Nouvel exemple de planning

4.3.2/ CARACTERISATION DU PROBL´ EME`

Une fois la possibilit ´e d’am ´elioration des plannings d’interventions mise en ´evidence, il est important de se pencher sur les caract ´eristiques du probl `eme. On remarque que ce dernier partage un certain nombre de similarit ´es avec son ´equivalent dans le do- maine industriel. Dans une industrie, il n’est en effet pas rare de devoir organiser des plannings de personnels ou de cr ´eations de produits en fonction de disponibilit ´e de machines-outils ou de mati `eres premi `eres. En cons ´equence, il semble int ´eressant de consid ´erer les m ´ethodes d’optimisation utilis ´ees dans ce domaine pour tenter de les adapter au probl `eme consid ´er ´e ici. Par exemple, une m ´ethode de caract ´erisation de probl `emes fr ´equemment utilis ´ee dans l’industrie est une nomenclature propos ´ee par [Graham et al., 1979]. Cette nomenclature permet d’identifier un probl `eme d’ordonnan- cement de produits. On suppose qu’un ensemble de produits doit ˆetre trait ´e par un en- semble de machines qui doit r ´epondre `a certaines contraintes. Cette m ´ethode de classifi- cation met l’accent sur certains aspects tels que le fonctionnement global de l’atelier, les

contraintes mises en jeux ou encore les crit `eres de performances. L’id ´ee est de classifier chaque probl `eme d’ordonnancement suivant trois param `etres α, β et γ.

· Le param `etre α permet de caract ´eriser l’atelier, il est lui-m ˆeme compos ´e de deux param `etres : α= α1α2

· α1 repr ´esente l’agencement des machines de l’atelier. Ce dernier peut, par exemple, ˆetre un atelier `a machine unique, `a machines parall `eles, `a chemine- ment unique (flow shop), `a cheminement multiples (job shop) ou autre configu- ration particuli `ere. Chaque agencement est repr ´esent ´e par une lettre.

· α2 indique le nombre de machines dans l’atelier et si ce nombre est fixe ou variable.

· Le param `etre β liste les contraintes qui restreignent le probl `eme. Ces contraintes peuvent ˆetre de diff ´erentes natures.

· Les contraintes de temps allou ´e, issues g ´en ´eralement d’imp ´eratifs de gestion et relatives aux dates limites des t ˆaches ou `a la dur ´ee totale d’un projet. · Les contraintes d’ant ´eriorit ´e et plus g ´en ´eralement les contraintes de coh ´erence

technologique, qui d ´ecrivent le positionnement relatif de certaines t ˆaches par rapport `a d’autres.

· Les contraintes de calendrier li ´ees au respect d’horaires de travail, etc.

· Le param `etre γ, quant `a lui, repr ´esente les crit `eres de performances consid ´er ´es. Le choix de ce param `etre est crucial, car il d ´etermine l’aspect qui sera optimis ´e.

Le principe ici est de comparer l’ordonnancement de produits et de machines `a celui d’in- terventions chirurgicales. Il existe de nombreuses ´etudes qui identifient le bloc op ´eratoire `a un ”atelier hybride `a cheminement unique” ([Fei et al., 2010, Saadani et al., 2006, Jebali et al., 2006, Hanset et al., 2007]). Concr `etement, les chercheurs derri `eres ces ´etudes substituent les patients aux produits et les diff ´erentes phases d’une intervention aux machines. On consid `ere alors que chaque patient doit subir chaque phase dans l’ordre pour que l’intervention soit termin ´ee.

Le travail de cette th `ese se focalise, comme nous l’avons vu, sur la disponibilit ´e des DM. En cons ´equence, nous proposons d’assimiler les interventions aux produits et les ma- chines aux boites de DM. Ainsi, le probl `eme consid ´er ´e devient, selon la nomenclature, un RI/prec, pmtn/”minNbBoites”.

Commenc¸ons par identifier ces param `etres.

· α1 = R : la lettre R signifie que les interventions se font en parall`ele et sont ind ´ependantes l’une de l’autre. Malgr ´e le fait que les boites de DM (donc les ma- chines) puissent ˆetre identiques

ram `etre d ´ecoule directement du fait que le nombre de boites de DM est lui m ˆeme fixe.

· β= prec, pmtn :

prec : ce terme est la contraction de ”precedence” (soit ”pr ´ec ´edence” en franc¸ais). Cette contrainte est utilis ´ee lorsque certaines t ˆaches ne peuvent d ´ebuter tant qu’une ou plusieurs autres t ˆaches pr ´ecises ne sont pas termin ´ees. Dans notre cas, chaque t ˆache (chaque intervention) sera, comme nous le verrons par la suite, s ´epar ´ee en deux sous-t ˆaches. La premi `ere repr ´esente l’utilisation de la boite concern ´ee lors de l’intervention et son transport vers le service de st ´erilisation tandis que la seconde concerne la phase de st ´erilisation et de sto- ckage de la ladite boite.

pmtn : ce terme est la contraction de ”preemption” (soit ”priorit ´e” en franc¸ais). Cette contrainte signifie qu’une t ˆache peut ˆetre stopp ´ee pendant son ex ´ecution pour permettre, par exemple, `a une autre t ˆache plus prioritaire de s’effectuer. Dans le cas de la pr ´esente ´etude, il est en effet possible de stopper le proces- sus de st ´erilisation `a certains moments clefs en faisant ”attendre” une boite. Il est important de noter que ceci est impossible lors d’une intervention puis- qu’une fois cette derni `ere d ´emarr ´ee elle doit ˆetre termin ´ee. Cette particularit ´e justifie le d ´ecoupage de chaque t ˆache en deux sous-t ˆaches.

· γ = minNbBoites : le crit`ere choisi consiste `a cr´eer un planning qui utilise le moins de boites de DM possible. En effet, puisqu’une boite peut ˆetre st ´erilis ´ee pour ˆetre r ´eutilis ´ee, il est possible d’agencer les interventions de fac¸on `a utiliser le plus pos- sible chaque boite afin que globalement le nombre de boites utilis ´ees soit minimal. Il n’existe pas de param `etres pr ´e ´etablis dans la nomenclature de Graham pour repr ´esenter ce crit `ere de performance. Cette constatation s’explique par le fait que dans notre analogie consistant `a comparer un bloc op ´eratoire et un atelier, le crit `ere de performance consid ´er ´e ici se traduirait par la minimisation du nombre de machines utilis ´ees. Ce crit `ere de performance inhabituelle nous force donc `a consid ´erer le probl `eme d’ordonnancement suivant un point de vue nouveau.

Maintenant que les caract ´eristiques du probl `eme sont d ´efinies, il devient possible d’en proposer une mod `elisation une math ´ematique.

4.4/

`

´

Comme nous l’avons vu pr ´ec ´edemment, le probl `eme consid ´er ´e ici peut difficilement ˆetre consid ´er ´e comme un probl `eme d’ordonnancement usuel `a cause du crit `ere de perfor-

mance choisit. C’est pourquoi, pour nous assurer d’en avoir une mod ´elisation fid `ele, nous proposons d’en d ´efinir un mod `ele MILP. Au vu des travaux men ´es que l’on peut trouver dans la litt ´erature, il semble qu’une mod ´elisation bas ´ee sur le probl `eme de bin-packing soit la plus adapt ´ee (voir d ´efinition 20). Dans notre cas, les boites du bin packing sont remplac ´ees par les boites de DM et les objets par les interventions chirurgicales. De plus, dans le probl `eme du bin packing chaque objet poss `ede un certain volume qui, ici, sera remplac ´e par la dur ´ee de l’intervention correspondante, ou pour ˆetre plus pr ´ecis, de la t ˆache qui en d ´ecoule (intervention, transport, st ´erilisation, stockage). Le probl `eme devient alors d’allouer chaque intervention `a une boite de DM en s’assurant de ne pas d ´epasser le temps disponible (g ´en ´eralement une semaine). Il sera n ´ecessaire d’ajouter des contraintes temporelles pour respecter les contraintes de pr ´ec ´edence et de priorit ´e vue pr ´ec ´edemment, mais aussi pour s’assurer que deux interventions utilisant la m ˆeme boite de DM ne se chevauchent pas (temporellement parlant).

Pour rappel, on consid `ere que chaque intervention `a ordonnancer induit la cr ´eation de deux sous t ˆaches qui correspondent pour la premi `ere au processus li ´e au bloc op ´eratoire et pour la seconde `a ceux li ´es `a la st ´erilisation.

Nous d ´efinissons alors le mod `ele MILP de l’ordonnancement des interventions chirurgi- cales sur une semaine avec comme objectif d’utiliser le moins de boites de DM possible. Les param `etres du mod `ele peuvent alors ˆetre d ´efinis.

· n : nombre d’interventions.

· Pi: dur ´ee de l’intervention i et du transport de la boite correspondante. · Si : dur ´ee du processus de st ´erilisation complet de la boite de l’intervention i. · S+: date d’ouverture du service de st ´erilisation.

· S−_{: date de fermeture du service de st ´erilisation.} · P+: date d’ouverture du bloc op ´eratoire.

· P−_{: date de fermeture du bloc op ´eratoire.}

· T : dur ´ee d’ouverture du service de st ´erilisation sur une journ ´ee (T = S−_{– S}+_). On consid `ere ensuite les indices d’indexation suivants :

· i : index des interventions (1 ≤ i ≤ n). · j : index des boite de DM (1 ≤ j ≤ n). · k : index les jours de la semaine (1 ≤ k ≤ 5).

Ce qui nous permet d’introduire les variables du probl `eme :

variables principales :

· xi, j,k: variable binaire ´egale `a 1 si et seulement si l’intervention i utilise la boite de DM j pendant le jour k.

· yj : variable binaire ´egale `a 1 si et seulement si la boite de DM j est utilis ´ee au moins une fois dans la semaine.

variables secondaires : · t_i+, t−

i : respectivement date de d ´ebut et de fin de la t ˆache i.

· ai, bi, ci : variables binaires sans signification particuli `ere, utilis ´ees pour cr ´eer les contraintes temporelles.

Une fois les diff ´erents param `etres d ´efinis, on pose pour fonction objectif la minimisation du nombre de boite de DM utilis ´ee.

Minimiser n X

j=1

yj (4.4)

Cette fonction est sujette `a un certain nombre de contraintes. n X i=1 xi, j,k× (P+_i + S+_i) ≤ T × yj ∀ j ∈ [[1, n]] ∀k ∈ [[1, 5]] (4.5) n X j=1 5 X k=1 xi, j,k= 1 ∀i ∈ [[1, n]] (4.6) xi1, j,k× xi2, j,k× (t+i1 − t − i2) × (t − i1 − t + i2) ≥ 0 ∀i1∈ [[1, n]] ∀i2∈ [[1, n]] ∀ j ∈ [[1, n]] ∀k ∈ [[1, 5]] (4.7) P++ ai× T ≤ ti+≤ P −_{+ a} i× T ∀i ∈ [[1, n]] (4.8) P++ ai× T ≤ ti+ P+i ≤ P −_{+ a} i× T ∀i ∈ [[1, n]] (4.9) S++ bi× T ≤ t+i + P+i ≤ S −_{+ b} i× T ∀i ∈ [[1, n]] (4.10) S++ ci× T ≤ t−i ≤ S −_{+ c} i× T ∀i ∈ [[1, n]] (4.11) (k − 1) × T × xi, j,k ≤ t+_i ≤ 5 × T × (1 − k) × xi, j,k ∀i ∈ [[1, n]] ∀ j ∈ [[1, n]] ∀k ∈ [[1, 5]] (4.12)

Ce mod `ele cherche donc `a minimiser le nombre total de boites de DM utilis ´ees pour respecter un planning ´etabli sur une semaine ( ´equation 4.4). Les contraintes (4.5) et (4.6) repr ´esentent des contraintes classiques du probl `eme de bin packing. Dans les faits,

elles assurent que chaque t ˆache soit bien assign ´ee `a un jour et une boite de DM pr ´ecise. La contrainte (4.7), quant `a elle, emp ˆeche deux taches utilisant une m ˆeme boite de se chevaucher temporellement parlant. Ensuite, les contraintes (4.8) `a (4.11) forcent les sous-t ˆaches `a ˆetre plac ´ees de fac¸on `a respecter les horaires d’ouverture du bloc et du service de st ´erilisation. En effet, le d ´ebut et la fin d’une intervention doivent se situer le m ˆeme jour et pendant les horaires d ´edi ´es (idem pour la st ´erilisation des DM). Enfin, la contrainte (4.12) permet de d ´efinir le jour de chaque intervention. On notera que la l’ ´equation (4.7) n’est pas lin ´eaire, elle est not ´ee ainsi pour plus de clart ´e. La version lin ´eaire de ce mod `ele peut ˆetre trouv ´ee en annexe (C). De plus, cette contrainte est non-triviale, c’est pourquoi, la section suivante sera consacr ´ee `a l’explication de cette derni `ere.

4.4.1/ LA CONTRAINTE DE ”NON-CHEVAUCHEMENT”

Comme nous l’avons vu pr ´ec ´edemment, la contrainte de non-chevauchement ( ´equation 4.7) du mod `ele MILP permet de s’assurer que deux t ˆaches n ´ecessitant une m ˆeme boite de DM ne se chevauchent pas temporellement (c’est- `a-dire qu’il n’existe aucune date pour laquelle les deux t ˆaches ont lieu simultan ´ement). Pour rappel, les informations tem- porelles connues sur une t ˆache sont :

· t+_i : sa date de d ´ebut (l’intervention commence)

· t−_i : sa date de fin (la boite de DM est st ´erilis ´ee et stock ´ee)

Notons alors respectivement t₁+ et t₁− les dates de d ´ebut de fin de la t ˆache 1 et t+₂ et t₂− celles de la t ˆache 2. La figure (4.5) repr ´esente alors tous les placements temporels relatifs possibles entre les deux t ˆaches. Sur la figure, les cas de chevauchement sont marqu ´es