Type de tâches 1

Soit le type de tâches « Déterminer la transformée d’un objet géométrique de l’espace par une projection cylindrique donnée » que nous noterons T^objE,PC1_tr. Par exemple, « Soit ABCDEFGH un cube. Déterminer l’image du segment [CD] par la projection de direction (AG) sur le plan (EFGH) ».

Dans ce type de tâches, nous considérons deux variables : « objet géométrique de l’espace » (objE) et « projection cylindrique » (PC). Ces deux variables peuvent être instanciées en des valeurs :

- pour les objets géométriques de l’espace, nous ne nous intéressons qu’à des objets de base de la Géométrie de l’espace : point (pt), droite (d), demi-droite (1/2d), segment (seg), polygone (polyg), cercle (cer), polyèdre (Polyè), cylindre de révolution (CyR), cône de révolution (CoR), sphère (Sp).

- pour la projection cylindrique, elle peut être donnée par des paramètres de l’approche par « projection » (PC1), comme le plan et la direction de projection (P, d); ou de l’approche par « cube de référence » (PC2), comme l’angle de fuite et le rapport de réduction (α, r).

Nous présentons d’abord le cas où l’ « objet géométrique de l’espace » est un point. Nous le considérons ici comme la praxéologie de base, parce que comme nous l’avons exposé dans la section 1.3.1, la détermination de la transformée d’un objet géométrique de l’espace peut être ramenée à celle de ses certains points.

T^pt,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un

point A par une projection cylindrique donnée (d,P).

T^pt,PC21_tr : Déterminer le transformé d’un point

A par une projection cylindrique donnée (α,r).

τ ^pt,PC11_tr :

- Construire une droite d’ passant par le point A et parallèle à la direction de projection d. - Déterminer le point d’intersection A’ de la droite d’ et du plan de projection (P). A’ est le transformé du point A par la projection.

τ^pt,PC21_tr :

- Repérer le point A par rapport à un cube de référence muni un repère orthonormé (Rxyz):

+ construire une droite d orthogonale au plan (Rxz) ;

+ repérer le point d’intersection A’ de la droite d et du plan (Rxz) : A’(x,z) ;

80

+ déterminer la mesure ̅̅̅̅̅ ;

- Dans un plan muni un repère orthonormé (Ox’z’),

+ déterminer un point A1(x,z) ;

+ construire une demi-droite A1t qui fait un angle α avec l’axe Ox’ ;

+ déterminer, sur A1t, un point A2 de sorte que ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅. Le point A2 est le transformé du point A par la transformation donnée.

θPC1 : Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection »

θPC2 : Définition de la projection cylindrique selon « approche par cube de référence ». Θtr : Transformation affine.

Tableau 4. Praxéologies de référence [T^pt,PC11_tr ,τ ^pt,PC11_tr ,θPC1 , Θtr] et [T^pt,PC21_tr ,τ^pt,PC21_tr ,θPC2 , Θtr] Plus généralement, nous décrivons la praxéologie correspondant au type de tâches T^objE,PC1_tr comme suit :

T^objE,PC1_tr : Déterminer le transformé d’un objet géométrique de l’espace par une projection

cylindrique donnée.

τ^objE,PC1_tr :

- Déterminer les points du type I, II, III³² situés sur l’objet géométrique de l’espace. - Déterminerles transformés de ces points (T^pt,PC11_tr, T^pt,PC21_tr).

- A l’aide des propriétés de la projection cylindrique, les joindre. θPC : Définition et propriétés de la projection cylindrique. ΘPC : Transformation affine.

Tableau 5. Praxéologie de référence [T^objE,PC1_tr ,τ^objE,PC1_tr ,θPC , Θtr]

Dans la suite nous allons présenter des praxéologies instanciées de base qui sont des sous-types de tâches de T^objE,PC1_tr .

T^seg,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un

segment AB par une projection cylindrique donnée (d,P)

T^seg,PC21_tr : Déterminer le transformé d’un

segment AB par une projection cylindrique donnée (α,r).

τ^seg,PC11_tr :

- Examiner la position relative du segment AB par rapport à la direction de projection d. - Si AB est parallèle à d, le transformé est le point d’intersection de la droite AB et du plan de projection (P).

- Sinon, déterminer les transformés A’ et B’ des points A, B par la projection donnée (T^pt,PC11_tr). Le transformé du segment AB est le segment A’B’.

τ^seg,PC21_tr :

- Examiner la position relative du segment AB par rapport à un cube de référence muni un repère orthonormé (Rxyz) :

+ l’angle θ1 que fait l’axe Ry par rapport à AB ;

+ l’angle α1 que fait l’axe Rx par rapport au plan contenant AB et orthogonal au plan (Rxz).

- Si tanθ1=r et α1=α, déterminer le transformé du point A (ou B) par la transformation donnée (T^pt,PC21_tr). C’est le transformé du segment AB.

- Sinon, déterminer les transformés A’, B’ de 2 points A, B par la transformation donnée (T^pt,PC21_tr). Le segment A’B’ est le transformé du segment AB.

81 θPC1 :

- Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection »

- Propriétés de la conservation de l’alignement et de l’ordre des points alignés de la projection cylindrique.

θPC2 :

- Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par cube de référence ».

- Propriétés de la conservation de l’alignement et de l’ordre des points alignés de la projection cylindrique.

Θtr : Transformation affine.

Pareillement, on a 2 praxéologies :

T^d,PC11_tr : Déterminer la transformée d’une

droite par une projection cylindrique donnée (d, P).

T^1/2d,PC11_tr : Déterminer la transformée d’une

demi-droite par une projection cylindrique donnée (d, P).

Pareillement, on a 2 praxéologies :

T^d,PC21_tr : Déterminer la transformée d’une

droite par une projection cylindrique donnée (α, r).

T^1/2d,PC21_tr : Déterminer la transformée d’une

demi-droite par une projection cylindrique donnée (α, r).

Tableau 6. Praxéologies de référence [T^seg,PC11_tr ,τ^seg,PC11_tr ,θPC1 , Θtr] et [T^seg,PC21_tr , τ^seg,PC21_tr , θPC2, Θtr]

T^polyg,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un

polygone par une projection cylindrique donnée (d,P).

T^polyg,PC21_tr : Déterminer le transformé d’un

polygone par une projection cylindrique donnée (α,r).

τ^polyg,PC11_tr :

- Examiner la position relative du plan (P1) contenant le polygone par rapport à la direction de projection d.

- Si d est parallèle au plan (P1), déterminer les transformés des côtés du polygone par la projection donnée (T^seg,PC11_tr). Ce sont des segments situés sur une même droite. Le transformé du polygone donné est un segment formé par ces segments.

- Sinon, déterminer les transformés des côtés du polygone par la projection donnée (T^seg,PC11_tr). Ce sont des segments qui ne sont pas situés sur une même droite. Le transformé du polygone donné est un polygone formé par ces segments.

τ^polyg,PC21_tr :

- Examiner la position relative entre le plan (P1) contenant Ry, de sorte que (Rx,(P1))= α et le plan (P2) contenant le polygone donné.

- Si (P1) et (P2) sont parallèles (ou confondus), déterminer les transformés des côtés du polygone par la transformation donnée (T^seg,PC21_tr). Ce sont des segments situés sur une même droite. Le transformé du polygone donné est un segment formé par ces segments.

- Sinon,

+ construire une droite d’intersection d1 de (P1) et de (P2) ;

+ si tanθ1=r avec θ1=(Ry,d1), déterminer les transformés des côtés du polygone par la transformation donnée (T^seg,PC21_tr). Ce sont des segments situés sur une même droite. Le transformé du polygone donné est un segment formé par ces derniers.

+ sinon, déterminer les transformées des côtés du polygone par la transformation donnée (T^seg,PC21_tr). Ce sont des segments qui ne sont pas situés sur une même droite. Le transformé du polygone donné est un polygone formé par ces derniers.

82 θPC1 :

- Définition et propriétés d’un segment et d’un polygone.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection ».

- Propriétés de conservation de l’alignement et de l’ordre de trois points alignés de la projection cylindrique.

θPC2 :

- Définition et propriétés d’un segment et d’un polygone.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par cube de référence ».

- Propriétés de conservation de l’alignement et de l’ordre de trois points alignés de la projection cylindrique.

Θtr : Transformation affine.

Tableau 7. Praxéologies de référence [T^polyg,PC11_tr ,τ^polyg,PC11_tr ,θPC1 , Θtr] et [T^polyg,PC21_tr ,τ^polyg,PC21_tr ,θPC2 , Θtr]

T^cer,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un

cercle (I, R) par une projection cylindrique donnée (d, P).

T^cer,PC21_tr : Déterminer le transformé d’un

cercle (I, R) par une projection cylindrique donnée (α, r).

τ^cer,PC11_tr :

- Examiner la position relative de la direction de projection d par rapport au plan (P1) contenant le cercle.

- Si d est parallèle au plan (P1),

+ construire, dans le plan (P1), une droite d1 passant par le centre I du cercle et orthogonale à d ;

+ déterminer 2 points d’intersection A, B de d1 et du cercle ;

+ déterminer les transformés A’, B’ des points A, B par la projection donnée (T^pt,PC11_tr). Le transformé du cercle est le segment A’B’.

- Sinon,

+ choisir cinq points sur le cercle ;

+ déterminer les transformés de ces cinq points par la projection donnée (T^pt,PC11_tr). Le transformé du cercle est une ellipse (ou un cercle) passant par les transformés des points.

τ^cer,PC21_tr :

- Examiner la position relative entre le plan (P1) contenant Ry, de sorte que (Rx, (P1))= α et le plan (P2) contenant le cercle donné.

- Si (P1) et (P2) sont parallèles (ou confondus), + construire, dans le plan (P2), une droite d1 passant par le centre I du cercle de sorte que tanθ1=r, avec θ1=(Ry,d1) ;

+ construire, dans le plan (P1), une droite d2 passant par le centre I du cercle et orthogonale à d1 ;

+ déterminer 2 points d’intersection A, B de d2 et du cercle ;

+ déterminer les transformés A’, B’ des points A, B par la transformation donnée (T^pt,PC21_tr). Le transformé du cercle est le segment A’B’.

- Sinon,

+ Construire une droite d’intersection d3 de (P1) et de (P2).

+ si tanθ2=r avec θ2=(Ry,d3),

* construire, dans le plan (P2), la droite d4 passant par le centre I et orthogonale à d3 ;

* construire les points d’intersection A, B du cercle et de la droite d4.

* déterminer les transformés A’, B’ des points A, B par la transformation donnée (T^pt,PC21_tr). Le transformé du cercle est le segment A’B’.

+ sinon,

* choisir cinq points sur le cercle ; * déterminer les transformés de ces cinq points par la projection donnée (T^pt,PC21_tr). La transformée du cercle est une ellipse (ou un cercle) passant par ces transformés.

83 θPC1 :

- Définition et propriétés d’un cercle.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection »

- Propriété de non-conservation d’un cercle de la projection cylindrique.

θPC2 :

- Définition et propriétés d’un cercle.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par cube de référence ».

- Propriété de non-conservation d’un cercle de la projection cylindrique.

Θtr : Transformation affine.

Tableau 8. Praxéologies de référence [T^cer,PC11_tr , τ^cer,PC11_tr ,θPC1 , Θtr] et [T^cer,PC21_tr ,τ^cer,PC21_tr ,θPC2 , Θtr]

T^Polyè,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un

polyèdre par une projection cylindrique donnée (d, P).

T^Polyè,PC21_tr : Déterminer le transformé d’un

polyèdre par projection cylindrique donnée (α, r).

τ^Polyè,PC11_tr : Déterminer les transformées des

faces du polyèdre par la projection donnée (T^polyg,PC11_tr). Le transformé du polyèdre en est formée.

τ^Polyè,PC21_tr : Déterminer les transformées des

faces du polyèdre par la transformation donnée (T^polyg,PC21_tr). Le transformé du polyèdre en est formée.

θPC1 :

- Définition et propriétés d’un segment, d’un polygone et d’un polyèdre.

- Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon approche par « projection ».

- Propriétés de conservation de l’alignement et de l’ordre de trois points alignés de la projection cylindrique.

θPC2 :

- Définition et propriétés d’un segment, d’un polygone et d’un polyèdre.

- Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par cube de référence ».

- Propriétés de conservation de l’alignement et de l’ordre de trois points alignés de la projection cylindrique.

Θtr : Transformation affine.

Tableau 9. Praxéologies de référence [T^Polyè,PC11_tr ,τ^Polyè,PC11_tr ,θPC1 , Θtr] et [T^Polyè,PC21_tr ,τ^Polyè,PC21_tr ,θPC2 , Θtr]

T^CyR,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un cylindre de révolution par une projection cylindrique

donnée (d,P).

τ^CyR,PC11_tr :

- Examiner la position relative de la direction de projection d par rapport à l’axe et aux deux bases du cylindre de révolution.

- Déterminer les transformés des deux cercles de bases par la projection donnée (T^cer,PC11_tr). - Si d est parallèle à l’axe du cylindre, les transformés sont confondus. Le transformé du cylindre est une ellipse (ou un cercle).

- Si d est parallèle aux bases du cylindre, les transformés sont deux segments. Le transformé du cylindre est un polygone formé par ces deux segments.

- Sinon, les transformés sont deux ellipses (ou deux cercles). Le transformé du cylindre est formée de ces deux ellipses (ou deux cercles) et des deux segments de tangentes communs extérieurs.

θPC1 :

- Définition et propriétés d’un cylindre de révolution. - Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection ».

- Propriétés de la conservation de l’alignement et de l’ordre des points alignés de la projection cylindrique.

- Propriété de non-conservation d’un cercle de la projection cylindrique. Θtr : Transformation affine.

84

T^CoR,PC11_tr : Déterminer le transformé d’un cône de révolution par une projection cylindrique

donnée (d,P).

τ^CoR,PC11_tr :

- Examiner la position relative de la direction de projection d par rapport à l’axe et à la base du cône de révolution.

- Déterminer le transformé du cercle de base (T^cer,PC11_tr) et du sommet du cône de révolution (T^pt,PC11_tr).

- Si d est parallèle à la base du cône, la transformée de la base est un segment et le transformé du cône est un triangle formé de ce segment et la transformée du sommet.

- Sinon,

+ calculer l’angle θ que font l’axe du cône et la direction de projection d ;

+ si l’angle θ est inférieur ou égal à celui fait par l’axe du cône et les génératrices, la transformée de la base est une ellipse (ou un cercle) et la transformée du cône est formée de cette ellipse (ou de ce cercle).

+ sinon, la transformée de la base est une ellipse (ou un cercle) et le transformé du cône est formée de cette ellipse (ou de ce cercle) et deux segments de tangentes provenant de la transformée du sommet.

θPC1 :

- Définition et propriétés d’un cône de révolution. - Propriété de l’alignement des points sur un segment.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection ».

- Propriétés de la conservation de l’alignement et de l’ordre des points alignés de la projection cylindrique.

- Propriété de non-conservation d’un cercle de la projection cylindrique. Θtr : Transformation affine.

Tableau 11. Praxéologie de référence [T^CoR,PC11_tr , τ^CoR,PC11_tr , θPC1 , Θtr]

T^Sp,PC11_tr : Déterminer la transformée d’une sphère par une projection cylindrique donnée (d,P).

τ^Sp,PC11_tr :

- Déterminer le grand cercle qui est la section de la sphère et du plan passant par le centre de la sphère et orthogonal à la direction de projection d.

- Déterminer le transformé du cercle par la projection. Si d est orthogonale au plan (P), c’est un cercle. Sinon, c’est une ellipse. La transformée de la sphère en est formée.

θPC1 :

- Définition et propriétés d’une sphère.

- Définition de la projection cylindrique selon « approche par projection ». - Propriété de non-conservation d’un cercle de la projection cylindrique. Θtr : Transformation affine.

Tableau 12. Praxéologie de référence [T^Sp,PC11_tr , τ^Sp,PC11_tr , θPC1 , Θtr]

Dans le document Une étude didactique des praxéologies de la représentation en perspective dans la géométrie de l'espace, en France et au Viêt-Nam (Page 88-93)