Carte combinatoire

Soit G un graphe multiple connexe dans une surface S orientable. On se donne dans S une orientation locale dans le sens trigonom´etrique. Pour un sommetv deV(G), larotation

1.3. Plongements de graphes 17

locale env not´eπ_v est la relation de succession des arˆetes incidentes `av autour du sommet telle que e2 =πv(e1) si e2 est l’arˆete succ´edant e1 dans le sens trigonom´etrique autour de v.

D´efinition 2. Le syst`eme de rotation du plongement d’un graphe G dans une surface S orientable est l’ensemble π = {πv |v ∈V(G)}. Une carte combinatoire est le couple

< G, π >.

Le th´eor`eme suivant nous permet de consid´erer les plongements de graphe de mani`ere combinatoire.

Th´eor`eme 2. Chaque plongement cellulaire d’un graphe Gdans une surface orientable S est uniquement d´etermin´e, `a hom´eomorphisme pr`es, par son syst`eme de rotation.

Une suite W = v0e1v1e1· · ·ekvk de sommets vi et d’arˆetes ei de G tel que ei = vi−1vi

(i 6 k) et v₀ = v_k est appel´e cheminement de G. On appelle un π-cheminement d’une carte combinatoire, un cheminement obtenu comme suit : on part d’un sommet arbitraire v et d’une arˆete uv incidente `a v, on parcourt l’arˆete e et on continue le cheminement en traversant l’arˆete e<sup>′</sup> = π<sub>v</sub>(e). Les π-cheminements d´elimitent les faces du plongement du graphe correspondant. En effet, chaque partie connexe par arcs de S\Gd’un plongement G sur la surface S est d´elimit´ee par des arˆetes formant un π-cheminement dans la carte correspondante. Chaque arˆete d’une carte combinatoire est contenue soit une seule fois dans exactement deux π-cheminements, soit deux fois dans un seul π-cheminement. On appelle ce dernier type d’arˆete des arˆetes singuli`eres.

Chapitre 2

Partition des arˆ etes des graphes de genre born´ e

2.1 Introduction

En algorithmique des graphes, une technique tr`es employ´ee consiste `a “diviser pour r´egner”. En effet, il est souvent utile de diviser une instance d’un probl`eme en plusieurs sous-instances plus simples ou de taille moindre, de traiter chaque sous-instance s´epar´ement et enfin de combiner les solutions obtenues pour chaque sous-instance afin d’obtenir une solution pour l’instance de d´epart. Dans cette optique de simplification, il est souvent n´ecessaire que les sous-graphes induits par les parties aient des propri´et´es sp´ecifiques. Cette technique est tr`es utile et notamment pour la repr´esentation distribu´ee de graphes comme nous le verrons dans la deuxi`eme partie.

Les partitions des arˆetes de graphes en forˆets ou arbres font partie des types de partitions les plus ´etudi´ees. Dans ce chapitre, nous nous sommes int´eress´es `a de telles partitions pour les graphes sur surface. L’un des premiers r´esultats connus sur les partitions en forˆets est une caract´erisation des graphes pouvant ˆetre partitionn´es en k forˆets dits d’arboricit´e k, suivant le ratio du nombre d’arˆetes sur le nombre de sommets de leurs sous-graphes [72].

En utilisant la formule d’Euler, il est possible d’obtenir en tant que r´esultat pr´eliminaire un majorant en O(√g) pour l’arboricit´e des graphes de genre d’Euler g.

Un autre param`etre int´eressant li´e aux partitions de graphes en forˆets est la densit´e arborescente de graphe, c’est-`a-dire le nombre maximum d’arbres couvrants arˆete-disjoints contenus dans le graphe. En effet, si un graphe de n sommets et m arˆetes a une densit´e arborescente k alors on peut partitionner ses arˆetes enk arbres plus un ensemble d’au plus m−k(n−1) arˆetes. En plus de son utilisation pour les partitions d’arˆetes, le probl`eme de recherche du nombre maximal d’arbres couvrants apparaˆıt dans la construction de sch´emas de routage efficaces dans les r´eseaux `a routage “wormhole”. Dans de tels r´eseaux [74], le message est d’abord segment´e en unit´e d’information de taille constante. Ensuite, chaque sommet interm´ediaire transmet l’unit´e d’information `a son voisin conform´ement au chemin

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utilis´e par la premi`ere partie du ver appel´ee tˆete du ver. Bien qu’un arbre couvrant soit suffisant pour construire un algorithme de routage sans blocage [69], il est clair que pouvoir obtenir plusieurs arbres couvrants arˆetes-disjoints permet de r´ealiser dans le r´eseau autant de multicast simultan´es que d’arbres. On prouve que les triangulations de genre d’Euler g > 0 ont une densit´e arborescente sup´erieure ou ´egale `a 3. En fait, ce r´esultat est une g´en´eralisation d’un r´esultat de Kundu portant sur les graphes toriques [68]. On en d´eduit une partition des graphes de genre d’Euler g en trois forˆets plus un ensemble d’au plus 3g−3 arˆetes.

Il est possible de calculer cette partition en tempsO(n²) pour un graphe den sommets en utilisant un algorithme de Roskind et Tarjan [84]. Dans le cas des graphes planaires cette partition en trois forˆets peut se faire en temps O(n) grˆace au r´ealiseurs de Schnyder [86].

On peut se demander s’il n’existe pas un algorithme de partition en temps lin´eaire pour un graphe de genre d’Euler fix´e. On d´ecrit un tel algorithme pour le cas des graphes toriques dans la deuxi`eme partie du chapitre.

Dans la troisi`eme partie du chapitre, on pr´esente quelques g´en´eralisations possibles des partitions connues pour les graphes planaires. Les partitions que l’on consid`ere sont une partition des graphes de genre g en trois g-forˆets (g´en´eralisation des forˆets au genre g) et une partition des graphes de genre g en deux graphes g-ext´erieurs (g´en´eralisation des graphes planaires ext´erieurs au genre g). On conclut finalement le chapitre par une g´en´eralisation possible des r´ealiseurs de Schnyder pour les graphes de genre g.

Ces r´esultats ont fait l’objet d’une pr´esentation `a une conf´erence internationale [19].