3.5 Conclusion
Dans la premi`ere partie du chapitre, on a prouv´e qu’un graphe Fn,2-universel induit minimal contient au moins 11n/6 + Ω(1) sommets et au plus 5n/2 +O(1) sommets. Une question naturelle qui vient `a l’esprit est de savoir s’il est possible de r´eduire l’´ecart entre 11/6 et 5/2 pour la constante multiplicative. Du fait de la simplicit´e de la structure des graphes ´etudi´es, les graphes de degr´e 2, la question peut sembler facile. En fait, le probl`eme est relativement difficile et am´eliorer le majorant pour cette constante n’est pas ´evident car cela n´ecessiterait une construction totalement diff´erente. Malgr´e tout, on conjecture qu’il est possible d’am´eliorer `a la fois le minorant et le majorant pour ce probl`eme et qu’il existe un graphe universel induit d’ordre minimum ayant 2n+O(1) sommets.
Pour le cas des graphes de degr´ekimpair, si on ne tient pas compte du facteur multipli-catif polylogarithmique, il reste un facteur multiplimultipli-catif de n1/2−1/k entre le majorant et le minorant pour la taille du graphe Fn,k-universel induit. Un probl`eme int´eressant pourrait ˆetre de r´eduire cet ´ecart, particuli`erement pour des valeurs de k ´elev´ees. Une am´elioration sensible du majorant requerrait une approche totalement diff´erente de celle utilis´ee dans ce chapitre. En effet, on utilise une construction d´eduite d’un graphe universel de la famille Fn,k et ce graphe utilis´e est optimal `a un facteur polylogarithmique pr`es [4].
Le grapheFn,k-universel induit pourk pair a un degr´e maximum 4k/2 d´ependant seule-ment dek. En revanche, pourkimpair, le grapheFn,k-universel induit a un degr´e maximum c2(k)nk−1−2/klog4+4/kn et qui d´epend donc `a la fois dek etn. Consid´erant le fait que dans le cas o`u k est pair notre construction est quasi optimale alors qu’elle ne l’est pas pour k impair, on conjecture qu’il existe une fonction f(k) telle que l’existence d’un graphe Fn,k-universel induit implique l’existence d’un graphe Fn,k-universel de mˆeme ordre mais ayant un degr´e born´e par f(k).
Pour le cas k = 2 et plus g´en´eralement le cas o`uk est pair, on a montr´e que le graphe universel donne un sch´ema d’adjacence efficace. Malheureusement, pour le cas k impair, le graphe universel induit ne donne pas de sch´ema d’adjacence efficace. En effet, l’´etiquetage peut prendre un temps sur-lin´eaire et surtout l’adjacence ne peut ˆetre test´ee de mani`ere rapide. Cela montre que les deux approches du probl`eme, combinatoires et algorithmiques, ne sont donc pas totalement ´equivalentes puisque la version algorithmique du probl`eme prend en compte deux param`etres suppl´ementaires, les complexit´es en temps des fonctions d’adjacence et d’´etiquetage. C’est pour cela que par la suite on consid´erera le probl`eme uniquement sous sa forme algorithmique.
Chapitre 4
Sch´ emas d’adjacence utilisant le parcours bondissant
4.1 Introduction
Repr´esenter un graphe en m´emoire est un probl`eme basique mais n´eanmoins fonda-mental dans le domaine des structures de donn´ees. Il existe deux mani`eres ´el´ementaires d’accomplir cette tache, utiliser une matrice d’adjacence (une matrice de bool´eens qui code pour chaque paire de sommets la pr´esence ou non d’une arˆete entre les deux sommets) ou bien des listes d’adjacence (pour chaque sommet, on stocke une liste de ses voisins). Cette deuxi`eme repr´esentation est quasi-optimale en terme d’espace m´emoire utilis´e mais les requˆetes d’adjacence requi`erent une recherche dans une liste. En revanche, dans la premi`ere repr´esentation, les requˆetes d’adjacence se font en temps constant mais par contre l’espace de stockage est sur-lin´eaire en la taille du graphe.
Une autre technique, connue sous les noms de repr´esentation distribu´ee et de sch´ema d’´etiquetage, consiste `a distribuer localement la repr´esentation globale du graphe parmi ses sommets. Le but est de stocker localement une information utile sur chaque sommet et de la rendre commod´ement accessible. Pour cela, on se fixe une requˆete portant sur un ou plusieurs sommets du graphe `a laquelle la repr´esentation distribu´ee doit permettre de r´epondre localement. Plus pr´ecis´ement, on attribue une ´etiquette binaire `a chaque som-met du graphe telle que la requˆete choisie puisse ˆetre calcul´ee en utilisant seulement les
´etiquettes des sommets concern´es. De plus, on force les ´etiquettes `a ˆetre distinctes afin d’avoir en plus de l’information encod´ee, un identifiant pour chaque sommet.
Concr`etement, pour le cas de la requˆete d’adjacence, il doit ˆetre possible de tester la pr´esence d’une arˆete entre deux sommets en examinant seulement leurs ´etiquettes. Cette repr´esentation distribu´ee connue sous les noms de sch´ema d’adjacence et de repr´esentation implicite est ´equivalente `a la notion de graphe universel induit comme indiqu´e dans le chapitre pr´ec´edent. Il est possible grˆace `a cette repr´esentation de manipuler le graphe en utilisant uniquement les ´etiquettes du sch´ema puisque le graphe peut enti`erement ˆetre
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recalcul´e en interrogeant la repr´esentation implicite pour toutes les paires de sommets. Le probl`eme est de minimiser la longueur des ´etiquettes tout en gardant un calcul des requˆetes rapide.
Les repr´esentations distribu´ees sont largement utilis´ees dans le domaine du calcul dis-tribu´e comme explicit´e dans [50, 66]. Elles ont aussi des applications dans les moteurs de re-cherches XML [1] ainsi que pour les applications distribu´ees telles que les r´eseaux pair-`a-pair ou le routage dans les r´eseaux. Dans ce cadre, de nombreuses repr´esentations distribu´ees ont ´et´e d´evelopp´ees pour des requˆetes diverses et vari´ees. Les r´esultats existants concer-nant la repr´esentation implicite de graphe ont d´ej`a ´et´e abord´es dans le chapitre pr´ec´edent puisque ils sont directement li´es `a la notion de graphe universel. On conseille donc au lec-teur de se r´ef´erer `a l’introduction du chapitre pr´ec´edent afin d’en savoir plus sur ceux-ci.
Les autres types de requˆetes ´etudi´ees comprennent en autre le routage [37, 38, 44, 67, 92], les requˆetes de distance [12, 49], la connectivit´e et les flots [60, 65]. Plus particuli`erement pour les arbres enracin´es, le cas des requˆetes d’ascendance (d´eterminer si un sommet est l’ancˆetre d’un autre) [2, 1], de fr`eres [1], de plus petit ancˆetre commun [8] et de dis-tance born´ee [59, 7] ont ´et´e ´etudi´es. Un r´ecapitulatif des r´esultats connus sur les sch´emas d’adjacence peut ˆetre trouv´e dans [50].
Dans ce chapitre, on s’int´eresse `a un sch´ema d’adjacence pour les arbres enracin´es de degr´e interne born´e par ˆd, c’est-`a-dire les arbres dont les sommets internes ont au plus ˆdfils
´etant internes. Cette sous-famille des arbres contient la famille des chenilles (arbres dont les sommets internes induisent un chemin) pour ˆd 6 2 et des arbres de degr´e born´e par d. On d´ecrit tout d’abord, en guise d’introduction au sch´ema global, un sch´ema sp´ecifiqueˆ aux chenilles qui utilise des ´etiquettes de logn+ 6 bits pour les chenilles de n sommets.
Bien que ce sch´ema reste relativement simple, il est le premier sch´ema connu pour une famille de graphes de degr´e non born´e avec des ´etiquettes de logn+O(1) bits. Ensuite, on pr´esente un sch´ema pour les arbres de degr´e interne born´e par ˆd ayantnsommets avec des
´etiquettes de logn+O(log ˆd) bits. Bien que ces r´esultats soit en eux-mˆemes int´eressants car les sch´emas connus pour les arbres ne se simplifient pas pour ces sous-familles, c’est surtout la technique utilis´ee qui est la plus importante. En effet, cette technique dite de “parcours bondissant” diff`ere grandement des techniques d’´etiquetage pr´ec´edemment connues et on peut esp´erer pouvoir l’utiliser sur d’autres familles de graphe. Ces r´esultats ont fait l’objet de pr´esentations `a des conf´erences internationales [20, 21].