d’une croix rouge et les autres d’une coche verte. En ´etudiant le signe des expressions ”t1+− t−2” et ”t2+− t−1” pour chacune des configurations on remarque que les cas de non- chevauchement sont caract ´eris ´es par le fait que ces deux expressions sont de m ˆeme signe (ce qui n’est pas le cas des autres possibilit ´es de placement). Concr `etement, cela
signifie que les deux t ˆaches se chevauchent si et seulement si (ti+ 1 − t − i2) × (t − i1 − t + i2) ≥ 0. Sachant que deux t ˆaches sont contraintes de ne pas se chevaucher uniquement si elles utilisent la m ˆeme boite le m ˆeme jour (dit autrement si et seulement si xi1, j,k× xi2, j,k= 1) on obtient l’ ´equation (4.7) qui nous donne la contrainte de non-chevauchement.
Une fois le mod `ele MILP d ´efini, il est n ´ecessaire de mettre en place des m ´ethodes de r ´esolution pour d ´eterminer des solutions efficaces en un temps raisonnable.
4.5/
M ´
ETHODES DE RESOLUTION´
Gr ˆace `a la mod ´elisation MILP propos ´ee pr ´ec ´edemment, il est possible de r ´esoudre le probl `eme de fac¸on exacte `a l’aide d’un solveur (voir d ´efinition (14)). Comme nous l’avons vu lors des chapitres pr ´ec ´edents, cette solution peut facilement n ´ecessiter un important temps de calcul. En effet, apr `es quelques tests pr ´eliminaires il apparaˆıt que lorsque l’on traite des instances de probl `emes d ´eriv ´ees de cas concrets, l’obtention de la solution optimale peut demander plusieurs dizaines d’heures (voir plusieurs jours pour un grand h ˆopital). Or, les plannings d’interventions doivent ˆetre d ´etermin ´es au plus vite pour per- mettre aux chirurgiens une plus grande marge de manœuvre.
Afin de r ´egler ce probl `eme, il est possible de mettre en place des m ´ethodes de calcul al- ternatives pour obtenir de bons r ´esultats sans certitude d’optimalit ´e, mais dans un temps raisonnable.
4.5.1/ CHOIX DE LA METHODE´
Pour r ´esoudre rapidement le probl `eme pr ´esent ´e, nous proposons d’utiliser une m ´etaheuristique (voir d ´efinition 15). Le choix de la m ´etaheuristique et `a la fois impor- tant et d ´elicat, car il en existe de nombreuses (et m ˆeme parfois en diff ´erentes versions) et chacune sera plus ou moins efficace dans un contexte donn ´e. Afin de faire le choix le plus judicieux possible sans pour autant tester exhaustivement toutes les possibi- lit ´es, nous avons s ´electionn ´e trois candidats potentiels. Tout d’abord la recherche Ta- bou, car cette derni `ere a d ´ej `a fait ses preuves pour r ´esoudre ce genre de probl `eme (voir [Hanset et al., 2007]). Ensuite, les algorithmes g ´en ´etiques et l’optimisation par essaim particulaire pour leur capacit ´e `a g ´en ´eralement mieux r ´esoudre les probl `emes poss ´edant plusieurs solutions optimales.
La recherche tabou est une m ´etaheuristique propos ´e par [Glover, 1989]. Elle consiste `a choisir al ´eatoirement une solution et de tenter d’am ´eliorer cette derni `ere en sectionnant une meilleure dans son voisinage. On r ´ep `ete alors ce processus pendant un nombre de cycles d ´etermin ´e. De plus, pour ´eviter de rester bloqu ´e dans un extremum local, on
d ´etermine une liste de mouvements interdits (mouvements tabous), `a chaque fois que l’on explore un voisinage d’une solution courante on ajoute ce mouvement `a la liste. La liste poss `ede une taille param ´etrable de telle fac¸on que lorsqu’elle est pleine, le dernier mouvement enregistr ´e est supprim ´e selon une politique dite FIFO (First In First Out). Cette m ´ethode permet d’ ´eviter les retours en arri `ere et donc de rester bloqu ´e en un point de l’espace de solution.
L’optimisation par essaim particulaire (abr ´eg ´e en OEP) est une m ´etaheuristique ´evolutionnaire invent ´e par Keneddy et Eberhart ([Kennedy, 2011, Shi et al., 1998a, Kennedy, 1995]), son principe est bas ´e sur l’ ´etude du comportement de groupes d’oi- seaux ou de bancs de poissons. Des particules repr ´esentant des solutions sont cr ´e ´ees dans l’espace de solutions et communiquent entre elles pour se d ´eplacer. Les d ´eplacements prennent en compte plusieurs facteurs comme la vitesse propre de la par- ticule, l’emplacement de la meilleure solution qu’elle ait trouv ´ee et celui de la meilleure solution trouv ´ee par le groupe. Cette m ´ethode `a l’avantage de permettre de plus facile- ment rep ´erer une ou plusieurs bonnes solutions.
Les algorithmes g ´en ´etiques font eux aussi partis de la cat ´egorie des m ´etaheuristiques ´evolutionnaires, le concept fut invent ´ee en 1960 par John Holland et popularis ´ee par David Goldberg ([Golberg, 1989]). Comme nous l’avons vu pr ´ec ´edement, le principe est d’utiliser les m ´ecanismes ´evolutionnaires d’une population d’individus (au sens darwinien du terme). Pour ce faire, une population compos ´ee de solutions initiales est tout d’abord cr ´e ´ee. Cette population est consid ´er ´ee comme la premi `ere g ´en ´eration. Puis, g ´en ´eration apr `es g ´en ´eration, de nouvelles solutions sont cr ´e ´ees `a partir des pr ´ec ´edentes en effec- tuant des croisements et des mutations sur les solutions.
NB : Les algorithmes g ´en ´etiques ne seront pas d ´efinis ici puisque cela a d ´ej `a ´etait fait plus t ˆot dans ce m ´emoire (voir section 3.3.3).
Afin de faire un choix entre ces trois m ´ethodes, il semble pertinent de mettre en place un algorithme simple pour chacune en utilisant des param `etres classiques. On d ´efinit alors 16 scenarii possibles repr ´esentant autant d’instances du probl `eme. Les scenarii sont chacun constitu ´es d’un ensemble d’interventions chirurgicales `a ordonnancer al- lant de 5 (pour le premier) `a 21 (pour le dernier). Chaque sc ´enario est r ´esolu de fac¸on approch ´ee gr ˆace `a chacune des trois m ´ethodes cit ´ees pr ´ec ´edemment (gr ˆace `a des algo- rithmes classiques) puis de fac¸on exacte gr ˆace au solveur Gurobi (voir section (2.3.3)) qui r ´esout le mod `ele MILP propos ´e plus t ˆot. Les r ´esultats obtenus par chaque m ´ethode sont r ´ecapitul ´es par la table (4.1). Ces derniers sont donn ´es en nombre de boites n ´ecessaires pour r ´ealiser la meilleure solution. Il est important de noter que les r ´esultats des trois m ´ethodes approch ´ees sont des moyennes calcul ´ees sur 10 ex ´ecutions limit ´ees `a 1h de calcul alors que ceux obtenus avec Gurobi correspondent `a des solutions optimales.
TABLE4.1 – Evaluation de la solution obtenue par plusieurs m ´ethodes (en nombre moyen
de boites de DM)
sc ´enario nb. interventions AG OEP Tabou MILP
1 6 2.00 2.00 2.00 2 2 7 2.00 2.00 3.00 2 3 8 2.00 2.00 3.00 2 4 9 2.58 2.00 3.00 2 5 10 2.98 2.00 3.16 2 6 11 3.00 3.00 4.00 3 7 12 3.00 3.00 4.00 3 8 13 3.16 3.00 4.00 3 9 14 3.92 3.00 4.94 3 10 15 4.00 3.20 5.78 3 11 16 4.00 4.00 5.80 4 12 17 4.20 4.00 5.76 4 13 18 4.78 4.00 5.00 4 14 19 4.96 4.00 6.02 4 15 20 5.04 4.96 6.60 4 16 21 5.46 5.00 9.14 5
En ´etudiant ces r ´esultats pr ´eliminaires, on peut remarquer que l’optimisation par es- saim particulaire donne syst ´ematiquement de meilleurs r ´esultats que les deux autres m ´ethodes (en plus de donner des solutions tr `es proches de l’optimale). Bien que, ces r ´esultats ne soient pas exhaustifs, ils tendent `a montrer que pour r ´esoudre le probl `eme pos ´e dans ce chapitre, l’OEP semble ˆetre la m ´ethode la plus indiqu ´ee. Pour produire la meilleure solution possible, il est donc n ´ecessaire de se pencher sur les particularit ´es de cette m ´ethode ainsi que son param ´etrage pour que ces derniers soient le plus possible en ad ´equation avec le probl `eme trait ´e.
4.5.2/ L’OPTIMISATION PAR ESSAIM PARTICULAIRE
Il existe de nombreux articles traitant de l’OEP et notamment des fac¸ons d’am ´eliorer son fonctionnement ([Robinson et al., 2004, Pandey et al., 2010, Omran et al., 2006]). [Clerc et al., 2002] ont propos ´e une m ´ethode sp ´ecifique pour d ´eterminer un bon pa- ram ´etrage de l’OEP afin d’am ´eliorer la convergence de la solution en ´etudiant l’impact de chaque param `etre. Il apparaˆıt, en effet, que l’importance du choix des param `etres ne doit pas ˆetre n ´eglig ´ee, car ces derniers influent grandement sur la qualit ´e de la solution. En cons ´equence, certains groupes de recherches ont ´etudi ´e l’impact de ces param `etres de fac¸on math ´ematique ([Trelea, 2003]) et empirique ([Shi et al., 1998b]). C’est pourquoi cette section est d ´edi ´ee aux d ´etails de la mod ´elisation de l’OEP ainsi qu’au choix des param `etres.
4.5.2.1/ MODELISATION´
Impl ´ementer un algorithme d’OEP implique de d ´eterminer une repr ´esentation des parti- cules qui exploreront l’ensemble des solutions. Le but de ce chapitre est de d ´eterminer un planning d’interventions chirurgicales sur une semaine. Or, pour se faire, il faut uniquement d ´eterminer la date de d ´ebut de chaque intervention. En effet, la dur ´ee des t ˆaches engendr ´ees n’est pas une variable d ´ecisionnelle et d ´epend en grande partie de facteurs externes comme l’ ´etat du patient, les habitudes du chirurgien ou m ˆeme le hasard. C’est pourquoi, pour la r ´esolution du probl `eme, les dur ´ees des interventions et des cycles de st ´erilisation sont fixes (et de pr ´ef ´erence assez grande pour ´eviter les blocages en cas de retard). En cons ´equence, une particule (et donc une solution) sera uniquement constitu ´ee d’un ensemble de dates de d ´ebut d’intervention. On d ´efinit alors les diff ´erents param `etres de l’OEP (certains seront pr ´ecis ´ement d ´etaill ´es dans la suite du pr ´esent chapitre).
· m : nombre de particules g ´en ´er ´ees par l’OEP. · l : nombre de cycles accomplis par l’OEP. · Xk
j : vecteur position de la particule j `a l’ ´etape k. · Vk
j : vecteur vitesse de la particule j `a l’ ´etape k.
· Lkj : meilleure solution trouv ´ee par la particule j `a l’ ´etape k. · Gk
j : meilleure solution trouv ´ee par les particules voisines de la particule j `a l’ ´etape k.
· D : distance minimum pour que deux particules soient voisine. · dk
i, j: distance entre la particule i et j `a l’ ´etape k. · ω : facteur d’inertie. · φ1 : facteur cognitif. · φ2 : facteur social. · Ω1: espace de solution. · Ω2: espace de calcul. · rk 1, r k
2: vecteur de nombre r ´eels al ´eatoire compris en 0 et 1. · Σ : ensemble des scenarii `a traiter.
Lors de l’initialisation de l’algorithme d’OEP, m particules sont cr ´e ´ees et plac ´ees al ´eatoirement dans l’espace de solutions. Une particule j sera plac ´ee `a la position X0 j et anim ´ee d’une vitesse V0j elle aussi d ´etermin ´ee al ´eatoirement. Comme nous l’avons vu pr ´ec ´edemment, la position d’une particule repr ´esente une solution du probl `eme et une solution est compl `etement connue gr ˆace aux dates de d ´ebuts de chaque interven- tion. Une position est un vecteur de taille n comme pr ´esent ´e dans l’ ´equation (4.13). Par
commodit ´e, Xkj peut autant repr ´esenter une position qu’une particule en elle-m ˆeme.
Xkj = (t1, t2, ..., tn) (4.13) Les particules ´evoluent donc dans un espace de dimension n.
Une fois initialis ´ee, l’OEP se d ´ecoupe alors en un nombre d ´etermin ´e de cycles (ou ´etapes), lors de chaque cycle les particules se d ´eplacent suivant une vitesse qui d ´epend de leur vitesse lors du cycle pr ´ec ´edent, de la position de la meilleure solution d ´ej `a visit ´ee par la particule et de la position de la meilleure solution d ´ej `a visit ´ee par les particules de son voisinage. Chacune de ces valeurs est modul ´ee par des param `etres tels que montr ´es dans l’ ´equation (4.14). Vkj+1= ωVkj + φ1r1k(Lkj− X k j)+ φ2r k 2(G k j− X k j) (4.14)
Une fois sa nouvelle vitesse calcul ´ee, chaque particule se d ´eplace. Ainsi sa nouvelle position est donn ´ee par l’ ´equation (4.15)
Xkj+1= Xkj+ Vkj+1 (4.15) Une illustration du calcul de la vitesse est donn ´ee par la figure (4.6). Notons que la vi- tesse ainsi calcul ´ee n’est en r ´ealit ´e pas homog `ene `a une vitesse, il serait plus juste de la voir comme un ´ecart entre deux positions (l’actuelle et la suivante). N ´eanmoins, dans la litt ´erature on parle de vitesse pour des raisons de clart ´e et pour rendre l’analogie avec un essaim plus parlante.
Comme nous l’avons vu pr ´ec ´edemment, la vitesse d’une particule est constitu ´ee de trois