¹₂ car c’est la caractéristique la plus mal-léable. Soient donc a, b ∈ {0, 1}^g, posons θ_a,b(Ω) := θ^ha/2_b/2ⁱ(0, Ω).

Les équations (2.8) et (2.9) nous disent pour a, b ∈ {0, 1}^g que

θ^ha/2_b/2ⁱ(0, Ω) = θ^h−a/2_−b/2ⁱ(0, Ω) = exp (2ıπ(−^ta/2)b)θ^ha/2_b/2ⁱ(0, Ω) et donc

θa,b(Ω) = exp (ıπ^tab)θa,b(Ω). Ceci conduit à la définition suivante.

Définition 2.6.10. Soient a, b ∈ {0, 1}^g. On dit que la thêta constante θ_a,b est

paire lorsque ^tab ≡ 0 mod 2. Si ce n’est pas le cas, on dit que la thêta constante est impaire.

Lorsque la thêta constante est impaire, on a θ_a,b(Ω) = −θ_a,b(Ω) est donc cette thêta constante est identiquement nulle. On ne s’intéresse donc qu’aux thêta constantes paires. Une récurrence montre que sur les 4^g thêta constantes, il y en a 2^g−1(2^g+ 1) qui sont paires et donc 2^g−1(2^g− 1) qui sont impaires.

L’équation fonctionnelle sur les carrés des thêta constantes et la définition du groupe symplectique nous donnent le résultat suivant, que nous réutiliserons.

2.6. FONCTIONS THÊTA CLASSIQUES 83 Corollaire 2.6.11. Pour tous γ = ^{A B}_{C D}

∈ Γ_g(2, 4), a, b ∈ {0, 1}^g et Ω ∈ H_g : θ_a,b² (γ · Ω) = ζ_γ²det (CΩ + D)θ²_a,b(Ω).

Ainsi, les quotients des carrés de fonctions thêta paires (en caractéristique ¹₂) sont des fonctions modulaires pour le groupe Γ_g(2, 4).

Proposition 2.6.12 (Formules de duplication). Pour tous a, b ∈ {0, 1}^g et Ω ∈

H_g, on a θa,b(2Ω) = ¹ 2g X b1+b2≡b mod 2 (−1)^tab1θ0,b₁(Ω)θ_0,b2(Ω); θ_a,b Ω 2  = ¹ 2g X a1+a2≡a mod 2 (−1)^ta1bθ_a1,0(Ω)θ_a2,0(Ω).

Démonstration. Voir [19, Propositions 5.5 et 5.6].

On note par λ(Ω) la plus petite valeur propre de la matrice =(Ω).

Lemme 2.6.13. Pour tous a, b ∈ {0, 1}^g, si (Ω_n)_n∈N est une suite d’éléments de

H_g telle que lim_n→∞λ(Ω_n) = +∞, alors lim

n→∞θ_a,b(Ω_n) =

(

1 si a = 0;

0 si a 6= 0.

Démonstration. Nous reprenons la preuve de [19, Lemme 5.2]. Soient b ∈ {0, 1}^g

et (Ω_n)_n∈N. Notons q_n= exp (−πλ(Ω_n)). Alors la définition des thêta constantes montre que pour tout n ≥ 0,

|θ_0,b(Ω_n) − 1| ≤ ^X (m1,...,mg)∈Zg\{0} q^m 2 1+...+m²_g n ≤ 2^g( ^X m∈Z\{0} q_n^m2)(^X m∈Z q^m_n²)^2g−1. On utilise la majoration X m≥1 q_n^m2 ≤ ^X m≥1 q_n^m≤ ^qn 1 − q_n, pour obtenir |θ_0,b(Ω_n) − 1| ≤ 2^g  1 + ^2qn 1 − q_n 2g−1 2q_n 1 − q_n.

Si λ(Ω_n) tend vers l’infini, alors bien sûr q_n tend vers 0 et l’inégalité ci-dessus permet de montrer le résultat puisque le côté droit tend vers zéro.

Si maintenant a 6= 0 et que (Ω_n)_n∈N est une suite de H_g telle que λ(Ω_n) tend vers l’infini, alors ce qui précède montre que pour tout b ∈ {0, 1}^g,

lim n→+∞θ_0,b Ω_n 2  = 1, et en exprimant les θ²_a,b(Ω_n) en fonction des θ²_0,b(^Ωn

2 ) à l’aide de la formule de duplication, on voit facilement que si a 6= 0,

lim

n→+∞θ_a,b² (Ω_n) = 0, ce qui conclut la démonstration.

Dans le document Calcul de polynômes modulaires en dimension 2 (Page 79-85)