2.5 Autres partitions d’arˆetes des graphes de genre born´e
2.5.1 Partition d’arˆetes des graphes de genre born´e en g-forˆets
Une forˆet plong´ee dans la sph`ere S0 ne s´epare pas la surface puisqu’elle ne contient pas de cycle. Il est donc raisonnable de g´en´eraliser cette notion de forˆet sur des surfaces autre que la sph`ere de la mˆeme mani`ere. On d´efinit une g-forˆets comme ´etant un plongement de graphe sur la surface Sg ne s´eparant pas Sg. D’apr`es la formule d’Euler, les g-forˆets de n sommets ont au plus n−1 + 2g arˆetes puisqu’elles n’ont qu’une seule face. En fait les graphes que l’on peut plonger de mani`ere `a obtenir une g-forˆet peuvent ˆetre construits
`a partir d’une forˆet en ajoutant 2g arˆetes sans rajouter de sommets. Il est donc possible de partitionner les graphes de genre g en 3 g-forˆets qui ne sont pas n´ecessairement bien plong´ees. En effet, les graphes de genre orientablegpeuvent ˆetre partitionn´es en trois forˆets plus 6g−3 arˆetes d’apr`es le corollaire 1. Il suffit de rajouter 2g−1 `a chaque forˆet de la partition afin d’obtenir une partition en g-forˆets.
On peut se poser la question de savoir s’il on peut d´ecomposer une carte G de genre orientable g en 3 g-forˆets, c’est-`a-dire trouver une partition des arˆetes en trois parties de G dont chaque partie induit une sous-carte correspondant `a une g-forˆet plong´ee sur Sg. C’est bien entendu possible pour g = 0 et ceci en temps lin´eaire grˆace au r´ealiseur de Schnyder [85]. En fait, il est possible de r´ealiser une telle d´ecomposition pour g = 1.
Th´eor`eme 8. Les arˆetes d’une triangulation torique peuvent ˆetre d´ecompos´ees en 3 1-forˆets bien plong´ees en temps lin´eaire.
2.5. Autres partitions d’arˆetes des graphes de genre born´e 43
D´emonstration. On utilise l’algorithme de partition d´ecrit dans la partie pr´ec´edente. Il suffit de placer les 3 arˆetes de A0 dans les parties A1, A1 et A3 en cr´eant des cycles non-s´eparants dans les graphes induits par les parties. Pour les arˆetes plac´ees dans A0 durant l’´etape 2 de l’algorithme, il suffit de les replacer dans les parties dont on les a enlev´ees afin de rendre les sous-graphes induits par les parties acycliques. Les cycles dont on les avait supprim´ees sont non-s´eparants. Pour les arˆetes plac´ees dans A0 durant l’´etape 3 de l’algorithme, on consid`ere deux cas :
– Cas 1 : A0 ⊂T et pour toute arˆete xy deA0, avec x= ref(xy), on aCF(y) = c.
Pour i = 1,2,3, on place une arˆete de A0 dans la partie Ai. On cr´ee ainsi 1 cycle non-s´eparant dans le grapheG[Ai] car dans le cas ou i=c, on cr´ee un cycle s´eparant selon le tambourin et dans le cas i 6= c, on cr´ee un cycle allant du cot´e gauche au cot´e droit du tambourin et donc non-s´eparant. Les sous-graphes obtenus sont donc non-s´eparant.
– Cas 2 : Les autres cas.
Dans tous les autres cas, on choisit de placer les arˆetesxy deA0 dansFi de telle sorte que l’on mette au plus une arˆete dans chaque partie et que i 6=CA(x). Dans ce cas on cr´ee un cycle non-s´eparant qui n’est pas s´eparant selon les cycles du tambourin.
Les graphes induits par les parties ont donc au plus deux cycles non-s´eparants dont chacun n’est pas s´eparants selon l’autre. Les sous-graphes obtenus sont donc non-s´eparant.
On conjecture que cette propri´et´e est vraie pourg >1. Prouver ou r´efuter cette conjec-ture semble assez difficile car c’est une d´ecomposition d’une carte en sous-cartes plutˆot qu’une partition d’arˆetes.
Conjecture 1. Les arˆetes d’une triangulation de Sg peuvent ˆetre d´ecompos´ees en 3 g-forˆets.
En plus des arbres de Schnyder, il existe une autre partition d’arˆetes des graphes pla-naires en forˆets ayant des propri´et´es qui nous seront utiles dans les prochains chapitres.
Th´eor`eme 9 ([53]). Les arˆetes de tout graphe planaire G peuvent ˆetre partitionn´ees en trois forˆets dont une est de degr´e born´e.
S’inspirant de ce r´esultat sur les planaires, on conjecture la propri´et´e suivante sur les graphes de genre g.
Conjecture 2. Les arˆetes d’une triangulation deSg peuvent ˆetre d´ecompos´ees en 3g-forˆets dont une est de degr´e born´ee d´ependant uniquement de g.
Cette conjecture semble tr`es difficile car on ne sait mˆeme pas prouver ou r´efuter cette conjecture si on se restreint `a une partition des arˆetes du graphe plutˆot qu’`a une d´ecomposition de la carte. On pourrait penser que le r´esultat de [53] pour les graphes
planaires combin´e avec notre partition des graphes toriques en un graphe planaire et un tambourin permettrait de prouver cette conjecture pour g = 1. Malheureusement, cette partition ne satisfait pas la condition locale de Schnyder ou une propri´et´e approchant. Or une telle condition locale est n´ecessaire pour notre construction. Par cons´equent, il n’est pas possible de r´esoudre cette conjecture pour g = 1 en utilisant la mˆeme construction.
2.5.2 Partition d’arˆ etes des graphes de genre born´ e en graphes g -ext´ erieurs
Les graphes planaires ext´erieurs sont les graphes que l’on peut plonger sur la sph`ereS0 tels que tous leurs sommets soient sur le bord d’une seule face appel´ee face ext´erieure. Il semble naturel d’´etendre cette notion aux surfaces de genre sup´erieur. On d´efinit donc les graphes g-ext´erieurs comme les graphes que l’on peut plonger sur Sg tels que tous leurs sommets soient sur le bord d’une seule face. Ces familles de graphes n’ont ´et´e ´etudi´ees que depuis peu [33, 29] et peu de propri´et´es leur sont connues. Ce qui nous int´eresse ici est une g´en´eralisation d’une partition connue pour les graphes planaires. Il est possible de partitionner les arˆetes d’un graphe planaire en deux graphes planaires ext´erieurs [54]. Par contre, la d´ecomposition d’une carte planaire en deux cartes planaires ext´erieurs n’est pas toujours possible [61]. On conjecture la g´en´eralisation suivante pour les graphes de genre sup´erieur.
Conjecture 3. Les arˆetes de tout graphe de genre g peuvent ˆetre partitionn´ees en un graphe (g−k)-ext´erieur et un graphe k-ext´erieur aveck 6g.
Cette conjecture est vraie pour toute carte ayant un cycle hamiltonien s´eparant. En effet, dans ce cas il est possible de couper le graphe en deux graphes un (g−k)-ext´erieur et l’autre k-ext´erieur qui ont pour face ext´erieure le cycle hamiltonien. Cette conjecture est donc vraie pour les triangulations du tore 5-connexes [90]. Prouver cette conjecture semble tr`es complexe car contrairement au graphe planaires ext´erieurs peu de propri´et´es sont connues sur les graphes g-ext´erieurs.
2.6 Conclusion
Le r´esultat principal de cette section est la partition des graphes de genreg en 3 forˆets.
Une am´elioration significative pourrait ˆetre de trouver une partition en forˆets ayant des propri´et´es int´eressantes, comme par exemple une borne sur le diam`etre des arbres par rapport a celui du graphe ou encore des propri´et´es locales similaires `a celle des r´ealiseurs de Schnyder. Dans ce cadre, on propose la g´en´eralisation suivante des r´ealiseurs de Schnyder aux graphes de genre sup´erieur.
Conjecture 4. Les arˆetes de toute carte de genre g ayant n sommets peuvent ˆetre parti-tionn´ees en3g-forˆets en temps O(k.n)avec k =k(g). De plus, les arˆetes autour de chaque sommet forment au plus k blocs de couleurs diff´erentes.
2.6. Conclusion 45
Cette conjecture est v´erifi´ee pour g ={0,1}. En effet, dans notre partition des graphes toriques, les arˆetes autour des sommets forment au plus un nombre constant de blocs de couleurs diff´erentes. Il est donc raisonnable de penser qu’elle est aussi vraie pour les graphes de genre sup´erieur.
Deuxi` eme partie
Repr´ esentation implicite de graphes
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