parties.
Tout d’abord, il y a la vitesse d’inertie repr ´esent ´ee par l’expression ωVk
j. Cette compo- sante simule le fait qu’une particule est emport ´ee par sa propre vitesse et qu’elle ne peut pas effectuer de changement ”brusque” de direction. ω est appel ´e le facteur d’inertie, plus il est grand et plus les particules seront soumises `a leur inertie.
Ensuite, il y a la vitesse cognitive repr ´esent ´ee par l’expression φ1r1k(Lkj–X k
j). Cette compo- sante repr ´esente la capacit ´e d’une particule `a ˆetre attir ´ee par la meilleure solution qu’elle ait rencontr ´ee jusque-l `a en esp ´erant trouver mieux dans son voisinage. Lk
j repr ´esente la position de cette meilleure solution donc plus cette position est ´eloign ´ee plus la valeur de (Lkj–Xkj) est importante et donc plus la particule est attir ´ee par cette solution. φ1est appel ´e le facteur cognitif, plus il est ´elev ´e plus les particules sont attir ´ees par leur meilleure solu- tion. rk
1est un vecteur de nombres al ´eatoires compris entre 0 et 1 dont le but est d’assurer la part chaotique du d ´eplacement pour mieux explorer l’espace de solutions.
Enfin, il y a la vitesse sociale repr ´esent ´ee par l’expression φ2rk2(Gkj–X k
j). Cette composante fonctionne globalement comme la pr ´ec ´edente, mais repr ´esente, pour sa part, la capacit ´e d’une particule `a ˆetre attir ´e par la meilleure solution rencontr ´ee par les particules de son voisinage. Le voisinage d’une particule est d ´etermin ´e comme ´etant l’ensemble des parti- cules qui se trouvent `a une distance inf ´erieure `a D. Les positions des particules pouvant ˆetre repr ´esent ´ees par des vecteurs, la distance utilis ´ee est la distance euclidienne (voir ´equation (4.16)). φ2 est appel ´e le facteur social, plus il est ´elev ´e plus les particules sont attir ´ees par la meilleure solution de leur voisinage. rk
2, quant `a lui, est un vecteur construit selon le m ˆeme principe et pour la m ˆeme raison que rk
1. Il est important de noter que dans certains cas, on simplifie le probl `eme en consid ´erant que toutes les particules sont voisines. Dans ce cas, Gk
j devient alors la meilleure solution rencontr ´ee par l’essaim `a l’ ´etape k et s’ ´ecrit alors simplement Gk.
dki, j = v u t m X η=1 (Xkj(η) − Xik(η))2 (4.16)
Les cycles se succ `edent et les particules se d ´eplacent selon les r `egles pr ´ec ´edemment fix ´ees jusqu’ `a ce que la condition d’arr ˆet soit remplie. Dans le cas de la pr ´esente ´etude, cette condition est l’accomplissement d’un nombre d ´etermin ´e de cycles ou le d ´epassement d’une limite de temps. Une fois l’algorithme termin ´e, la meilleure solution rencontr ´ee par l’essaim (le groupe de particules) est consid ´er ´ee comme le r ´esultat de l’OEP.
L’efficacit ´e de l’OEP d ´epend de nombreux facteurs. Parmi ces derniers, on trouve la topo- logie de l’espace de solutions. Pour ce probl `eme, cet espace contient tous les plannings r ´ealisables, c’est- `a-dire tous les vecteurs de taille n tels que chacune de leurs compo-
santes corresponde `a une date de d ´ebut possible. Cet espace est d ´efini par l’ ´equation (4.17)
Ω1 = {(t1, t2, ..., tn)|∀i ∈ [[1, n]], 0 ≤ ti ≤ 5 × T, P ≤ t−i mod (T ) < P‘} (4.17) Ω1est un sous-ensemble discontinu de Rn. Cette discontinuit ´e, due aux horaires d’ouver- tures du bloc op ´eratoire, emp ˆeche les particules de se d ´eplacer correctement. La figure (4.7) montre un exemple de repr ´esentation graphique d’un espace de solutions `a 2 di- mensions (donc avec seulement 2 interventions `a planifier). Sur cette figure, l’espace
FIGURE4.7 – Repr ´esentation de deux particules dans l’espace de solutions ( `a 2 dimen-
sions)
de solutions correspond `a la partie non hachur ´ee du sch ´ema. Le probl `eme est que, lors d’une ´etape, lorsqu’une particule se d ´eplace selon les r `egles donn ´ees pr ´ec ´edemment, il est possible qu’ `a l’ ´etape suivante la position de cette derni `ere corresponde `a un plan- ning impossible (espace hachur ´e). En effet, la zone hachur ´ee du sch ´ema repr ´esente des solutions pour lesquelles au moins une intervention est programm ´ee alors que le bloc op ´eratoire est ferm ´e. Par exemple, la particule X1 correspond `a une solution faisable ce qui n’est pas le cas de la particule X2puisque, pour cette derni `ere, l’horaire de la premi `ere intervention (t1) se trouve en dehors des horaires d’ouverture du bloc op ´eratoire.
Cette topographie particuli `ere n’emp ˆeche pas d’utiliser l’OEP. En effet, chaque solution est ´evalu ´ee, comme nous l’avons vu plus t ˆot, par le nombre de boites de DM n ´ecessaire pour la r ´ealiser. Dans ce cas, lorsqu’une particule se trouve dans une zone correspon- dant `a un planning irr ´ealisable son ´evaluation est consid ´er ´ee comme ´etant n+ 1 (et donc forc ´ement sup ´erieur `a une solution faisable). Le probl `eme est que la pr ´esence de toutes ces zones ”mortes” rend le calcul plus long et moins pr ´ecis. De plus, plus il y a d’in-
terventions `a ordonnancer, plus les chances qu’une particule se trouve `a une position irr ´ealisable est grande.
Pour pallier `a ce probl `eme, nous cr ´eons un nouvel espace de solutions ne contenant que des solutions valides. L’ ´equation (4.18) d ´efinit cet espace que nous appelons espace de calcul et noteronsΩ2.
Ω2= {(t1, t2, ..., tn)|∀i ∈ [[1, n]], 0 ≤ ti< 5 × (P
0
− P} (4.18)
On peut imaginerΩ2comme ´etantΩ1 sans les zones ”mortes”. Cet espace ne repr´esente plus de solutions concr `etes, mais permet de faciliter les calculs et surtout de fluidifier le d ´eplacement des particules. Lors de l’initialisation de l’OEP, il est alors possible de cr ´eer des particules al ´eatoirement r ´eparties dans l’espace des solutions (en ´evitant les solu- tions irr ´ealisables) puis de ”transf ´erer” ces derni `eres dans l’espace de calcul. Ensuite, les cycles de l’OEP se d ´eroulent jusqu’ `a atteindre la condition d’arr ˆet. D `es lors, les par- ticules sont ”ramen ´ees” dans l’espace des solutions dans lequel elles sont facilement interpr ´etables comme des plannings.
Pour passer d’un espace `a l’autre une transformation doit ˆetre appliqu ´ee aux particules. La fonction f d ´efinie par les ´equations (4.19) et (4.20) permet de passer une particule de l’espace de solutions vers l’espace de calcul. Une fois l’OEP termin ´ee, la fonction f−1 permet de faire l’op ´eration inverse, c’est `a dire de ramener une particule depuis l’espace de calcul dans l’espace de solutions.
f : Ω1 → Ω2 (t−1, t−2, ..., t−n) 7→ f((t−1, t − 2, ..., t − n))= (t0−1 , t 0− 2 , ..., t 0− n ) (4.19) ti= (ti− P) − t i T × (T+ P − P0) (4.20) f−1 : Ω2 → Ω1 (t0−1 , t0−2 , ..., t0−n ) 7→ f−1((t0−1 , t20−, ..., t0−n ))= (t−1, t−2, ..., t−n) (4.21) ti−= (ti0−+ T−)+ (T + T−− T+) × (t0−i mod (T+− T−)) (4.22) La figure (4.8) donne une repr ´esentation graphique de l’utilisation de ces fonctions pour passer d’un espace `a l’autre pendant le processus d’OEP. Une fois les m ´ecanismes de fonctionnement de l’OEP correctement d ´efinit il est important de se pencher sur la ques-