Bien que ce manuscrit se focalise sur l’étude des molécules diatomiques, nous avons également besoin de calculer la polarisabilité d’un atome, notamment pour pouvoir étudier les molécules de Feshbach que l’on considère, pour obtenir leurs polarisabilités, comme similaires à un système de deux atomes séparés (nous reviendrons plus tard sur cette hypothèse).
La polarisabilité dynamique d’un atome alcalin est calculée au moyen de l’équa-tion 2.9. Concernant le terme dû à l’électron de valence nous présenterons la source des données nécessaires pour le calcul, énergies de transition et moments dipolaires de tran-sition, dans la section 2.2.3. Ne disposant pas des mêmes informations pour les cœurs ioniques que pour les transitions de l’électron de valence nous n’avons pas de valeurs précises des termes de cœur. Dans cette section nous détaillerons l’approche utilisée pour évaluer ce terme.
2.2.1 Exemple de l’atome de Césium
Afin d’illustrer les calculs de la polarisabilité atomique, prenons le cas de l’atome de Cs dans son état fondamental 6s. On commence par étudier les transitions concer-nant l’électron de valence. Les énergies de transition et moments dipolaires de transition nécessaires au calcul viennent de la référence [113]. La somme porte sur toutes les tran-sitions permises par les règles de sélection (partant d’un état s seuls les états p sont
2.2.2 - Polarisabilité du cœur ionique 49
accessibles) mais la convergence est très rapide. En pratique nos calculs ont été effec-tués en utilisant seulement les transitions 6s − 6p et 6s − 7p. Par ailleurs le couplage spin-orbite étant relativement important dans l’atome de Cs on fait la distinction entre les états j = 1/2 et j = 3/2. On a donc une somme de quatre termes liés aux transi-tions : 6s1/2− 6p1/2, 6s1/2− 6p3/2, 6s1/2− 7p1/2 et 6s1/2− 7p3/2, auxquels on ajoute la contribution du cœur αc
Pour effectuer le calcul on fera bien attention à la définition des éléments de matrice que l’on emploie. Ainsi dans la référence [113] que nous avons utilisée les résultats sont exprimés au moyen des matrices réduites de moment dipolaire E1 = hjik D k jfi. Celles-ci sont reliées au moment dipolaire de transition total dif
q que nous utilisons dans l’équation2.9 par la relation :
difq = hjimi| Dq| jfmfi = (−1)jf−mf jf 1 ji −mf q mi
!
E1 (2.16)
En définissant l’axe de quantification z comme l’axe du laser seul dif
0 (q = 0) intervient dans le calcul.
On obtient le terme de valence de la polarisabilité statique de Cs : αv(ω = 0) = 382.6 au. Le terme de cœur a une contribution de l’ordre de 16 a.u. (référence [83], nous allons étudier ce terme plus en détail dans la section suivante) Au final on trouve pour la polarisabilité statique de Cs : α(ω = 0) = 398.6 au. Cette valeur est en bon accord (écart inférieur à 1%) avec les études théoriques et expérimentales présentes dans la littérature, compilées dans la référence [113]. On exprime ici la polarisabilité en unité atomique, elle peut être convertie en Hz/(W/cm2), unité permettant à des expérimentateurs d’obtenir directement la profondeur d’un piège optique pour une intensité laser donnée : 1 a.u. = 4.6883572 × 10−2 Hz/(W/cm2).
2.2.2 Polarisabilité du cœur ionique
Le terme de polarisabilité du cœur est en première approximation égale à la pola-risabilité du cœur ionique, soit dans la cas des alcalins à la polapola-risabilité de respective-ment Cs+, Rb+, K+, Na+ et Li+. Le formalisme que nous avons présenté précedemment (équation 2.9) étant général il s’applique aussi pour le calcul de la polarisabilité d’un ion. Dans la référence [114] les auteurs ont utilisé un modèle théorique appellée rela-tivistic random-phase approximation (RRPA) pour calculer les moments dipolaires de transition et les énergies de transition de différentes espèces ioniques et en déduire ainsi leur polarisabilité statique αc(ω = 0).
Nous ne disposons ni de la polarisabilité dynamique ni des calculs intermédiaires (moments dipolaires de transition et énergie de transition) des auteurs de la référence [114]. Afin d’obtenir tout de même une estimation rapide de la dépendance en ω de αc sans refaire des calculs de chimie quantique complets pour chaque espèce on peut s’appuyer sur les travaux de la référence [115] qui donne la polarisabilité totale, incluant la contribution du cœur (obtenue par la même méthode que la référence [114]), évaluée à fréquence imaginaire α(iω) (nous reviendrons sur cette notion au chapitre 5).
Nous disposons donc de la polarisabilité totale α(iω) [115]. De notre côté, on peut calculer le terme de valence αv(iω) (nous avons vu l’exemple de Cs dans la section précédente). On en déduit donc par soustraction le terme de cœur αc(iω) = α(iω) −
50 Polarisabilité atomique
αv(iω). Ce terme est du aux transitions des électrons de cœur qui sont caractérisées par une énergie de transition et un moment dipolaire de transition :
αc(iω) = 2X f
∆Ef
(∆Ef)2+ ω2d2if (2.17)
On peut ajuster la valeur des paramètres inconnus ∆Ef et dif afin que l’expression ci-dessus reproduise au mieux les valeurs de αc(iω) obtenus en partant de la référence [115]. En pratique on réduit le nombre de paramètres à ajuster afin de simplifier le problème. En effet la contribution à la polarisabilité de plusieurs transitions différentes peut, lorsque les énergies de transition sont proches, être approximée par une unique lorentzienne représentant une transition effective :
2X f
∆Ef
(∆Ef)2+ ω2dif2 ≈ (∆E)2∆E2+ ω2D (2.18) où D = P
f d2
if. Un des problèmes de notre approche vient du fait que les données (moments dipolaires de transition et énergies de transition) que l’on utilise pour calculer αvne sont pas les mêmes que celles de la référence [115]. Le terme de cœur qu’ils calculent n’est donc pas identique au terme de cœur αc(iω) que l’on obtient empiriquement. Plus exactement la différence entre ces deux termes est de ∆α = αv − α(1)
v avec α(1)
v la contribution à la polarisabilité du terme de valence de la référence [115]. L’écart vient principalement des moments dipolaires de transition, on peut donc écrire :
∆α(iω) = 2X f
∆Ef
(∆Ef)2+ ω2(d2
if − (d(1)if )2) (2.19) De la même manière que pour αc(iω) on peut approximer ce terme par une ou plusieurs transitions effectives. Un ajustement basé sur trois transitions effectives soit 6 paramètres inconnus (3 jeux (∆E , D)) s’est montré suffisant pour reproduire les valeurs αc(iω) + ∆α(iω). Dans le cas des alcalins les énergies de transition des électrons de cœur sont un ordre de grandeur plus grand que celles de l’électron de valence, on peut donc aisément séparer la partie de valence de celle de cœur. La polarisabilité du cœur ionique est représentée par 2 transitions effectives et le terme ∆α(iω) par une transition effective. La figure2.1 montre l’exemple de cet ajustement pour l’atome Cs.
Une fois les 2 jeux de paramètres (∆E, D) représentant αc(iω) déterminés on peut calculer la valeur à fréquence réelle αc(ω) en utilisant l’équation 2.9, toujours en remplaçant les transitions par nos deux transitions effectives.
Ce travail d’estimation a été réalisé pour les cœurs ioniques Cs+, Rb+ et K+. Pour les deux autres atomes alcalins que nous avons étudiés, Li et Na, la contribution du terme de cœur est faible (<= 1 a.u.) [116, 115]. Le terme αc a donc été négligé lors du calcul de la polarisabilité.
On notera que la polarisabilité dynamique varie peu tant que l’on se limite à des champs de fréquence très décalée vers le rouge par rapport à toutes les transitions mises en jeu. Cette condition est remplie lorsque l’on étudie un cœur ionique (transitions effectives de plus de 100 000 cm−1) soumis à un champ visible ou infra rouge (~ω < 20 000 cm−1). le terme de cœur αc(ω) de la polarisabilité dynamique peut dans ces conditions être approximé par sa valeur en champ statique αc(ω = 0).
2.2.3 - Polarisabilité des atomes alcalins 51
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Imaginary frequency (a.u.)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Core Polarizability (a.u.)
Figure 2.1 – Valeurs de αc(iω) obtenues empiriquement en soustrayant des résultats α(iω)
de [115] nos valeurs αv(iω) (croix rouge). Somme de trois loretziennes dont les
paramètres ont été ajustés (courbe noire).
2.2.3 Polarisabilité des atomes alcalins
Nous avons calculé la polarisabilité dynamique des 5 atomes alcalins Li, Na, K, Rb et Cs. Les polarisabilités des cœurs ioniques Cs+, Rb+ et K+ viennent de comparai-sons avec les calculs de Derevianko [115] comme présentées dans la section précédente. Pour calculer le terme de valence nous avons pris les moments dipolaires de transi-tions et énergies de transitransi-tions disponibles dans la littérature. Ce terme de valence est dû principalement à la contribution de la transition vers le premier état excité p. Les autres transitions ont en comparaison une contribution négligeable (inférieure à 1 %). Des études plus précises peuvent être réalisées sur les atomes toutefois cela ne fait pas l’objet de ce manuscrit. Dans le détail αv(ω) a été calculé pour chaque atome avec les transitions :
– Li, état initial 2s1/2: transitions vers les états 2p1/2et 2p3/2, énergies et moments dipolaires de transition venant de [117]
– Na, état initial 3s1/2 : transitions vers les états 3p1/2, 3p3/2, 4p1/2, 4p3/2, 5p1/2 et 5p3/2, énergies et moments dipolaires de transition venant de [117]
– K, état initial 4s1/2 : transitions vers les états 4p1/2et 4p3/2, énergies et moments dipolaires de transition venant de [117]
– Rb, état initial 5s1/2: transitions vers les états 5p1/2, 5p3/2, 6p1/2et 6p3/2, énergies et moments dipolaires de transition venant de [117]
– Cs, état initial 6s1/2: transitions vers les états 6p1/2, 6p3/2, 7p1/2et 7p3/2, énergies et moments dipolaires de transition venant de [113]
On obtient ainsi les polarisabilités statiques dans la table2.1. On donne aussi dans cette table les polarisabilités dynamiques prises à la longueur d’onde typique d’un laser de piégeage de 1064.5 nm , utilisé en particulier par nos collaborateurs expérimentateurs d’Innsbruck.
52 Cas de la molécule Cs2 atome α(0) α(ω1) Li 161.7 a.u. 268.3 a.u. Na 161.3 a.u. 232.4 a.u. K 287.5 a.u. 595.2 a.u. Rb 317.9 a.u. 686.0 a.u. Cs 398.0 a.u. 1 161.0 a.u.
Table 2.1 – Polarisabilité statique et polarisabilité dynamique à la fréquence ω1 = 9 394.8 cm−1 (λ = 1 064.5 nm) des atomes alcalins