Points de vue de construction effective/évoquée

Nous avons vu que, du point de vue mathématique, les deux approches de la projection cylindrique sont équivalentes. Néanmoins, elles ont des caractéristiques différentes dans l’étape de représentation. C’est ce que nous nous proposons d’étudier ici.

Comme nous l’avons dit plus haut, le passage de l’objet géométrique de l’espace à l’objet géométrique du plan se traduit nécessairement par une perte d’informations qui se répercute par conséquent au niveau même de la représentation (sur le dessin). Ceci rend difficile de rendre compte sur le dessin de certaines propriétés et relations entre des objets de l’espace contrairement au cas de la géométrie plane. Par exemple, examinons la représentation en perspective d’un cône de révolution par une projection cylindrique oblique. On sait qu’en général, la projection ne conserve pas le disque de base du cône. Il est alors nécessaire de le représenter par une ellipse. Dans la pratique, il est très rare qu’on calcule les paramètres de cette ellipse. Une ellipse arbitraire est acceptée, c’est-à-dire qu’on ne peut préciser les dimensions de cette ellipse.

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Chaachoua (1999) modélise ce phénomène par la notion de « règles d’usage » et l’utilise pour distinguer deux types de constructions : effective et évoquée, dans le procédé de tracé sur une feuille de papier.

Une règle d'usage est une pratique qui a le statut d'une convention : elle donne le droit de représenter un objet géométrique de façon arbitraire. […] Nous proposons de dire qu’une construction est effective lorsqu’on peut la réaliser, au niveau du tracé, sans aucune règle d’usage. Dans le cas contraire, nous disons qu’elle est évoquée.

(Op. cité, p. 336)

Décrivons maintenant la représentation plane selon les deux approches de la projection cylindrique. Puisque le dessin peut être obtenu à partir de certains points (voir la section 1.3.1), nous n’abordons ici que le processus de détermination de ces points.

Dans le cas de la première approche (Figure 7), on choisit d’abord certains points, puis on les représente de manière arbitraire sur le plan matériel. Le choix de ces premiers points doit garantir qu’on peut en déduire suffisamment de points permettant de former le dessin. Pour les points restants, on détermine leurs relations par rapport aux premiers points. Ces relations expriment des propriétés géométriques de natures diverses (affines, métriques, topologique,...). Ces propriétés seront transférées de l'espace au plan. Les propriétés de la projection permettent de déterminer le résultat de ces transferts. Quelques-unes sont conservées, par exemple, les propriétés affines, les propriétés métriques sur le plan parallèle au plan de projection ; d’autres sont déformées. Certaines propriétés conservées contribueront à la construction des nouveaux points (construction effective). Toutefois, il existe des points qu’on doit tracer de manière arbitraire (construction évoquée), c’est notamment le cas lorsque la propriété géométrique n’est pas conservée.

Figure 7. Représentation plane selon la première approche de la projection cylindrique du point de vue mathématique

Pour la deuxième approche, le Groupe de Géométrie de Bordeaux (1991, p. 9) fournit une formule de transformation des coordonnées d'un point de l'espace ( ) à celle d'un point du plan ( ):

27 {

Donc, du point de vue analytique on peut effectuer la représentation comme suit (Figure 8).

Figure 8. Représentation plane selon la deuxième approche de la projection cylindrique du point de vue analytique

D'abord, on établit les coordonnées du point M à représenter par rapport à un repère de l'espace ( ). Puis, on en déduit les coordonnées ( ) du représentant M1 de M dans le plan. On choisit ensuite un repère matériel du plan, par exemple deux bords de la feuille de dessin (ou du tableau,...) : le bord inférieur et le bord latéral gauche, enfin, on précise la position du point qui correspond au couple ( ).

Par ailleurs, les règles de traçage d’Audibert (1990) nous fournissent encore un processus en trois étapes pour faire le dessin d'un objet géométrique de l'espace du point de vue affine-métrique (Figure 9).

Figure 9. Représentation plane selon la deuxième approche de la projection cylindrique du point de vue affine-métrique

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- Première étape. La représentation d'un objet géométrique de l'espace est repérée par celle d'un cube de référence.

Tout objet de l'espace est parfaitement repéré grâce à un cube de référence. Puisque nous utilisons une représentation qui conserve le parallélisme et les proportions, nous nous contentons de représenter un cube ABCDEFGH.

(Audibert, 1990, p. 69)

Ainsi, le cube de référence, plus précisément, les trois arêtes issues d'un même sommet du cube de référence, joue ici en même temps le rôle d'un objet géométrique de l'espace à représenter et celui d'un repère de l'espace

Le trièdre AB, AE, AD est direct. (L'espace est orienté selon la règle des trois doigts de la main droite : pouce, index, majeur donnant le sens direct).

(Ibid., p. 69)

On exprime la position des points de l'espace par des relations de parallélisme et de proportionnalité par rapport à ce repère.

- Deuxième étape. On cherche à représenter le cube de référence dans l'espace dans le plan. D'abord, « nous choisissons une face du cube comme face avant » (Ibid., p. 69) et la représentons en vraie grandeur. Puis, on détermine la représentation de l'arête fuyante dans le plan en utilisant deux paramètres : l'angle de fuite et le rapport de réduction.

- Troisième étape. On fait le dessin de l'objet de l'espace à l'aide de la représentation du cube de référence et de la règle de la conservation du parallélisme et des proportions selon les directions parallèles aux arêtes du cube.

Tout point de l'espace, repéré par rapport au cube de référence, est alors parfaitement représenté par un point grâce aux règles de conservation du parallélisme et des proportions.

(Ibid., p. 70)

Ainsi, le recours à un cube de référence fournit un environnement écologique favorable pour les constructions effectives. En résumé, bien que les deux approches de la perspective cylindrique par projection et par cube de référence soient mathématiquement équivalentes, elles ne conservent pas ce statut dans la pratique. De trois schémas des Figure 7, Figure 8 et Figure 9, il semble que la deuxième approche favorise davantage les constructions effectives que la première.